生产者合理年金价格与企业年金价格的差距

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英文标题：
《On a gap between rational annuitization price for producer and price for
  customer》
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作者：
Nikolai Dokuchaev
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The paper studies pricing of insurance products focusing on the pricing of annuities under uncertainty. This pricing problem is crucial for financial decision making and was studied intensively, however, many open questions still remain. In particular, there is a so-called \"annuity puzzle\" related to certain inconsistency of existing financial theory with the empirical observations for the annuities market. The paper suggests a pricing method based on the risk minimization such that both producer and customer seek to minimize the mean square hedging error accepted as a measure of risk. This leads to two different versions of the pricing problem: the selection of the annuity price given the rate of regular payments, and the selection of the rate of payments given the annuity price. It appears that solutions of these two problems are different. This can contribute to explanation for the \"annuity puzzle\".
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中文摘要：
本文主要研究不确定性条件下的年金定价问题。这一定价问题对财务决策至关重要，已被深入研究，但仍有许多悬而未决的问题。特别是，存在一个所谓的“年金之谜”，与现有金融理论与年金市场的实证观察结果存在一定的不一致性有关。本文提出了一种基于风险最小化的定价方法，即生产者和消费者都寻求最小化作为风险度量的均方套期保值误差。这导致了定价问题的两种不同版本：根据定期支付率选择年金价格，以及根据年金价格选择支付率。这两个问题的解决方案似乎不同。这有助于解释“年金之谜”。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：企业年金 生产者 Mathematical Quantitative Minimization

关于生产者的合理年金价格与消费者的合理年金价格之间的差距科莱·多库恰耶夫电气工程、计算和数学科学学院，GPO Box U1987，珀斯，6845 Western AustraliaTel。61 08 92663144，电子邮件N。Dokuchaev@curtin.edu.auSeptember本文以不确定性条件下的年金定价为研究对象，对保险产品的定价进行了研究。这一定价问题对于财务决策至关重要，人们对此进行了深入研究；然而，仍然存在许多悬而未决的问题。特别是，存在一个所谓的“年金之谜”，与现有金融理论与年金市场的实证观察结果存在一定的不一致性有关。本文提出了一种基于风险最小化的定价方法，即生产者和消费者都寻求最小化作为ris k衡量标准的均方套期保值误差。这导致了定价问题的两种不同版本：根据定期支付率选择年金价格，根据年金价格选择支付率。这两个问题的解决方案似乎是不同的。这有助于解释“年金困惑”。JEL分类：D4 6、D81、D53。关键词：年金定价、风险最小化、价格分歧、年金定价。这是一篇预拷贝编辑，作者制作了一篇文章的PDF，该文章在同行评审后被《收入与定价管理杂志》接受出版。这是ssrn上发布的一个论文网站的修订版。2011年9月21日；https://ssrn.com/abstract=19319211引言本文讨论了在未来市场变动不确定性和寿命不确定性条件下的年金定价问题。

更确切地说，本文研究了在一定时期内，以分期付款权交换一次性付款时的年金定价问题。这个问题的解决对于财务决策至关重要。对该问题进行了深入研究；然而，仍然存在许多悬而未决的问题。特别是，存在一个所谓的“年金之谜”，与现有金融理论与年金市场的实证观察结果存在一定的不一致性有关。年金有两种主要类型：终身年金（当支付金额为受益人剩余寿命时）和定期年金（当支付金额为特定期限时）。对于人寿年金和定期年金，这类合同的所有参与者都接受未来市场变动不确定性造成的特定风险（参见Yaari（1965））。对于年金受益人来说，这是一种错过更好投资机会的风险：如果市场上的投资回报率上升，约定的付款可能会低于与市场上投资的年金价格相同的财富所产生的付款。另一方面，年金销售者也接受某些风险：在市场投资回报率下降的情况下，约定的付款可能比投资于市场的相同财富产生的付款更高。对于市场上具有确定性投资回报率的更具竞争性的模型，有可能找到代表未来货币价值的固定期限年金的公平价格，并确保年金销售商获得完美的收益。此外，对于长期年金而言，如果ZF债券存在足够深的市场，利率风险导致的市场不完全性将消除。

例如，假设ZF债券在年金的任何一个生命周期都可用于到期日。在这种情况下，债券价格将由相应债券组合的价格确定。这意味着定期年金的定价问题可以重新表述为债券定价问题。事实上，债券和定期年金的定价问题具有双重性；人们可以通过年金的价格得出债券的价格。对于终身年金，由于年金受益人的终身意外事故的随机性，还有一个额外的长寿风险。对于年金受益人而言，风险在于，如果年金受益人死得比死得晚，他或她将收到比在earlydeath案例中投资的钱少得多的钱；保险公司可以保留账户的剩余部分。对于这些年金，即使市场上的投资回报率具有确定性，也不可能实现完美的对冲。此外，终身年金的定价不能重新表述为债券定价问题。还有一个所谓的“年金之谜”，与经验数据与经济理论的不一致有关，可以描述如下。退休时，许多人决定从退休账户中一次性取出一笔钱，或者选择年金。经济学家已经证明，年金购买者在其余生中可以获得更多的年收入。然而，从历史上看，即使考虑到这一决定似乎在经济上不合理，大多数人还是选择了这笔金额。因此，从理性投资者的角度来看，这些基金的市场份额低于预期。Yaari（1965）观察到了这一点；从那时起，这个问题被广泛研究。本文重新探讨了年金定价问题。

我们的目标是建立一个特定的年金随机模型，其中价格和一定程度的可能风险相关。一个目标是开发定价方法和明确的价格公式。另一个目标是发现并揭示年金的特征，这些特征可能有助于解释“年金之谜”。让我们描述一下我们的方法论方法。我们假设一个市场模型，其中潜在年金受益人在给定金额和年金之间做出选择。年金受益人支付的年金金额由年金卖方投资于市场，且该投资具有时变性和随机回报率；例如，它可以是具有随机短期利率的现金账户投资。更准确地说，我们假设这种随机回报率由stoch-asticdi微分方程描述。我们考虑一个设置w，在这里，产品和客户都寻求将均方对冲误差最小化作为风险度量（下面的等式（7））。该误差表示年金成本与累计支付总额的未来价值之间的差异，并且对于生产者和消费者而言，其价值完全相同。但是，此设置允许定价问题有两种不同的版本：根据定期支付率选择年金价格，以及根据年金价格选择支付率。看来这两个问题有不同的解决方案。我们明确地获得了相应的pricingformu las（下面的定理1-2）。这有助于理解以下“年金之谜”。两种不同解决方案的存在意味着，对于年金卖方和年金受益人来说，没有一个能够将风险降至最低的公平价格，即不存在“均衡”价格（定理3和下面的示例1-2）。

由于至少一方认为建议的价格不公平，因此无法确定双方都能接受的价格。到目前为止，与风险最小化相关的定价各向异性相关的行为视角尚未形成“年金之谜”的原因。现有文献讨论了不同的因素，即遗赠动机、背景风险和成本影响因素，如行政和市场支出以及广泛的福利。pap建议了另一个可能的因素。文献综述inGerber（1997）和Milevsky（1997）全面介绍了终身年金定价的基本原则。Yaari（1965年）首先观察到了“年金政策”，后来许多作者对此进行了研究；参见例如B¨utler和Teppa（2007）及其参考文献。文献中提出的“年金之谜”有多种解释，包括遗赠动机（见Ameriks et al（2011））、背景风险（见Horne ff et al.（2009）、Pang an d Warshawsky（2010））、不公平的年金价格（见Mitchell et al（1999）、Finkelstein and Poterba（2004）、Brunner and Pech 2006）和行为方面（Brown et al（2008），Benartzi等人（2011年））。Schreiber and Weber（2013）对相关性质进行了回顾。Devlinet al（2014）、Choi和Mattila（2003）、Chung（2017）、Kienzler（2018）、Kimes et al（2003）、Xiaet al（2004）、Zhan和Lloyd（2014）等研究了不同行业价格公平感的影响。

Crawf-ord等人（2008）对与生命活动相关的概率研究进行了回顾。Schweizer（2001）对均值-方差定价进行了回顾。2问题设置和主要结果市场模型我们考虑这样一种市场模型，即在时间s投资1美元会在时间t产生回报≥ s、 其中，B（t，s）>0是随机的，因此B（s，s）=1。我们假设B（T，T）随着dtb（T，s）=B（T，s）（r（T）dt+σ（T）dw（T）），T>s，B（s，s）=1而演化。（1） 这里w（t）是一个标准的随机维纳过程；方程（1）是一个随机微分方程。σ（t）>0的值用作时间t市场波动不确定性的度量；σ（t）越大意味着不确定性越大。我们假设系数r（t）和σ（t）是随机的、有界的，因此它们独立于系数w（t+t）- w（t）对于所有t>0和t>0。此外，我们假设r（t）≥ 0，σ（t）≥ 0、考虑一种在[0，T]期间定期支付的年金，其中是该年金的终止时间；T表示终身年金，T表示定期年金。我们考虑在一定时间间隔内固定支付的年金【0，T】。此外，我们假设付款非常频繁，因此它们近似于一个连续的现金流，其中一些恒定密度u>0，或付款率。u值描述了年金产生并支付给年金持有人的恒定现金流的密度。换句话说，ut是该时间段内支付的现金金额【t，t+t] [0，T]。让a成为必须年金化的财富。对于该模型，如果财富a是由年金卖方投资的，那么在时间T时产生的财富将是B（T，0）a。在时间T时的当前成本为xu（T）∈ 向卖方支付的年金金额的[0，T]为xu（T）=ZtB（T，s）u ds。

（2） 设xu（t）=B（t，0）-1xu（t）是在t时向卖方支付的年金的贴现当前成本∈ [0，T]。我们有▄xu（t）=B（t，0）-1xu（t）=ZtB（t，0）-1B（t，s）u ds=J（t）u，（3），其中J（t）=ZtB（s，0）-1ds。如果T和B（T，s）都是非随机的，那么可以通过选择给定a的常数u或通过选择给定u，使B（T，0）a=xu（T），a=~xu（T），来完美对冲年金的服务成本。（4） 这表明A=J（T）u.（5）在文献中，它通常被认为是年金的公平价格（参见Milevsky（1997））。分别在非随机B（t，s）和t的情况下，u=J（t）-1a（6）是给定年金价格a的公平支付率。如果B（t，s）是随机的或t是随机的，那么通过选择常数u，年金的服务成本不能完全服从。在这种情况下，计算给定u的“最优”风险最小值a和给定a的“最优”风险最小值u是合理的，这样对冲误差r | a- 在某种概率意义上，xu（T）|是最小的。我们考虑最小化均方套期保值误差[| a- xu（T）|]，（7），其中E表示期望值。付款和年金价格的选择首先，我们考虑在给定恒定付款u的情况下，年金“公平”价格a=a（u）的计算。该价格应是风险最小化方面的最佳价格，这意味着初始投资a为买方产生的损失财富与卖方总成本的价值最接近。为此，我们陈述以下问题。问题1最小化[| a- §xu（T）|]在大于0的给定u.（8）秒内，我们考虑为更高金额a出售的年金计算“公平”付款u=u（a）。

就风险最小化而言，这些付款应该是最优的，这意味着这些付款的卖方的贴现总成本xu（T）与初始财富a产生的贴现财富的价值最小。为此，我们陈述了以下问题。问题2最小化[| a- xu（T）|]超过u>0 gi ven a.（9）这两个问题的目标都是最小化相同的值（7）量化均方误差并描述风险，以确保合同的“公平”条件（即，单价或付款率）。然而，如下所示，这些问题有不同的解决方案，即随机设置。在下面的定理1中，不排除随机T，r，σ的情况。定理1（i）问题1有一个唯一的解决方案ba（u）=uEJ（T）（10）（它是年金受益人福利总价值的精算现值）。套期保值误差的第二时刻| ba（u）- xu（T）|对于此解决方案，isR（u）=E | ba（u）- xu（T）|=uVar J（T）。（11） （ii）问题2有一个唯一的解bu（a）=aE[J（T）]E[J（T）]。（12） 套期保值误差的二阶矩| a- xbu（a）（T）|对于此解决方案，isR（a）=E | a- xbu（a）（T）|=a1.-（EJ（T））E[J（T）]. （13） 对于t∈ (0, +∞), sety（t）=EZtB（s，0）-1ds，z（t）=E“ZtB（s，0）-1ds#. （14） 推论1如果T独立于w（·）thenba（u）=uEy（T），bu（a）=aEy（T）Ez（T）。（15） 定理2如果T是非随机且给定的，并且如果r（T）≡ r≥ 0和σ（t）≡ σ>0为非随机常数，则y（T）=1- e类(-r+σ）Tr- σ、 （16）z（T）=r- 2σy（T）-1.- e类(-2r+3σ）T2r- 3σ!. （17） 对于终身年金，到期时间T是先验未知的，必须建模为arandom变量；T由年金受益人的寿命确定。在本文中，我们假设它独立于过程B（·，·）。

如果我们假设T有一个概率密度函数λ（x），那么（10）和（12）可以重写为ba（u）=uZ∞y（t）λ（t）dt，bu（a）=aR∞y（t）λ（t）dtR∞z（t）λ（t）dt（18），其中y（t）和z（t）由（14）定义，非随机t=t。概率密度函数λ由寿命分布定义。这些分布对保险业极为重要，并对其进行了详细研究；例如，参见Tennebein和Vanderhoof（1980年）以及Rawford等人（2008年）的最新研究综述。在实践中，T的分布由死亡率表描述；它们可用于（18）中积分的估计。图1-2说明了r（t）情况下的定理1≡ 0.05，T=20，以及σ（T）时≡ σ是常数。图1说明了定理1（i），并显示了风险最低年金价格^a（u）的σ与σ之间的依赖关系，给出了（10）定义的u=1。图e 2说明了OREM 1（ii），并显示了（12）定义的a=1的风险最低支付额σu（a）的依赖形状。备注1可以注意到，任何一方的预期回报最大化都被排除在我们的优化设置之外，因为这种类型的最大化会导致非合作零和博弈，其中一方的收益将导致对方的相同损失；在这种情况下，平衡解是不可行的。在我们的设置中，两个partiestarget最小化相同的值E[| a- xu（T）|]；原则上，这可能导致相同的均衡价格。至少，这种均衡价格存在于确定性情况下，其中（5）和（6）对问题1和2.3给出了相同的解决方案存在两种不同的最优解的影响假设ba（u）为最优（风险最小）a给定u，假设bu（a）为最优u给定a；它们分别由（10）和（12）定义。