能量量子期权的敏感性分析

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英文标题：
《On the sensitivity analysis of energy quanto options》
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作者：
Rodwell Kufakunesu and Farai Mhlanga
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In recent years there has been an advent of quanto options in energy markets. The structure of the payoff is rather a different type from other markets since it is written as a product of an underlying energy index and a measure of temperature. In the HJM framework, by adopting the futures energy dynamics, we use the Malliavin calculus to derive the delta and the cross-gamma expectation formulas. This work can be viewed as an extension of the work done, for example by Benth et al. [1].
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中文摘要：
近年来，能源市场出现了quanto期权。回报的结构与其他市场有很大的不同，因为它是作为基础能源指数和温度度量的产品来写的。在HJM框架中，通过采用未来能源动力学，我们使用Malliavin演算推导了delta和cross gamma期望公式。这项工作可以看作是Benth等人所做工作的延伸。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
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2022-6-10 21:34:51 上传

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关键词：敏感性分析 敏感性 Applications Quantitative Differential

关于能量对期权的敏感性分析。RODWELL KUFAKUNESU和FARAI JULIUS MHLANGAAbstract。近年来，能源市场上出现了quanto期权。支付结构与其他市场有很大不同，因为它是作为基础能源指数和温度测量的产品来写的。在HJ M框架中，通过采用未来能源动力学，我们使用Malliavin演算推导了delta和cross gamma期望公式。这项工作可以看作是Benth等人所做工作的延伸。1、导言本文利用Nualart[2]的Malliavin Calculusapproach研究了能源量期权的套期保值。该方法表明，当涉及到不连续支付时，其表现优于有限差分法，见Benth等人【3】。股票市场的Quanto期权与能源市场的Quanto期权因其支付结构不同。能源Quanto期权的产品支付结构利用了能源消耗与特定天气条件之间的高度相关性，从而能够同时控制价格和天气风险，参考Caporin等人【4】。另一方面，quanto的股权结构正常。Ho等人。[5] 注意到quanto期权通常比普通期权的简单组合更好。在能源市场中，他们暴露于气候条件对能源价格的体积风险，见张[6]。Heath等人【7】在固定收益市场中引入了所谓的Hearth Jarrow Merton（HJM）方法，在固定收益市场中，远期利率的动态是直接规定的，参见Benth e t等人【8】。

事实上，能源市场中的大多数合同都是在未来和未来结算的，该框架后来于2000年被Clewlow和Strickland在该市场上采用[9]。文献中很少有论文分析这一数量的期权产品的套期保值。Benth等人[1]最近研究了基于现货和期货产品的quantoenergy期权的定价和套期保值。作者推导了能量增量、温度增量和交叉伽马对冲的解析表达式。如果支付函数不连续，则其对冲方法将失败。在本文中，我们使用一个更强大的工具：Malliavin演算推导出所谓的衍生自由对冲公式。Malliavincalculus技术已被许多作者用于对冲股权衍生产品，例如，（Benth等人【8】、Benth等人【10】、Di Nunno等人【11】、Fourni\'e等人【12、13】、Kara t zas等人【14】、Mhlanga【15】）。在所有这些参考文献中，方法均未注明日期：2018年10月16日。关键词和短语。能源期权、期货、Malliavin衍生品、HJB框架。2罗德韦尔·库法库内苏（RODWELL KUFAKUNESU）和法莱·朱利叶斯·姆兰加（FARAI JULIUS Mhlanga）应用于我们这样的产品支付结构，并具有间隔交付期。我们的结果可以看作是Benth等人[1]的延伸。我们只专注于推导delta和cross gamma对冲预测公式。本文的组织结构如下。第2节回顾了quanto选项的结构asin Benth等人【1】。我们在Heath Jarrow Morton（HJM）框架下提出了期货资产动力学的一般微分模型。在第3节中，我们回顾了Malliavin演算中应用于证明的必要条件。

在第4节中，当相关值为零时，在独立情况下导出“希腊语”，即Delta和cross gamma，在第5节相关情况下，得到希腊语公式。还讨论了剩余风险。第6节提供了一些示例。最后，在第7节中，我们得出结论。2、Quanto期权的合同结构和定价在本节中，我们审查了商品Quanto定价，例如，见Benth等人【1】，特别是，我们遵循其中的符号。quanto有一个Payoff函数，由：S=（Tvar）给出- Tfix）×（评估- Efix），其中Tvarre表示一些可变温度度量，Tfix表示一些固定温度度量，而Evar、Efix分别表示可变和固定能源价格。为了避免该quanto合同的下行风险，Benth等人[1]报告称，出于对冲目的，购买具有期权性的合同是合理的。在芝加哥商品交易所（CME）的温度市场中，f或合同是根据加热度天数（HDD）和冷却度天数（CDD）的总和来编写的。温度指数用作基础。测量周期[τ，τ]内的HDD（类似于CDD）定义为：（2.1）I[τ，τ]：=HDD（t）=max（c- T（T），0），其中T（T）是第T天的平均温度，c是预先规定的温度阈值（如65F或18C）。如果合同规定为[τ，τ]上的累积HDD，我们有：（2.2）I[τ，τ]：=τXt=τHDD（t）=τXt=τmax（c- T（T），0），类似于CDD。我们注意到，quanto期权有一个Payoff函数，它是两个基础资产温度和价格的函数。我们重点关注带支付函数f（E，I）的quanto期权，其中E是能源价格指数，I是温度指数。

一段时间内[τ，τ]的能量指数E作为平均现货价格，由以下公式得出：（2.3）E=τ- ττXu=τSu，对冲QUANTO期权3，其中sui是能源现货价格。此外，我们假设温度指数由（2.4）I=τXu=τg（Tu）定义，其中Tudenotes时间u和g的温度是一个函数。例如，对于涉及HDD索引的aquant o选项，我们选择g（x）=max（x- 18, 0). 为了给在时间τ行使的数量o期权定价，其无套利价格在时间t≤ τ变为（2.5）Ct=e-r（τ-t） EQt“fτ- ττXu=τSu，τXu=τg（Tu）！#，其中，r>0表示一个恒定的无风险利息率，Eqt是关于Q的期望运算符，条件是过滤器提供的时间t的市场信息。在【1】对quanto期权与未来能源和温度指数e和I之间的关系进行了讨论之后，我们注意到，当时的价格≤ 期货合约的τ以某种能源价格为基础，交割期[τ，τ]由（2.6）FE（t；τ，τ）=EQt“τ”给出- ττXu=τSu#。在t=τ时，我们有：（2.7）FE（τ；τ，τ）=τ- ττXu=τSu。这意味着未来的价格与交付的价格完全相等。将相同的参数应用于温度指数，价格动态由FI（t，τ，τ）表示，quanto期权价格Ct可以写成：Ct=e-r（τ-t） EQt“fτ- ττXu=τSu，τXu=τg（Tu）#（2.8）=e-r（τ-t） EQtfFE（τ；τ，τ），FI（τ；τ，τ）.如式（2.8）所示，编制quanto期权价格的优势在于，期货是金融资产交易。让‘KE，’KIdenote分别代表能量和温度指数的高值，让‘KE，’KIdenote分别代表能量和温度指数的低值。

现在我们可以定义payoff函数p（FE（τ；τ，τ），FI（τ；τ，τ），\'KE，\'KI，KE，KI）：=pso thatp=α×[max（FE（τ；τ，τ）-\'KE，0）×max（FI（τ；τ，τ）-\'KI，0）+最大值（KE- FE（τ；τ，τ），0）×max（KI- FI（τ；τ，τ），0）]，4 RODWELL KUFAKUNESU和FARAI JULIUS Mhlangaw其中α是合同量调整系数。如Benth等人[1]所述，为了便于说明，我们考虑了产品看涨期权结构和交易量调节器α归一化t o1，也就是说，我们考虑了具有以下支付函数的期权价格：（2.9）^p=max（FE（τ；τ，τ）-\'KE，0）×max（FI（τ；τ，τ）-\'KI，0），时间t的quant o选项由：Ct=e给出-r（τ-t） EQt^p（FE（τ；τ，τ），FI（τ；τ，τ），\'KE，\'KI）.2.1. 资产动态。我们使用时间t时远期合约的HJM风险中性动态。考虑风险中性度量下的一般差异未来模型，可给出如下公式：dFE（t；τ，τ）=σE（t，FE（t；τ，τ））dWE（t），（2.10）dFI（t；τ，τ）=σI（t，FI（τ；τ））dWI（t）。（2.11）FE（0；τ，τ）>0和FI（0；τ，τ）>0，其中σE，σi是确定性波动率，we，wi与相关参数ρ相关∈ (-1, 1). 该过程是写在某些能源价格上的未来联系人的期权价格，是写在某些温度价格上的未来联系人的期权价格。给定任意WE，存在独立于断奶WI的SFWI。

然后，我们可以将WI表示为（2.12）WI=ρWE+p1- ρfWI。因此，我们有dfe（t；τ，τ）=σE（t，FE（t；τ，τ））dWE（t），（2.13）dFI（t；τ，τ）=ρσI（t，FI（t；τ，τ））dWE（t）+σI（t，FI（t；τ，τ））p1- ρdfWI（t）。（2.14）上述方程式可以矩阵形式写成如下：dFEdFI公司=σE（t，FE）0ρσI（t，FI）σI（t，FI）p1- ρdWEdfWI.我们可以将其写成：（2.15）d'F=a（t，FI，FE）d'W，其中矩阵a：（[0，τ]×R）→ M、 满足生长和Lipschitz条件。我们可以将（2.15）写成：（2.16）\'F=\'F+Zta（t，FI，FE）d'W，\'F>0。鉴于这种动态，quanto选项变为：（2.17）Ct=EQ克ZτσE（t，FE）dWE小时ZτσI（t，FI）dWE，ZτσI（t，FI）dfWI,式中，g（x）=（x-KE）+和▄h（x，y）=（ρx+p1- ρy- KI）+是可测量的函数。对冲QUANTO期权53。Malliavin导数性质的入门在本节中，我们回顾了必要的Malliavin导数性质。Fourni\'e等人[12]和Mhlanga[15]也强调了这些性质，Nualart[2]也提供了证据。设{W（t），0≤ t型≤ τ} 是定义在完全概率空间上的n维布朗运动(Ohm, F、 F，Q）。设S表示f或mf=f的随机变量类Zτh（t）dW（t），···，Zτhn（t）dW（t）, f∈ C∞（Rn），其中h，···，hn∈ L（[0，τ]）。对于F∈ S、 F的Malliavin导数DF定义为过程{DtF，t∈ L中的[0，τ]}（[0，τ]）定义为：DtF=nXi=1fxiZτh（t）dW（t），···，Zτhn（t）dW（t）hi（t），t≥ 0 a.s.On L（[0，τ]）将标准定义为：| | F | | 1,2：=等式| F |+等式[Zτ| DtF | dt].链式规则适用于以下形式的Malliavin导数。属性P1。设F=（F，…，Fn）∈ D1,2和letД：Rn→ R是一个具有有界偏导数的连续可微函数。然后Д（F）∈ D1,2和（3.1）DtД（F）=nXi=1φxi（F）DtFi，t≥ 0 a.s.属性P2。

设{Xt，t≥ 0}是一个r值It^o过程，其动力学由随机微分方程（3.2）dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt控制，其中b和σ应为具有有界导数的连续可微分泛函，且所有x的σ（x）6=0∈ 注册护士。设{Yt，t≥ 0}是随机微分方程（3.3）给出的相关第一变量过程，dYt=b′（Xt）Ytdt+nXi=1σ′i（Xt）YtdWit，Y=In，其中Inis是Rn的单位矩阵，primes表示导数，σiis是σ的第i列向量。进程{Xt，t≥ 0}属于D1,2，其Malliavin导数由（3.4）DrXt=YtY给出-1rσ（Xr）1{r≤t} ，r≥ 0 a.s.，相当于（3.5）Yt=DrXtσ-1（Xr）年{r≤t} a.s.6 RODWELL KUFAKUNESU和FARAI JULIUS MHLANGAThe Malliavin导数有一个称为Skorohod积分的伴随算子（也称为发散算子δ）。我们将用dom（δ）表示伴随算子δ的doma in。属性P3。让u∈ L(Ohm ×[0, τ]). 那么，对于allF，u属于δif的域Dom（δ）∈ D1,2我们有（3.6）| EhDF，uiL(Ohm)|=| EZτDtF u（t）dt|≤ c k F kL(Ohm)式中，c是取决于u的常数。如果u属于Dom（δ），则（3.7）δ（u）=Zτutδwt是L的元素(Ohm) 因此，分部积分公式成立：（3.8）EZτDtF utdt= E[Fδ（u）]对于所有F∈ D1,2。Skorohod积分δ的一个重要性质是其域Dom（δ）包含所有属于L(Ohm × [0, τ]). 对于这类过程，t heSkorohod积分δ和It^o随机积分一致。财产P4。如果u是属于L的自适应过程(Ohm ×[0，τ]），然后（3.9）δ（u）=Zτu（t）dWt。此外，如果随机变量F是Fτ自适应的，并且属于D1,2，那么对于任何u inDom（δ），随机变量F u将是Skorohod可积的。财产P5。设F属于D1,2和u∈ Dom（δ），使得E[RτFutdt]<∞.

然后，u∈ Dom（δ）和（3.10）δ（F u）=Fδ（u）-ZτDtF utdt，当右侧属于L时(Ohm). 特别是，如果u进一步调整，则wehave（3.11）δ（F u）=FZτutdWt-ZτDtF utdt。4、ρ=0的离散随机微分方程（2.13）的独立案例，考虑时间t的远期合约的以下HJM风险中性动态。我们称之为“独立案例”。让风险中性度量Q下的未来价格过程开始asdFi（t；τ，τ）=σi（t；τ，τ）Fi（t；τ，τ）dWi（τ），Fi（0；τ，τ）>0，E的对冲量化期权7，i=i。函数Fi（0；τ，τ）代表今天的远期价格。我们称之为独立情况，因为ρ=0。这可以明确地写为：FE（τ；τ，τ）=FE（0；τ，τ）exp-ZτσE（u；τ，τ）du+ZτσE（u；τ，τ）dWE（u）FI（τ；τ，τ）=FI（0；τ，τ）exp-ZτσI（u；τ，τ）du+ZτσI（u；τ，τ）dWI（u）,其中断奶的是布朗运动。这里，Rτσi（τ；τ，τ）dτ<∞ 含义τ7→Fi（τ；τ，τ）是鞅。介绍g:R 7→ R和h:R 7→ R可测量功能。（4.1）C=等式[g（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））]给出的到期时间为τ的远期quanto期权的支付结构，其中g（x）=（x- KE）+和h（x）=（x- KI）+且无风险利率r=0。Weassume t the following integrability conditions：E[g（FE（τ；τ，τ））]<∞, E[h（FI（τ；τ，τ））]<∞.在一些地方，我们将要求扩散材料ixσi，i=E，i满足以下条件：（4.2）η > 0 ξ*σ*（t；τ，τ）σ（t；τ，τ）ξ>η|ξ|对于llξ∈ Rn，t∈ [τ，τ]ξ6=0。式中ξ*表示ξ的转置。这称为均匀椭圆度条件。用分部积分公式计算G reeks时得到的权函数不应退化为概率1，否则计算将无效。为了避免这种退化，我们引入了由（4.3）Υn={a）定义的集合Υn（见[12]）∈ L（[0，τ]）| Ztia（t）dt=1，对于所有i=1。

，n}。提案4.1。假设扩散矩阵σEis为一致椭圆。那么对于alla∈ Υn，能量选项的增量由下式给出：E=等式[g（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））πE] ，其中Malliavin w 8πEisπE=Zτa（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）*dWE（t）。证据设g是具有有界导数的连续可微函数。引言（t；τ，τ）=exp-ZtσE（u；τ，τ）du+ZtσE（u；τ，τ）dWE（u）.这意味着FE（τ；τ，τ）=FE（0；τ，τ）YE（t；τ，τ）。性质P 2的应用表明，FE（τ；τ，τ）属于D1,2，我们有：DtFE（τ；τ，τ）=YE（τ；τ，τ）Y-1E（t；τ，τ）σE（t；τ，τ）1t<τ。8 RODWELL KUFAKUNESU和FARAI JULIUS MHLANGAThis相当于y（τ；τ，τ）1t<τ=DtFE（τ；τ，τ）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）。将两边乘以平方函数，该平方函数在[0，τ]YE（τ；τ，τ）=ZτDtFE（τ；τ，τ）a（t）σ上积分为1-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）dt。现在E:=FE（0；τ，τ）EQ[g（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））]=EQ[g′（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））FE（τ；τ，τ）FE（0；τ，τ）]=等式[g′（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））YE（τ；τ，τ）]=等式[Zτg′（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ））×DtFE（τ；τ，τ）a（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）dt）=等式h（FI（τ；τ，τ））ZτDtg（FE（τ；τ，τ））a（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）dt= 均衡器g（FE（τ；τ，τ））h（FI（τ；τ，τ））Zτa（t）σ-1E（t；τ，τ）YE（t；τ，τ）*dWE（t）其中g′表示g对FE（0；τ，τ）的导数。在这里，我们使用了thecha in-rule属性（属性P 1）、分部积分公式（属性P 3）以及Skorohod积分与It^o随机积分（属性P 4）重合的事实。由于连续可微函数在L中是稠密的，因此结果适用于任何g∈ L（详情见Four ni'e等人[12]）。同样，我们得到以下结果。提案4.2。假设扩散矩阵σi为一致椭圆。