能量量子期权的敏感性分析

那么对于alla∈ Υn，能量温度的δ由下式给出：I=等式[g（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））π一] ，其中Malliavin w 8πIisπI=Zτa（t）σ-1I（t；τ，τ）YI（t；τ，τ）*dWI（t）。证据Fo遵循4.1中的建议原则。以下结果给出了独立情况下的交叉伽马对冲：命题4.3。假设扩散矩阵σi，i=E，i是一致椭圆的。那么对于所有a∈ Υn，以下内容：EI=等式[g（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））πEI]，对冲QUANTO期权9，其中Malliavin w 8πEIisπEI=Zτa（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）*dWE（t）Zτa（t）σ-1I（t；τ，τ）YI（t；τ，τ）*dWI（t）。证据我们首先假设g和h对于有界导数是连续可微的。

根据提案4.1，我们有E=等式[g（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））ZE（τ）]。与命题4.1一样，我们引入了yi（t；τ，τ）=exp-ZtσI（u；τ，τ）du+ZtσI（u；τ，τ）dWI（u）.这意味着FI（τ；τ，τ）=FI（0；τ，τ）YI（t；τ，τ）。性质P 2的应用表明FI（τ；τ，τ）属于D1,2，我们有：DtFI（τ；τ，τ）=YI（τ；τ，τ）Y-1I（t；τ，τ）σI（t；τ，τ）1t<τ。这相当于yi（τ；τ，τ）1t<τ=DtFI（τ；τ，τ）σ-1I（t；τ，τ）YI（t；τ，τ）。将两边乘以平方函数，该平方函数在[0，τ]YI（τ；τ，τ）=ZτDtFI（τ；τ，τ）a（t）σ上积分为1-1I（t；τ，τ）YI（t；τ，τ）dt。现在EI：=FI（0；τ，τ）E类=FI（0；τ，τ）式[g（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））ZE（τ）]= 式[g（FE（τ；τ，τ））ZE（τ）h′（FI（τ；τ，τ））FI（τ；τ，τ）FI（0；τ，τ）]=等式[g（FE（τ；τ，τ））ZE（τ）h′（FI（τ；τ，τ））YI（τ；τ，τ）]=等式[Zτg（FE（τ；τ，τ））h′（FI（τ；τ），τ））ZE（τ）×DtFI（τ；τ）a（t）σ-1I（t；τ，τ）YI（t；τ，τ）dt]=等式[g（FE（τ；τ，τ））ZE（τ）×Zτdt（h（FI（τ；τ，τ）））a（t）σ-1I（t；τ，τ）YI（t；τ，τ）dt]=等式[g（FE（τ；τ，τ））（FI（τ；τ，τ））ZE（τ）×Zτa（t）σ-1I（t；τ，τ）YI（t；τ，τ）*dWI（t）]。10 RODWELL KUFAKUNESU和FARAI JULIUS MHLANGAHere，我们使用了链式规则（属性P 1）、分部积分公式（属性P 3）以及Skorohod积分与It^o随机积分（属性P 4）重合的事实。该结果可以通过密度参数扩展到一般情况。我们省略了细节。5、相关情况我们考虑以下HJMdFE（t；τ，τ）=σE（t，FE（t；τ，τ））dWE（t），（5.1）dFI（t；τ，τ）=ρσI（t，FI（t；τ，τ））dWE（t）+σI（t，FI（t；τ，τ））p1- ρdfWI（t）。（5.2）FE（0；τ，τ）>0，FI（0；·）>0。也就是说，我们考虑的情况是，FEF和FI之间存在相关性。假设布朗运动带是独立的。

设W=频带W=ρB+p1- ρB。这意味着g（W）h（W）=g（B）h（ρB+p1- ρB）。在此设置中，我们有以下quanto选项结构：C=等式[g（FE（τ；τ，τ））（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））]。现在我们推导出能量增量。提案5.1。假设扩散矩阵σEis为一致椭圆。那么对于alla∈ Υn，以下情况适用：E=等式[g（FE（τ；τ，τ））h（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））πE（1+ρ）]，其中Malliavin w 8πEisπE=Zτa（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）*dWE（t）。证据设g是具有有界导数的连续可微函数。

如第4.1条所述，引言（t；τ，τ）=exp（-ZtσE（u；τ，τ）du+ZtσE（u；τ，τ）dWE（u））。这意味着FE（t；τ，τ）=FE（0；τ，τ）YE（t；τ，τ）。性质P 2的应用表明，FE（τ；τ，τ）属于D1,2，我们有：DtFE（τ；τ，τ）=YE（τ；τ，τ）Y-1E（t；τ，τ）σE（t；τ，τ）1t<τ。这相当于y（τ；τ，τ）1t<τ=DtFE（τ；τ，τ）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）。对冲QUANTO期权11将双方乘以平方函数，该平方函数在[0，τ]YE（τ；τ，τ）=ZτDtFE（τ；τ，τ）a（t）σ上积分为1-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）dt。现在E=等式[g′（FE（τ；τ，τ））h（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））YE（τ；τ，τ）+g（FE（τ；τ，τ））h′（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））ρYE（τ；τ，τ）]=等式[Zτg′（FE（τ；τ，τ））（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））×DtFE（τ；τ，τ）a（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）dt+Zτg（FE（τ；τ，τ））h′（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））×DtFE（τ；τ，τ）a（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）dt]=等式[h（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））×ZτDtg（FE（τ；τ，τ））a（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）dt+ρg（FE（τ；τ，τ））×ZτDth（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））a（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）dt]=等式[h（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））×g（FE（τ；τ，τ））Zτa（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）*dWE（t）+ρg（FE（τ；τ，τ））h（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））×Zτa（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）*dWE（t）]。在命题4.1的证明中，我们使用了链式规则性质（性质P 1）、分部积分公式（性质P 3）以及Skorohod积分与It^o随机积分（性质P 4）重合的事实。该结果可以通过密度参数扩展到一般情况。我们省略了细节。现在我们推导出相关情况下的温度δ。提案5.2。假设扩散矩阵σi为一致椭圆。

那么对于alla∈ Υn，以下情况适用：I=p1- ρEQ[g（FE（τ；τ，τ））h（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））π一] 。其中Malliavin w 8πIisπI=Zτa（t）σ-1I（t；τ，τ）YI（t；τ，τ）*dWI（t）。12 RODWELL KUFAKUNESU和FARAI JULIUS MHLANGAProof。这个证明类似于命题5的证明。1.以下结果给出了相关情况下的交叉伽马对冲。提案5.3。假设扩散矩阵σi，i=E，i是一致椭圆的。那么对于所有a∈ Υn，以下内容：EI=p1- ρEQ[g（FE（τ；τ，τ））h（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））πEI+ρp1- ρg（FE（τ；τ，τ））h（ρFE（τ；τ，τ）+p1- ρFI（τ；τ，τ））πEI]Malliavin带8πEIS：πEI=Zτa（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）*dWE（t）Zτa（t）σ-1I（t；τ，τ）YI（t；τ，τ）*dWI（t）。证据该证明遵循与支持立场4.3证明相同的论证路线。详情已提交。5.1. 剩余风险。如果我们取独立的能量增量例如，作为基准值和相关案例Corr.然后剩余风险由独立能量增量和相关情况之间的差异确定，如下所示：|更正- Ind |，对于每个ρ。同样的分析也适用于交叉伽马公式。例如，如果quanto选项支付功能取决于终端价值，即τ=T6.1，则我们将提供Malliavin权重s。独立案例。我们考虑以下随机微分方程来描述能量价格FE和温度价格FIdynamicsdFEFE=σEdWEt，FE（0）>0（6.1）dFIFI=σIdWIt，FI（0）>0，（6.2），其中σE，σi是确定性挥发分，而我们是独立的布朗运动。然后，quanto期权定价公式表示为（6.3）Ct=等式[g（FE）h（FI）]。通过使用前面章节中开发的通用公式，我们能够分析计算不同Malliavin权重的值。这里我们设置a（t）=t。

我们有πE=FE（0）TZTσEdWE（t）。对冲QUANTO期权13πI=FI（0）TZTσIdWI（t）。πEI=FE（0）FI（0）TZTσEdWE（t）ZTσIdWI（t）.6.2. 相关案例。同样，我们考虑以下随机微分方程来描述能量价格和温度价格FIdynamicsdFEFE=σEdWEt，FE（0）>0（6.4）dffi=ρσIdWIt+σIp1- ρdfWI，FI（0）>0，（6.5），其中湿，与相关参数ρ相关的布朗运动∈ (-1, 1 ).随机微分方程组可以写成mat r ix形式dFEdFI公司=σEFEρσIFIσIp1- ρFIdWEdfWI.的逆矩阵σEFEρσIFIσIp1- ρFI计算为σEσIp1- ρFEFIσIp1- ρFI-ρσIFIσEFE=σEFE-ρσE√1.-ρFEσI√1.-ρFI！。在此设置中，quanto期权定价公式由（6.6）Ct=等式[g（FE）h（ρFE+p1）给出- ρFI）]。通过使用前面章节中开发的通用公式，我们能够分析计算不同Malliavin权重的值。这里我们设置a（t）=t。我们有πE=FE（0）TZTσEdWE（t）-FE（0）TZTρσEp1- ρdfWI（t）。πI=FI（0）TZTσIp1- ρdfWI（t）。πEI=FE（0）FI（0）TZTσEdWE（t）-ZTρσEp1- ρdfWI（t）！ZTσIp1- ρdfWI（t）！-FE（0）FI（0）TZTρσEσI（1-ρ） dt。14 RODWELL KUFAKUNESU和FARAI JULIUS MHLANGA7。本文在HJM框架下，导出了远期合约中能量期权数量的delta、Cross-gamma期望公式。我们考虑了独立和相关案例，以便于进行剩余风险分析。这些结果是Benth等人[1]工作的扩展，因为它们适应了不连续的Payoff函数。当市场不完全时，考虑具有正L'evy过程的随机性的情况将是有趣的。在Benth等人[3]中，作者分析了与本文所考虑的不同支付结构的波动率模型。这将在未来的研究中加以考虑。确认。

作者要感谢弗雷德·本思教授在本文中讨论了建模问题。R.K.的工作部分得到了南非国家研究基金会（项目编号90313）的支持。F.J.M.的工作得到了南非国家研究基金会（G rant编号：105924）的部分支持。参考文献【1】Benth，F.E。；兰格，N。；Myklebust，T.A.能源市场中的quanto期权定价和对冲。《能源市场杂志》。2015, 8.1, 1-35.[2] Nualart，D.《Malliavin微积分和相关主题》，Springer，2006年。[3] Benth，F.E。；Groth，M。；Wallin，O.Barndorff-Nielsen和Shephardstochastic波动率模型的无导数希腊人l.随机：概率和随机过程的国际期刊。2010, 82, 3, 291-313 .[4] Cap orin，M。；J、 Pr\'es，J。；Toppo，H.基于模型的蒙特卡罗能源和温度期权定价以及能源市场中的对冲quanto期权。能源经济学杂志。2012, 34.5 : 1700-1712.[5] Ho，T.S。；斯台普顿，R.C。；Subrabmanyan，M.G.《关联风险、跨市场衍生产品和投资组合绩效》。欧洲财务管理杂志。1995, 1 2, 105- 122.[6] 张，P.G.《奇异的选择》。第二代选件指南。《世界科学》，新加坡，2001年。[7] 希思，D。；贾罗，R。；Merton，A.B ond定价和利率期限结构：未定权益估值的新方法。计量经济学。19 92, 60, 77-105.[8] Benth，F.E。；Benth，J.S。；Koekebakker，S.《电力和相关市场的随机建模》。《世界科学》，2008年。[9] Clewlow，L。；Strickland，C.E能源衍生品：定价和风险管理，Lacima出版社，2000年。[10] Benth，F.E；Dahl，L.O。；Kalsen，K.H.期权不相容性和能源市场敏感性的准蒙特卡罗评估。内景J.Thero。应用程序。资金2003年，第6卷，第8页。

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