多元稳定分布及其在建模中的应用

然而，如果n太大，分布可能会过拟合，尽管理论上它会给我们最好的结果。2.3高维参数估计在d>2维的情况下，由于∧集中在球体上而不是圆形上，估计过程变得更加困难。主要困难在于从球体表面选择一组点，我们可以重复第2节中相同的修改。我们还没有发现任何涉及高维估计的论文，因此，下一个对估计的推广，建立在之前看到的双变量方法的基础上，是一种新方法，具有快速的运行时间。d＞2维稳定分布参数估计的关键是从边缘中选择Sdpairwise点。我们的建议是从球体的圆形横截面中选择点，对于给定的圆，除了两个坐标外，所有坐标始终为0。这意味着，通过为每个圆选择n个点，我们将根据d· 总共n个点。-1-0.5  0.0  0.5  1.0-1-0.5  0.0  0.5  1.0-1-0.5 0.0 0.5 1.0xyz●●● ●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●● ●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●图2：步骤1第一步中建议的点集类似于双变量估计方法。在这种情况下，我们必须估计向量δ=hδ，δdiTby组件，例如。

分位数法，我们必须从原始样本中减去，使样本移到原点。步骤2我们在第2节的开头看到，圆的点数必须为。我们仍然需要这个假设，但对于球体的每个圆形横截面。此外，我们不能从每个圆形横截面中选择相同的点，因为这样我们将在它们的交点处有重复的点，这将给我们带来无法理解的结果。因此，我们选择旋转的点assl，kj=0, . . . , 0，cos2π（j- 1） n+πn| {z}第l坐标，0，0，sin2π（j- 1） n+πn| {z}第k坐标，0，0,式中，sl，kjis为第l条和第k条边所构造球体的圆形横截面，l 6=k，j=1，n、 我们选择网格点为tl，kj=sl，kjt，以便能够计算投影htl，kj，Xi，htl、kj、Xmi。步骤3我们必须像以前一样，为每个投影计算（2）、（3）和（4）。汇集的α在本质上是相同的，唯一真正的区别是它是从更多的投影中计算出来的*=（d） ·nPl6=kPnj=1^α（tl，kj）。在这些之后，我们可以计算出sil值，k（tj）=nXj=1ψtTsj；^α*λl，kj，其中l 6=k，j=1，n、 然而，我们在第2小节中求解的方程组需要修改。步骤4修改后的系统基于矩阵ψ*=Ψ1,20 . . . 0............0 . . . 0ψd-1，d, 我*=I1,2I1,3。。。身份证件-1，d,其中ψ*∈ R（d）·n×（d）·n，包含每个计算的ψl，k矩阵，与（6）相同，但从第l和第k边缘计算。ψ*矩阵的对角线上有ψl，kmatricesin，而其他元素为零。向量I*∈ R（d）·使用与ψ相同的逻辑进行修改*, 所以它包含组合在一起的向量Il，K。

现在，我们可以确定方程组ψ*λ*= 我*十、 （8）也必须修改，因为由于点的对称构造，它也是单数的。步骤4/1我们必须像以前一样将该方法限制为偶数个点（n=2r）。现在，是真的，IX（tl，ki）=IX（tl，ki+r）和ψtiTsj；α= ψ（ti+rl，k）Tsj；α. 我们必须在系统上进行与第2节之前相同的变换，因此我们计算向量re-Il，ki=Il，ki+Il，ki+r=nXj=1Reψl，ki，jλjIm-Il，ki=-Il，ki- Il，ki+r=nXj=1Imψl，ki，jλj，其中IX（tl，ki）=Il，ki和ψl，ki，j=ψ（tl，ki）Tsj；^α*. 我们现在定义新的d· n×1ix（tl，k）asc的实部和虚部向量*=hRe I1,2，Im I1,2，Re I1,2，Im I1,2，Re I1,2r，Im I1,2r，Re I1,3，Im I1,3，重新输入-1，nr，Im In-1、N和新d· n×d· n矩阵A*asa公司*i、 j=Reψ1,2i，j，i，j=1，rImψ1,2i，j，i，j=r+1，nReψ1,3i，j，i，j=n+1，n+rImψ1,3i，j，i，j=n+r+1，2n。。。Reψd-1，di，j，i，j=d（n）- 1) + 1, . . . ,d（n）- 1） +边缘ψd-1，di，j，i，j=d（n）- 1） +r+1，dnNow系统A*λ*= c*是非奇异且真实的，因此我们可以执行最后一个修改步骤，以获得正权重。步骤4/2我们可以类似地将该问题重新定义为具有*和c*:最小λkc*- A.*λ*k=最小λ*（c）*- A.*λ*)T（c*- A.*λ*), λ ≥ 该解给出了λ的期望结果。由于该方法的计算复杂性，我们希望它仅适用于中等高维的inits当前形式。在下一节中，我们将对三维数据集应用估计算法。3应用程序在这些应用程序中，我们将多元稳定分布用于加密货币每日对数回报，并具有较大的市场资本：比特币、Ripple和Litecoin。加密货币数据来自www.kaggle。通用域名格式。

这些数据和更多加密货币也可在R的最新加密软件包中找到【26】。在stabdist软件包的帮助下，对概率和单变量稳定分布的抽样进行了计算【27】，而单变量参数估计是使用fBasics进行的【28】。我们在多元估计和采样中使用了这两种方法，并使用了quadprog软件包【29】，该软件包解决了QP问题。Anderson-Darling测试由ADGofTest软件包进行，使用ns确定最佳自举块长度，使用ks确定密度估计。3.1数据和单变量估计，优度数据为2013年4月至2018年2月。这三项资产的每日收盘价和每日收益率见下图3.1和3.1。2014、2015、2016、2017、2018、5000、10000、15000、20000C比特币价格（$）图3：所选加密货币的美元价格。比特币轴位于左侧，Litecoin轴和Ripple轴位于右侧，比例不同。Ripple的价格是100的倍数，以获得更好的可视化效果。2014 2015 2016 2017 2018-150-100-50 0 50 100 150BitcoinDateLog回报率（%）2014 2015 2016 2017 2018-150-100-50 0 50 100 150LiteCondatelog回报率（%）2014 2015 2016 2017 2018-150-100-50 0 50 100 150 RippledAtelog回报（%）图4：所选加密货币的每日对数回报为了能够将多元稳定分布应用于对数回报，我们必须检查它们的边际分布是否可以被接受为完全稳定。因此，在进行分析之前，我们检查了损失和收益是否具有相同的大小（稳定分布所需）。

作为一种图形工具，图3.1中比较了高分位数，表明在两种情况下，收益的高分位数甚至比损失的高分位数更大（值大于1）。对于传统股票，预期值（可能很大程度上）低于1.0.80 0.85 0.90 0.95 1.000.8 1.0 1.2 1.4 1.6损失分位数收益-比例BitcoinLiteConRippleFigure 5：高q值和低q值的比较-所选加密货币每日日志返回的分位数。我们将整个数据分成10个重叠部分，≈ 40个月宽的窗户≈ 1000次观察。在应用程序中，第一个周期最长，第十个周期最新。在这一初始步骤之后，我们对α使用极大似然估计，对β、γ和δ使用分位数方法估计参数。比特币参数Litecoin参数αβγδαβγδ1.319-0.014 1.768 0.064 1.211 0.015 2.058-0.2461.292 0.043 1.636 0.033 1.15 0.064 1.824-0.241.254-0.014 1.418 0.072 1.117 0.016 1.607-0.1211.291-0.067 1.243 0.069 1.15-0.041 1 1 1 1 0.426 0.0211.3 0.014 1.131 0.08 1.144-0.035 1.21 0.0161.295-0.059 1.144 0.163 1.107-0.027 1.169 0.0121.27-0.005 1.136 0.217 1.063 0.046 1.175-0.021.2730.001 1.167 0.244 1.058 0.115 1.262-0.0541.225-0.054 1.223 0.283 1.043 0.149 1.395-0.0781.184-0.07 1.381 0.361 1.051 0.096 1.5-0.054表1：每个时段比特币和Litecoin每日日志回报的估计参数（从最早的（1）最新的（10）。注意，随着时间的推移，α减小，而γ在快速下降后略有增长。这些参数变化的影响是，更多的概率集中在尾部。

此外，在Litecoin的情况下，在最后一个周期中会出现轻微的正偏态。作为一种拟合优度程序，我们对所有时期的比特币和Litecoin logreturns进行了Anderson-Darling测试（使用模拟临界值，因为参数估计的效果取决于分布）。比特币1。2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 临界值2.428 2.387 2.399 2.664 2.343 2.426 2.55 2.659 2.57 2.491测试统计量1.709 1.123 0.824 1.232 1.269 1.582 1.777 2.473 3.906 4.054 Litecoin 1。2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10临界值2.625 2.591 2.334 2.577 2.358 2.366 2.594 2.548 2.172 1.967检验统计量0.747 0.787 1.041 1.807 1.963 1.069 1.011 1.293 1.397 1.663表2：每个时期进行的Anderson-Darling试验结果。只有在比特币的最后两个测试阶段，才出现了对完全假设（单变量稳定性）的否定。测试统计的结果很有希望，但我们有两次被拒。这可能是由于过去几年波动性的快速变化造成的，这一变化包含在最后两个窗口中。这些年来，价格从几百美元涨到了一万多美元，收益/损失明显不对称。我们仍然对这两种情况进行多元稳定分布，并且可能会显示两种货币之间依赖结构的有趣变化。