杠杆ETF预期效用的长期增长率：鞅

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英文标题：
《Long-Term Growth Rate of Expected Utility for Leveraged ETFs: Martingale
  Extraction Approach》
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作者：
Tim Leung, Hyungbin Park
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper studies the long-term growth rate of expected utility from holding a leveraged exchanged-traded fund (LETF), which is a constant proportion portfolio of the reference asset. Working with the power utility function, we develop an analytical approach that employs martingale extraction and involves finding the eigenpair associated with the infinitesimal generator of a Markovian time-homogeneous diffusion. We derive explicitly the long-term growth rates under a number of models for the reference asset, including the geometric Brownian motion model, GARCH model, inverse GARCH model, extended CIR model, 3/2 model, quadratic model, as well as the Heston and 3/2 stochastic volatility models. We also investigate the impact of stochastic interest rate such as the Vasicek model and the inverse GARCH short rate model. We determine the optimal leverage ratio for the long-term investor and examine the effects of model parameters.
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中文摘要：
本文研究了持有杠杆交易基金（LETF）的预期效用的长期增长率，LETF是参考资产的固定比例投资组合。利用幂效用函数，我们发展了一种分析方法，该方法采用鞅提取，并涉及到寻找与马尔可夫时间齐次扩散的无穷小生成元相关的特征对。我们明确推导了参考资产在多种模型下的长期增长率，包括几何布朗运动模型、GARCH模型、逆GARCH模型、扩展CIR模型、3/2模型、二次模型以及赫斯顿和3/2随机波动率模型。我们还研究了Vasicek模型和逆GARCH短期利率模型等随机利率的影响。我们确定了长期投资者的最佳杠杆比率，并检验了模型参数的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Long-Term_Growth_Rate_of_Expected_Utility_for_Leveraged_ETFs:_Martingale_Extract.pdf (331.35 KB)

2022-5-30 22:13:29 上传

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关键词：ETF 增长率 Mathematical Quantitative mathematica

杠杆ETF预期效用的长期增长率：鞅提取法Tim Leung*Hyungbin Pa rk+2016年12月6日摘要本文研究了持有平均汇率交易基金（LETF）的预期效用的长期增长率，该基金是参考资产的固定比例投资组合。利用幂效用函数，我们开发了一种分析方法，该方法采用鞅提取，并涉及找到与马尔可夫时间齐次微分的微元生成器相关的特征对。我们明确推导了参考集合的多个模型f下的长期增长率，包括几何布朗运动模型、GARCH模型、逆GARCHmodel、扩展CIR模型、3/2模型、q-uadratic模型以及赫斯顿和3/2斯托克斯波动率模型。我们还研究了Vasicek模型和逆GARCH短期利率模型等随机利率的影响。我们确定了长期投资者的最佳杠杆率，并检查了模型参数的影响。*华盛顿大学应用数学、计算金融和风险管理项目系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：timleung@uw.edu.通讯作者+美国马萨诸塞州伍斯特市伍斯特理工学院数学科学系，邮编：01609。电子邮件：hpark@wpi.edu.Contents1简介32 LETFs 52.1 LETF价格动态的鞅提取方法。52.2鞅提取。63单变量过程83.1 GBM模型。93.2 GARCH模型。103.3逆GARCH模型。

。113.4扩展CIR模型。123.5 3/2模型。144随机波动率模型154.1赫斯顿模型。164.2 3/2波动率模型。185随机参考和利率为205.1 Vasicek利率的LETF。205.2反向GARCH利率。216二次模型237结论25A扩展CIR模型25B反向GARCH模型27C二次模型281 Introducti OneExchange交易基金（ETF）是流行的金融产品，旨在验证参考资产或指数的价值。由于管理着超过2万亿美元的资产证券交易所，ETF在股票等主要交易所交易，即使参考本身可能无法交易。在不断增长的ETF市场中，杠杆ETF（LETFs）的创建是为了产生一个恒定的倍数β，称为杠杆率，即参考指数的每日回报。例如，ProSharesUltra标准普尔500指数（SSO）的日收益率是标准普尔500指数的两倍（β=2）。在LETF市场中，最常见的杠杆率为β∈ {1，2，3}和β∈ {-1.-2.-3} 。特别是，投资者可以通过在β<0的LETF中持有多头头寸，而无需借入股票或保证金账户，从而对参考进行看跌。

对于许多投机性投资者来说，LETF是一种非常容易获得且流动性很强的工具，可以提供平均敞口，尤其是在动量较大的时期，LETF表现活跃。对于LETF持有人和潜在投资者来说，了解价格动态以及杠杆率对每个LETF的风险和回报的影响至关重要。大量市场观察表明，LETF受到波动性衰减效应的影响，这反映了价值侵蚀与参考指数的已实现方差的比例。最近的研究，包括Avellaneda和Zhang（2010）、Cheng和Madhavan（2009）、Leung和Ward（2015）以及Leung和Santoli（2016），提出了离散时间和连续时间随机框架，以说明LETF对参考的路径依赖性，包括波动性衰减效应。事实上，SEC在2009年发布了一份关于LETF风险的警告公告，特别是当长期持有LETF时。Leung和Sa ntoli（2012）就不同风险措施得出了LETF的容许持有期限。这促使我们分析持有LETF的预期效用的长期增长率，并检查对杠杆率和参考动态的依赖性。在本文中，我们研究了holdinga-LETF期望效用的长期增长率。具体而言，我们考虑了不同的LETF价格随机模型（以T表示），并分析了以limt表示的长期增长率→∞tlog E[u（Lt）]，（1.1），其中u（·）是投资者的幂形式效用：u（w）=wα，0<α≤ 因此，相对风险规避系数由下式得出： := -wu′（w）/u′（w）=1- α，w>0。当α=1时，对应于零相对风险规避，极限为LETF预期收益的长期增长率。

因此，通过分析（1.1），我们可以分别了解对风险规避投资者和风险中性投资者有用的预期效用和预期回报的长期增长率。本文的主要贡献之一是提出一种新的方法来解析地确定上述极限。为此，我们采用鞅提取方法，通过该方法，发现长期增长的问题转化为二阶微分算子的特征对（特征值和特征函数）问题，该二阶微分算子与参考过程的微型生成器相关。我们的结果使我们能够确定长期风险规避投资者的最佳杠杆率。对于价格由Lt表示的β-LETF≡ Lt（β），我们找到了最佳杠杆率参见SEC警报http://www.sec.gov/investor/pubs/le veragedetfs警报。htm。比率β*使长期增长率最大化，即β*= arg最大β∈Rlimt公司→∞tlog E[u（Lt（β））]。（1.2）此外，我们还通过显式表达式检验了风险规避和模型参数对最优杠杆选择的综合影响。关于预期效用的长期增长率有许多相关研究。Fleming和Sheu（1999）的开创性工作研究了财富预期效用的最佳增长率。效用为双曲线绝对风险规避（HARA）型，针对不同的HARA参数和政策约束，开发了动态规划方案。Akian等人（1999年）研究了具有交易成本的最优投资策略，目的是在对数效用下使长期平均增长率最大化。在另一项相关研究中，Zhu（2014）还研究了单一风险资产中财富比例固定的非杠杆投资组合的预期电力效用的长期增长率，并得出了一些模型下的明确限制。

相比之下，我们研究了额外的单因素和多因素差异模型下的杠杆投资组合。Christensen和Wittlinger（2012）考虑了基于脉冲控制策略的增长率最大化问题，该策略具有有限的单位时间交易数量和比例交易成本。Guasoni和Mayerhofer（2016）分析了在Black-Scholes模型下，考虑到平均波动率和比例成本，最大化长期回报的最佳策略。Hat a和Sekine（2006）研究了一个长期最优投资问题，其目标是在Cox-Ingersoll-Ross利率下，使投资组合价值超过给定水平的概率最大化。应用大偏差理论，Pham（2003）得出了CARA效用下的最优长期投资策略，Pham（2015）检验了最优港口的长期渐近性，其中涉及最大化港口资本的盈利能力，以超过目标增长率。鞅提取法是一种相对较新的分析技术，用于研究许多金融和经济问题。在我们的主要参考文献中，Hansen和Scheinkman（200 9）以及Hansen（2012）开发了鞅提取方法来研究连续时间马尔科夫市场中的长期风险。Borovicka等人（2011年）利用鞅提取法，根据测量冲击影响的冲击弹性来检验冲击波。在这些研究中，作者将定价算子分解为三个组成部分：一个经验项、一个鞅和一个过渡项，每个都根据问题的背景进行财务解释。Park（20 16）利用鞅提取方法研究了长期现金流对底层过程扰动的敏感性。

Qin和Linetsky（2015）进一步分析了Hansen-Scheinkman因式分解（鞅提取）对马尔可夫定价算子正函数的影响。我们在这方面的贡献是首次应用martinga-le提取技术来明确计算预期效用的长期增长率。本文的其余部分如下。在第2节中，我们讨论了LETFs的鞅提取方法。在第3节中，我们解决了当参考价格服从一维马尔可夫微分时的长期增长率问题。第4、5和6节分别介绍了随机波动率模型、利率模型和二次模型。我们计算长期增长率并确定最佳杠杆率。第7节总结了本文。LETFsLet的2鞅提取方法(Ohm, F、 P）是一个概率空间，其中P是主观概率度量。表示byF≡ （Ft）t≥0由d维标准布朗运动B生成的过滤。考虑参考指数，如标准普尔500指数，其价格过程X是一个一维正时齐次马尔可夫扩散过程，满足dxtxt=utdt+σt·dBt，t≥ 0，（2.1），其中漂移过程u和向量波动过程σ皮重均为F适应。目前，我们没有指定参数随机漂移或波动率模型，尽管许多众所周知的模型，如赫斯顿模型以及其他随机或局部波动率模型也在上述框架内。此外，无风险利率过程用（rt）t表示≥0可能是常数或随机的，具体取决于模型。2.1 LETF价格动态参考X中杠杆ETF是一个固定比例的投资组合。基于X的长期LETF的杠杆率为β≥ 1.

在任何时间t，βLt的现金金额（β乘以fundvalue）投资于X，金额（β-1） LTI以无风险利率rt借入。严格峰值，用于β∈ [0，1），基金没有杠杆化，因为只有基金价值的一部分投资于风险资产，并且没有借款。对于比率β<0的短期LETF，a MOUNT |β| LTI的短期头寸为X，而a MOUNT（1- β） LTI以无风险利率rt保存在货币市场账户中。因此，LETF价格满足度DLT=βdXtXt文件- （（β- 1） rt）dt=（βut- （β- 1） rt）dt+βσt·dBt。在不丧失一般性的情况下，我们将L=X=1。时间t的LETF值允许表达式lt=XβteRt(-（β-1） 卢比-β（β- 1） |σs |）ds（2.2）=eRt（βus-（β-1） 卢比-β|σs |）ds+βRtσs·dBs，其中|·|是常用的d维范数。投资者的风险偏好由功率效用函数u（w）=wα建模，w>0，0<α≤ 因此，相对风险规避系数由下式得出： := -wu′（w）/u′（w）=1- α，w>0。将LETF保持到时间t的预期效用由EP【Lαt】=EP【XαβteRt】给出(-α（β-1） 卢比-αβ（β-1） |σs |）ds]（2.3）=EP[eRt（αβus-α（β-1） 卢比-αβ|σs |）ds+αβRtσs·dBs]=EP[HteRt（αβus-α（β-1） 卢比-α（1-α） β|σs |）ds]，（2.4）在整个过程中，我们使用点符号·进行列向量的乘法，而省略点进行矩阵乘法。其中，我们定义了随机指数ht：=eαβRtσs·dBs-αβRt |σs | ds。（2.5）特别是，当α=1时，风险规避 为零，因此期望值（2.3）是从保持LETF L超过[0，t]的预期回报。假设一个局部鞅Htin（2.5）是一个mart-ingale。然后，我们可以通过PdP定义一个新的度量值Ft=Ht。（2.6）根据G ir sanov定理，由^Bt定义的过程^B：=-αβZtσsds+bt用于t≥ 0（2.7）是^P下的标准布朗运动。

将（2.7）应用于（2.1）和（2.4），我们得到dxtxt=（ut+αβ|σt |）dt+σt·d^BtandEP[Lαt]=E^PheRt（αβus-α（β-1） 卢比-α（1-α） β|σs |）dsi。（2.8）为了分析预期效用，我们采用鞅提取法，这将在第2.2节中描述。这种方法允许我们以更便于分析和计算的形式表达预期效用。2.2鞅提取我们现在用一个通用的多维时间齐次马尔可夫扩散过程Gton讨论鞅提取方法(Ohm, F、 P）具有dr ift b（Gt）和波动率σ（Gt）。在SDE形式中，我们可以写bydGt=b（Gt）dt+v（Gt）dBt，其中b是d维列向量，v是d×d矩阵。b和σ的成分是可微分函数，并假设SDE具有强解。d维过程GT可能代表模型的多个组成部分，如参考、随机波动率、随机利率或其他随机因素。固定一个连续可微的多变量函数k（·）。用L表示杀死老鼠的GT的微型生成器e k。假设（λ，φ）是对应toLφ=-λφ，（2.9），其中λ∈ R和φ是一个正的连续二次可微函数。可以看出mt：=eλt-Rtk（Gs）dsφ（Gt）φ-1（G）（2.10）是一个局部鞅，通过检查dMtis的dt项为零。有关主题，请参阅赫德和库兹涅佐夫（2008）。定义2.1。设（λ，φ）为-L满足（2.9）。当方程（2.10）中定义的过程mt是鞅e时，我们可以说该对（λ，φ）包含了e的鞅抽取-Rtk（Gs）ds。在这种情况下，本征对（λ，φ）称为容许本征对。在这种情况下，我们可以表示方程（2.10）ase-Rtk（Gs）ds=Mte-λtφ-1（Gt）φ（G），并将其解释为从e中提取的鞅mt-Rtk（Gs）ds。

对于每个可容许特征对（λ，φ），我们可以定义一个新的度量QφbyQφ（a）：=ZAMtdP=EP【IAMt】，用于a∈ Ft.（2.11）该测度Qφ称为P相对于（λ，φ）的变换测度。为方便起见，我们使用符号Q代替Qφ。反过来，我们应用从P到qt的度量变化来表示期望值ep[e-Rtk（Gs）dsf（Gt）]=等式[（φ-1f）（Gt）]·e-λtφ（G）。（2.12）在许多情况下，右侧更易于计算和分析。例如，期望值EQ[（φ-1f）（Gt）]取决于Gtat timet的边际分布，而EP[e-Rtk（Gs）dsf（Gt）]取决于（Gs）0的整个路径≤s≤t、 这一观察结果对于我们分析LETF特别有用，因为它们也是路径依赖的。GTI的动态也在变换后的测度Q下进行了过滤。为了看到这一点，我们定义了与MtbyД相关的Girsanov核：=v·φφ，（2.13）然后鞅Mtsatis fiesdmtmt=Д（Gt）dBt。根据Girsanov定理，由WT定义的过程：=Bt-ZtД（Gs）ds，t≥ 0，（2.14）是Q下的标准布朗运动。因此，给定一个可容许的特征对（λ，φ），过程G在Q下按照Gt=（b+vν）（Gt）dt+v（Gt）dWt演化。正如预期的那样，本征函数φ出现在Gt的漂移调整中，但不影响扩散项。此外，如果Q下的Gt密度函数也可用闭合形式，则可以计算并分析期望EQ[（φ-1f）（Gt）]。并非所有，但在许多情况下，我们将选择一个可容许的本征对，使得项EQ[（φ-1f）（Gt）]收敛到非零常数。由此，我们得出了LETFs预期效用的长期增长率。提案2.1。设（λ，φ）为L的容许特征对，Q为相应的变换测度。