人类决策中的量子结构：走向量子预期

事实上，假设决策者分配主观概率pRand pB=1-pR分别针对事件“绘制红色球”和“绘制黑色球”，则条件W（f）>W（f）等效于（pR-)（u（100）- u（0））<0，其中u（0）和u（100）分别表示与收益0和100相关的效用。相反，条件W（f）>W（f）等于（pR-)（u（100）- u（0））>0。因此，我们无法找到科尔莫戈罗夫概率测度。其中一个公理是著名的确定原则，这在埃尔斯伯格悖论中被违反。其他公理具有技术性质。然而，SEUT的公理与当前目的无关，因此为了简洁起见，我们将不详细讨论它们。使f 风扇f fby最大限度地发挥欧盟在这方面的功能，这就是悖论。上述埃尔斯伯格悖论和其他埃尔斯伯格类型的谜题使SEUT的描述性和规范性基础都岌岌可危，这导致许多学者提出了SEUT的替代方案，其中更一般的，甚至非科尔莫戈罗夫式的数学结构被用来表示主观概率。主要的非欧盟模型包括等级依赖型欧盟、具有多个先验的欧盟、二阶信念等（参见，例如，[12，23]）。2009年，马克·梅奇纳阐述了埃尔斯伯格悖论的两种变体，即50/51示例和there flection示例，它们以类似于埃尔斯伯格示例挑战SEUT的方式挑战主要的非欧盟模型【17，24】。机器偏好在两次测试中都得到了证实，这两次测试都是针对EUT及其非欧盟泛化[18]和[25]的预测。

Ellsberg和Machina悖论的含义是，在不确定性条件下，用一种统一的理论方法来表示人类的偏好和选择仍然是一个尚未实现的目标[25]。我们在此说明并分析了我们在埃尔斯伯格双瓮示例上进行的DM测试，该测试证实了传统的歧义厌恶模式，并实现了量子理论建模[18]。正如我们将在第节中看到的，结果和保险量子模型对模糊厌恶在财务和医疗决策中的应用具有深远的影响。我们向200名样本提供了一份问卷，其中他们必须在表1中的行为“fversus f”和“fversus f”之间进行选择。受访者总体上具备概率理论的基本知识，但未接受决策理论方面的专门培训。向受访者提供了一份类似于图1所示的文件。在测试中，26名受访者选择了acts fand f，10名选择fand f，6名选择fand f，158名选择fand f。同等地，164名受访者超过200名选择act f的受访者，平均偏好率为164/200=0.82（差异显著，p=1.49E-24). 此外，超过200人的168名受访者对f法案更为青睐，偏好率为168/200=0.84（差异显著，p=1.25E- 28). 最后，超过200人的184名受访者选择fand或fandf，反转率为184/200=0.92。这种模式符合埃尔斯伯格偏好和pointstowards歧义厌恶，而SEUT无法复制这种模式。此外，这些结果证实了文献中存在的实证结果（例如，参见[12]）。需要注意的是，在每一对行为中，决策者都被要求在风险选项（即获得给定结果的概率已知的选项）和模糊选项（即获得相同结果的概率未知的选项）之间进行选择。我们将在门派中看到。

5这正是一个实验环境，旨在测试个人在更具体的DM情况下对歧义的态度，如医疗和财务决策。这使得对两个urn示例以及随后的量子数学形式主义建模进行了相关的系统研究。在下一节中，我们将勾勒出量子理论框架，该框架模拟了人类的决策、歧义、歧义厌恶，并从真正的量子结构的角度解释了埃尔斯伯格和其他塞特难题。3预期效用的量子理论框架我们在本节中总结的量子理论框架为埃尔斯堡悖论和机器悖论情况提供了成功的建模【15】。此外，它还可以对这些悖论的不同DM测试集进行量子表示，即三色实验【14，18】、50/51实验【14，18】和反射实验【16，18】。量子理论框架构成了SEUT基于量子态相关扩展发展的第一步【16】。为了简单起见，我们假设每个选择都涉及两个备选方案，因此行为之间的差异不是一个可能的选择。图1：。埃尔斯伯格双瓮实验问卷样本。它对应于表1中acts和fin之间的选项。让我们首先介绍实现我们的目标所需的基本概念。这些概念基于布鲁塞尔研究团队为量子和认知实体制定的现实和可操作的方法【13】。决策的目标是决策者与定义一个概念上的DM实体进行互动，该实体被视为处于定义状态的pv。这种状态抓住了模糊性的各个方面，并具有概念性，因此必须将其与自然的物理状态区分开来（见第2节）。

设∑DM表示DM实体所有状态的集合。设E表示DM实体处于特定状态时可能发生的所有事件的集合。对于状态pv∈ ∑DM，让u（E，pv）表示当DM实体处于状态pv时E发生的（主观）概率。那么，让E，E，恩∈ E表示互斥和穷举的基本事件，设X < bethe the set of results（monetary results），and let，for every i∈ {1，…，n}，act f映射elementaryevent Ei∈ E进入结果xi∈ <, 所以f=（E，x；…；En，xn）。最后，让u:X-→ < 连续严格递增效用函数，表达个人对风险的偏好。与量子实体的正则表示一样，我们将DM实体与复数域C上的希尔伯特空间H相关联。互斥和穷举元素事件的数目n意味着可以选择希尔伯特空间H同构于所有复数n元组的希尔伯特空间。设{|αi，|αi，…，|αni}为Cn的标准正交基，即|αi=（1，0，…0）|αni=（0，0，…n）。事件集E由Cn上所有正交投影算子的完全正交补但非分配格（Cn）表示。特别是∈ {1，…，n}，元素事件ei由一维正交投影算子Pi=|αiiihαi |表示。符号f=（E，x；…；En，xn）的解释是决策理论中常见的解释，也就是说，如果事件发生，我们得到xif，xnif事件发生。对于每个状态pv∈ ∑DM实体的dma，由单位向量| vi=Pni=1hαi | vi |αii表示∈ Cn，映射uv:P∈ L（Cn）7-→ uv（P）∈ 由Born规则导出的[0，1]（1）是L（Cn）上的量子概率测度。

尤其是，uv（P）与（主观）概率u（E，pv）相一致，即事件E（由正交投影算子P表示）在DM实体处于状态pv时发生。因此，特别是对于每一个∈ {1，…，n}，u（Ei，pv）=hv | Pi | vi=| hαi | vi |（2）现在让我们使用量子力学形式来表示行为。对于每个pv，动作f=（E，x；…；En，xn）由厄米算子表示，f=nXi=1u（xi）Pi=nXi=1u（xi）|αiihαi |（3）∈ ∑DM，我们引入了功能性的“状态pv中的EU”，Wv:F-→ <, 如下所示。预测f∈ F，Wv（F）=hv | F | vi=hv|nXi=1u（xi）Pi|vi=nXi=1u（xi）hv | Pi | vi=nXi=1u（xi）| hαi | vi |=nXi=1u（Ei，pv）u（xi）（4），其中我们使用了（2）和（3）。方程式（4）概括了第（xii）节中的SEUT公式。2、我们注意到，欧盟通常依赖于DM实体的国家PVDM。当Wv（f）不（不）明确依赖于DM实体的状态pv时，则动作f（un）不明确。因此，pv在数学和概念上包含了歧义的存在。这特别意味着，对于每个f，g∈ F，状态pv，pw∈ ∑DMV可能存在Wv（f）>Wv（g），而Ww（f）<Ww（g），这取决于决策者对歧义的态度。这建议在行为集合F中引入一种依赖于状态的偏好关系，如下所示。对于每个f，g∈ F和pv∈ ∑DM，f%vg i ff Wv（f）≥ Wv（g）（5）方程（5）表明，原则上可以确定一组关于行为及其顺序关系的公理，允许通过最大化依赖于状态的EU泛函来唯一地表示偏好，从而为量子SEUT铺平道路。然而，这样一个表示定理将超出本文的范围，因此我们不在这里讨论它。让我们来看看DM流程。DM实体的状态可以在上下文的影响下发生变化，而上下文又具有认知性质。

这种认知语境的一个例子是可以在DM实体上执行的具有n个可能的eoutcomes{1，…，n}的测量，其中第i个结果与基本事件Ei相关联∈ E如果获得第i个结果，DM实体的状态将转换为单位向量|αii表示的状态。更一般地说，如果我们用C表示所有上下文的集合，那么它们对DM实体的影响可以用转移概率ν（pv，C，pv）来描述，其中上下文C∈ C改变初始状态pv∈ ∑DMinto最终状态pv∈ ∑DM。现在假设，当决策者收到一份涉及行为f和g之间选择的问卷时，DM实体处于初始状态pv，这通常由对称性原因决定。状态pv被解释为在没有任何上下文的情况下DM实体的状态（等效地，在存在单一上下文的情况下）。当决策者开始比较f和g时，这种认知行为可以描述为与DM实体交互并改变其状态的上下文。状态变化的类型直接取决于决策者对模糊性的态度。更准确地说，一个给定的对歧义的态度，比如说歧义厌恶，将决定DM实体状态的给定变化为状态pv，从而诱导决策者选择，比如f。但是，对歧义的不同态度，即歧义寻求，将决定DM实体状态向状态pw的不同变化，导致决策者选择g。这样，对歧义的不同态度通过DM实体状态的不同变化形式化，因此，通过（2）通过不同的主观概率度量。我们在[16，18]中证明，上述状态依赖可以准确地解释埃尔斯伯格和梅奇纳悖论情况下的偏好反转。

从我们的角度来看，这个结论很有趣。一方面，SEUT声称，决策者应该选择这样一种方式，以最大限度地利用Kolmogorovian概率测度实现欧盟。另一方面，我们发现，如果假设决策者在一个非科尔莫哥洛夫、特定量子的概率测度下，实际上最大化了EU，那么Seutar的各种谜题就解决了。4埃尔斯堡双瓮的应用在本节中，我们详细说明了Sect的量子理论框架。3到埃尔斯伯格双瓮示例，表明它能够忠实地表示第节中的实验数据。2、两个urn示例定义了两个概念实体，DM实体I是具有100个红色或黑色球的未知比例的urn，DM实体II是具有50个红色球和50个黑色球的urn。在没有任何上下文的情况下，出于一致性的原因，我们可以假设这两个实体最初都处于状态pv，这具有认知性质，正如我们在第节中所看到的。让ERand Eb分别表示详尽且互斥的基本事件“画一个红球”和“画一个黑球”。他们定义了DM实体I和DM实体II的“颜色测量背景”，并给出了两种结果，分别对应于红色和黑色。因此，DM实体I和DM实体II都与二维复希尔伯特空间c相关联。设{（1，0），（0，1）}是基于C的正则。颜色测量由一个具有特征向量| Ri=（1，0）和| Bi=（0，1）的厄米算子表示，或者，等效地，由谱族{PR=| RihR |，PB=| BihB |=- PR}。

在C的正则基中，由于上述一致性原因，DMentity I和DM entity II的初始状态Pv都用单位向量| vi表示=√|国际扶轮社+√|Bi公司=√（1，1）（6）DM实体I和DM实体II的通用状态pv由单位向量| vi=ρReiθR | Ri+ρBeiθB | Bi=（ρReiθR，ρBeiθB）（7）和ρR，ρB表示≥ 0，θR，θB∈ <, ρR+ρB=1。每一个我∈ {R，B}，在状态pvf中绘制颜色i的球的（主观）概率uv（Ei），其DM实体i或DM实体II为uv（Ei）=hv | Pi | vi=| hi | vi |=ρi（8），让我们考虑行为f，f，fand fin的表示，表1，第节。2、对于给定的效用值u（0）和u（100），分别由Hermitian操作符^f=u（100）PR+u（0）PB（9）^f=u（100）PR+u（0）PB（10）^f=u（0）PR+u（100）PB（11）^f=u（0）PR+u（100）PB（12）表示的行为f、f和fand fand fand fand fand fare DM实体I和DM实体II的状态PVV分别由WV（f）=hv | f表示。| vi=ρRu（100）+ρBu（0）=ρRu（100）+（1- ρR）u（0）（13）Wv（f）=hv|f|vi=ρRu（100）+（1- ρR）u（0）（14）Wv（f）=hv | f | vi=ρRu（0）+ρBu（100）=ρRu（0）+（1- ρR）u（100）（15）Wv（f）=hv | f | vi=ρRu（0）+（1- ρR）u（100）（16），其中我们使用了（7）和（9）–（12）。现在，当决策者被要求在行为选择和行为选择之间进行思考时，在做出决策之前，思考本身定义了一个认知背景，因此它可能再次改变决策实体I和II的状态。类似地，当决策者被要求在行为选择和行为选择之间进行思考时，这在做出决策之前定义了一个新的认知背景，这可能会改变决策实体I和II的状态。然而，fand f之间的思考（以及fandf之间的思考）将对DM实体I和II产生不同的影响。

事实上，由于法案fis模棱两可，而fis则毫不含糊，fand和FW之间的比较将确定DM实体I从状态pv变为通常不同的状态pv，而相同的比较将使DM实体II处于初始状态pv。类似地，由于金融机构不明确而金融机构不明确，FANDF之间的比较将确定DM实体I从状态pv变为通常不同的状态pv，而相同的比较将使DM实体II处于初始状态pv。因此，状态pof DM实体II中（14）和（16）中的预期效用变为Wv（f）=Wv（f）=（u（100）+u（0）），这不取决于DM实体II的认知状态，这符合fand fare明确行为的事实，而（13）和（15）中的EUs则取决于DMentity I的最终状态，同样符合fand fare模糊行为的事实。然后，让我们证明，存在两个避免歧义的最终状态PVDM实体I和PVDM实体I，从而相应的EUs满足第节中的埃尔斯伯格偏好。2，即Wv（f）<Wv（f）和Wv（f）<Wv（f）。实际上，假设状态pv和pv在C的正则基上由单位向量| vi=(√α,√1.- α） （17）| vi=(√1.- α, -√α） （18），其中α<。我们初步观察到，状态pv和pv由正交向量表示，即hv | vi=0。此外，通过使用（13）–（16），我们得到了wv（f）=αu（100）+（1- α） u（0）<（u（100）+u（0））=Wv（f）（19）Wv（f）=（1- α） u（0）+αu（100）<（u（100）+u（0））=Wv（f）（20）因此，模糊厌恶状态pv和pv完美地再现了相对于SEUT的埃尔斯伯格偏好。仍需对第节中的实验数据进行建模。2.

为此，假设ACT和fis之间的决策度量由谱族{M）表示，-M} ，其中正交投影算子M投影到由单位向量| mi=（ρmeiθM，τmeiφM）或等效地，M=| mihm |生成的一维子空间上=ρmρmτmei（θm-φm）ρmτme-i（θm）-φm）τm（21）类似地，假设行为和金融机构之间的决策度量由频谱{N表示，- N}，其中正交投影算子N投影到由单位向量| ni=（ρneiθN，τneiφN）或等效地，N=| nihn |生成的一维子空间上=ρnρnτnei（θn-φn）ρnτne-i（θn-φn）τn（22）因此，条件hv | M | vi=0.82（23）hv | M | vi=0.50（24）hv | vi=1（25）hv | N | vi=0.84（26）hv | N | vi=0.50（27）hv | vi=1（28）必须通过参数α<、ρM、τM、ρN、τN满足≥ 0，θm，φm，θn，φn∈ <. 方程式（23）和（26）由经验数据确定，（25）和（28）由归一化条件确定，而（24）和（27）由以下事实确定，即对模糊性不敏感的决策者总体上应该在fand f之间以及fand f之间有所不同。因此，平均而言，预计一半的响应者更喜欢f（f）和另一半的f（f）。为了简化分析，我们设置θm=90o,θn=270o, φm=φn=0。因此，我们剩下一个由5个未知变量组成的6个方程组，其解为α=0.14815ρm=0.21274τm=0.97711ρn=0.99155τn=0.12975（29），因此，（21）和（22）中的正交投影算子再现了第节中的实验数据。2雷姆=0.04526 0.20787i-0.20787i 0.95474（30）N=0.98316-0.12865i0.12865i 0.01684（31）这就完成了埃尔斯伯格双瓮实验量子模型的构建。