生产者合理年金价格与企业年金价格的差距

对于具有非随机Tand B（t，s）的确定性模型，存在k>0，使得ba（u）=ku，bu（a）=k-1a；换句话说，bu（a）a=uba（u）。（19） 它不适用于随机模型。定理3如果Var J（T）>0，则Bu（a）a<uba（u）。（20） 可以注意到，如果B（t，s）是随机的，t是非随机的，或者t是随机的，B（t，s）是非随机的，那么Var J（t）>0。根据定理3，一个数量的相对价格在解决问题1时大于解决问题2时。分别而言，问题1的投资回报率比问题2的投资回报率低。不等式（20）如图3-4所示。图3显示了差异（a）a的σ依赖性的形状-uba（u）。从图中可以看出，U（a）a的值-对于较大σ，uba（u）消失。这可以通过以下事实来解释：给定a的bu（a）随σ增大而减小，给定u的ba（u）随σ增大而增大。图4显示了比率u（a）a.uba（u）与σ的依赖关系。可以看出，即使对于较大的gerσ，该值也与1分离。对于图3-4，我们再次假设r=0.05，T=20，类似于图1-2。经济学解释和年金难题定理3暗示，即使在我们的简单模型中，也不存在对年金销售者和年金受益人都是最优的公平价格，也不存在“均衡”价格。如图3-4所示，通过对最初确定的不同选择计算出的风险最低价格之间存在价差，u或a。这可能有助于解释所谓的“年金之谜”：一个经统计证实的事实，即人们不选择年金而选择一次性付款，即使这一决定似乎与标准理论分析相矛盾；请参阅第1节中提供的参考资料。让我们考虑以下示例1-2。

对于这些例子，我们在模型的框架中假设σ（t）≡ 0.2和r（t）≡ 0.05.例1假设一位潜在的年金受益人希望将她的终身储蓄a=100000美元转换为20年的定期年金。潜在卖家通过（12）解决问题2，计算出最佳付款率asbu（A）=4206美元，并认为较高的付款率是不公平的。然而，潜在年金受益人计算出，这种支付率将需要ba（4206美元）=76242美元的最佳投资，通过（10）解决问题1。这意味着客户和生产商的合理年金价格之间存在价差。这可能会导致对合同条件的分歧和交易的失败。例2类似地，假设对于同一个模型，卖方提供20年内支付率为u=5000美元的年金。潜在年金受益人通过（10）解决问题1，计算出最佳价格ba（u）=90635美元，并会认为价格更高是不公平的。然而，卖方计算出，这种规模的投资应确保支付率bu（90635美元）=3812美元，通过（12）解决问题2。同样，这可能会导致对价格的分歧和交易的失败。当没有足够的供应来满足客户可接受的价格时，价格之间的价差可能导致市场失灵。备注2我们假设，更典型的情况是，年金购买者有一定数量的养老金进行投资，并购买一个公平的年金利率，作为问题2的解决方案，而不是以预选的支付率为目标，并根据问题1选择一个公平的一次性购买金额。

否则，将克服示例1和d 2中描述的情况。4校样以下校样技术性较强；他们使用随机分析中的一些基本事实，即It^o积分的期望值公式；例如，见Dokuchaev（2007）中的评论。定理1的证明。I t根据（1）得出b（t，s）=expZtsr（τ）dτ-Ztsσ（τ）dτ+Ztsσ（τ）dw（τ）. （21）（i）函数V（a，u）=E |xu（T）- a |可以重写asV（a，u）=uE[J（T）]- 2auEJ（T）+a.（22）HenceV（a，u）=（a- uEJ（T））+R（u），（23），其中R（u）=uE[J（T）]- u（EJ（T））=uVar J（T）。（24）对于给定的a，函数V（a，u）在（10）给出的ba（u）处具有唯一的最小值，并且V（ba（u），u）=R（u）。（ii）与（23）类似，函数V（a，u）=E | | xu（T）- a |可以重写asV（a，u）=u（E[J（T）]）1/2-aEJ（T）（E[J（T）]）1/2+ R（a），（25），其中R（a）由（13）定义。对于给定的a，函数V（a，u）只有（12）给出的最小atbu（a），并且V（u，bu（a））=R（a）。这就完成了语句（ii）和定理1的证明。推论1的证明。由于T独立于w（·），因此EJ（T）=E[E{J（T）| T}]=Ey（T），EJ（T）=E[E{J（T）| T}]=Ez（T）。（26）推论的陈述如下。定理2的证明。L etρ=r- σ/2. 通过（21），我们得到，对于非随机om T，y（T）=EZTB（t，0）-1吨= E中兴通讯-ρt-σw（t）dt= 埃兹特-ρt-σw（t）dt=EZTe-ρt+σt/2=EZTe-rt+σt=1- e类(-r+σ）Tr- σ. （27）然后是（16）。此外，对于非随机T，z（T）=E“ZTB（t，0）-1吨#= E中兴通讯-ρt-σw（t）dt= EZTZTe公司-ρ（t+s）-σ[w（t）+w（s）]dtds=2EZTdtZte-ρ（t+s）-σ[w（t）+w（s）]ds=2EZTdtZte-ρ（t+s）-σw（s）E{E-σw（t）| Fs}ds。（28）对于s<t，我们有E{E-σ（w（t）| Fs}=e-σw（s）eσ（t-s） /2andz（T）=2EZTdtZte-ρ（t+s）-σw（s）e-σw（s）eσ（t-s） /2ds=2ZTdtZte-ρ（t+s）e2σseσ（t-s） /2秒。

（29）取最后一个积分，我们得到z（T）=2ztdtzet(-ρ+σ/2）es(-ρ+2σ-σ/2）ds=2ZTdtZte(-r+σ）tes(-r+σ/2+2σ-σ/2）ds=2ZTdte(-r+σ）tZtes(-r+2σ）ds=2ZTe(-r+σ）t1- e类(-r+2σ）tr- 2σdt。（30）Hencez（T）=r- 2σ\"1 - e类(-r+σ）Tr- σ-1.- e类(-2r+3σ）T2r- 3σ#=r- 2σy（T）-1.- e类(-2r+3σ）T2r- 3σ!. （31）然后是（17）。这就完成了定理2的证明。定理3的证明。根据定理1和T与B（T，s）的独立性，可以得出ba（u）=uEy（T）=uEJ（T），bu（a）=aEy（T）Ez（T）=aEJ（T）E（J（T））。（32）显然，E[J（T）]≥ （EJ（T）），如果EJ（T）=（EJ（T）），则Var J（T）=0。因此，bu（a）a=EJ（T）E（J（T））<EJ（T）（E[J（T）]）=EJ（T）=uba（u）。（33）这就完成了定理3的证明。5讨论本文分析了基于最小化与年金相关的风险以及未来b an k利率和寿命的不确定性所导致的定价方法。本文指出，这个问题存在两种不同的版本：根据定期支付的规模，风险最小化地选择年金价格；根据最初投资于年金的金额，风险最小化地选择定期支付的规模。我们发现，在不确定的情况下，这两个问题有不同的解决方案，即使它们都最小化了相同的值（7）。到目前为止，这一特征在现有文献中一直被忽视。客户和生产商这两种解决方案之间的差距可能会导致所谓的年金之谜。特别是，客户可能会认为人寿保险公司以给定价格a提供的（风险最小化）支付流业务太低。

同样，生产商也认为客户支付的风险最小化太低。这为确定年金需求不足的原因以及年金市场疲软的原因增加了一系列论据。本文提出的方法允许在几个方向上进一步发展。首先，研究此功能是否适用于具有多个投资资产和交易成本的更高级模型是很有意思的。本文提出的特定模型相对简单，但它捕捉到了生产者和消费者合理价格之间的差距。我们推测，这一特性将适用于其他市场模型和其他风险度量。其次，研究离散时间模型以及时间离散化对定价公式的影响将是一件有趣的事情。最后，为了从观察到的年金价格推断这些定价公式中的市场参数，我们有兴趣反转定价公式。这将遵循一种经典方法，在此，股票价格波动率的推断将简化为从应用于股票期权价格的反向Black-Scholes定价公式计算隐含波动率。这种方法的扩展示例可以是Found inDokuchaev（2018）和Hin and Dokuchaev（2016a，b）。到目前为止，文献中尚未考虑年金市场的隐含市场参数。参考文献【1】Ameriks，J.、Caplin，A.、Laufer，S.、van Nieuwerburgh，S.（2011）。给予或帮助生活的乐趣？利用战略调查将厌恶公共护理的情绪与遗赠动机区分开来。《金融杂志》66519–561。[2] Benartzi，S.，Previtero，A.，Thaler，R.H.（2011）。年金化难题。《经济展望杂志》第25期，第143–164页。[3] Brown，J.R.、Klin g，J.R.、Mullainathan，S.、Wrobel，M.V.（2008）。

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