两种税收过程的等价性

自然税率δ将税率描述为税前资本增量的比例，而非税后资本增量的比例，因此我们认为，自然税率δ比κ更适合作为参数。具有累进自然税率的税收过程的存在当税率随着资本量的增加而增加时，税收制度通常被称为累进。我们将证明，当δ是递增（弱意义）可测函数δ：[x，∞) → [0，1），则ODE（3）具有唯一解，这意味着税率为δ的自然税收过程的存在性和唯一性。对于存在性，由于δ是一个递增函数，我们得到g（z）：=1- δ（z），z≥ x、 是一个严格正的递增可测函数，因此是可积的，soG（y）：=Zyxg（z）dz，y≥ x、 是绝对连续的。此外，由于G是连续且严格递增的，因此G-1存在，当G>0 a.e.，G-1绝对连续[5，第一卷，第389页]。因此，（G-1） （t）几乎对每个t都存在，因此（3）的解由yx（t）=G给出-1（t）。这是因为，根据反函数定理【12，定理31.1】，它认为dg-1（t）dt=g（g-1（t））=1- δ（G-1（t）），对于a.e.t>0，并且由于G（x）=0，我们有G-1（0）=x。对于唯一性，由于δ增大，因此（3）的右侧减小。这保证了唯一性，例如，可以使用[7，定理1.3.8]证明这一点。最优控制在X是谱负Lévy过程的情况下，Wang and Hu[15]研究了潜在税收过程Uγ的一个非常有趣的最优控制问题，由supγ给出∈∏Ex“Zσ-e-qtγ（Xt）dXt#，（10），其中σ-= inf{t≥ 0:Uγt<0}，且∏是可测函数集γ：[0，∞) →[α，β]，其中0≤ α ≤ β<1是固定的。用γ表示*函数γ∈ 如果存在，则∏最大化（10）。

王和胡的工作的一个显著特点是，他们获得了一个自然税收过程，作为控制潜在税收过程问题的最佳解决方案，我们现在将解释这一点。在定理3.1中，Wang和Hu指出γ*应满足方程式γ*（Xt）=ηx+ZXtx（1- γ*（y） ）dy！=η（Uγ*t） ，对于一些函数η，他们称之为最优决策规则。另一方面，设δ为满足定理1（ii）假设的函数，并在该结果中定义γδxas。如果我们写ξ=γδx，那么通过γδx与（5）和（6）的定义，我们得到关系ξ（Xt）=δx+ZXtx（1- ξ（y））dy！=δ（Uξt）。从定理1可以看出，王和胡的最优决策规则η与最优税率γ之间的关系*只不过是特定自然税率δ和等效潜在税率γδx之间的关系。我们的结果表明，即使在最优控制环境之外，这种联系也是合理的，并明确了这种联系在哪些条件下有效。Wang和Hu继续证明η必须是分段常数，尤其是η=fb，如（7）所定义，其中b是根据Lévy过程的标度函数指定的，但与x无关；参见第4节和他们工作中的方程式（5.15）（其中b表示dU）。结合这一点和我们的结果，我们可以看到Wang和Hu对最优控制问题（10）的解决方案实际上是一个具有分段恒定自然税率fB或等效分段恒定潜在税率fb（x）的税收过程，其中b（x）取决于示例2中的xas。税收恒等式假设我们处于推论3的设置中，其中X是一个具体的负Lévy过程。这里我们感兴趣的是税收恒等式：自然税收过程Vδ的生存概率与不含税收X的风险过程的生存概率之间的关系。

为此，设φδ（x）=Px输入≥0Vδt≥ 0φ（x）=Px输入≥0Xt≥ 0分别是有税和无税风险模型中的生存概率。如果yδx(∞) < ∞, 过程Vδ不能超过水平yδx(∞). 从每个起始水平（尤其是从yδx(∞)), 在这种情况下，V低于零的概率是严格正的，标准更新参数表明生存概率φδ（x）为零。另一方面，如果yx(∞) = ∞, 然后我们可以应用推论3得到两个生存概率之间的关系。也就是说，让q→ 0和a→ ∞ 在（8）中，使用φ（x）的著名表达式（参见，例如，[8，方程（8.10）]），我们得到φδ（x）=exp(-Z∞xW（y）W（y）（1- δ（y））dy）=exp(-Z∞xd ln（φ（y））dy·（1）- δ（y））dy）。这与[3，命题3.1]中的特殊情况一致，其中X是一个Cramér-Lundbergrisk过程，这证实了在[3]自然税收过程中是考虑的。3证明我们从推广[10]结果的引理开始。引理4。设K=（Kt）t≥0是一个随机过程，对于该过程，每条路径都是时间的函数，并且每t的Kt<1≥ 0、定义=Xt-Zt+KsdXs，t≥ 0。那么，Ht=Xt-Zt+KsdXs，其中Ht=sups≤tHs。此外，{t≥ 0：Ht=Ht}={t≥ 0:Xt=Xt}。证据因为所有t的Kt<1≥ 0时，[10，引理2.1]中的证明可以不加修改地工作。接下来我们证明定理1的第（ii）部分，除了积分方程的存在性。引理5。设δ：[x，∞) → [0，1）是一个可测函数，并假设存在唯一解yδxof（3）。定义γδx：[x，∞) → [0，1）乘以γδx（s）=δyδx（s- x）. 如果存在解Vδ=（Vδt）t≥0到积分方程vδt=Xt-Zt+δ（Vδr）dXr，t≥ 0，（11）然后Vδt=yδx（Xt- x） 因此Vδ是一个潜在税收过程，其潜在税率由γδx.Proof给出。假设Vδ解（11）。引理4，Vδt=Xt-Zt+δ（Vδr）dXr，t≥ 0

（12） 我们定义Lt=Xt- 我们让我-1abe其右倒数，即-1a：=inf{t>0：Lt>a}=inf{t>0：Xt>a+x}，如果0≤ a<L∞,∞, 如果a≥ L∞.由于X没有向上跳跃，t7→ XT是连续的，这意味着XL-1a=x+（a∧ L∞). （13） 分别使用（12）表示t=L-1a=L-1a级∧L∞, （13） 变量的变化公式r=L-1b（例如，参见第8页的第14页页脚），我们有≥ 0，VδL-1a级∧L∞= 特大号-1a级∧L∞-ZL公司-1a级∧L∞+δ（Vδr）dXr=x+（a∧ L∞) -Z∞+{r≤L-1a级∧L∞}δ（Vδr）dXr=x+（a∧ L∞) -Z∞{0<L-1b级≤L-1a级∧L∞}δ（VδL-1b）db=x+Za∧L∞1.- δVδL-1b级db，在最后一个等式中，我们使用了L-1在[0，L]上严格递增∞], 因为t 7→ XT连续。通过假设（3）有唯一解yδx，我们得出，VδL-1a级∧L∞= yδx（a∧ L∞) = yδx特大号-1a级∧L∞- x个, 一≥ 0，（14），其中最后一个等式后跟（13）。同于t 7→ XT不向上跳，XL-1Lt=XT表示所有t≥ 0，这意味着通过（12）VδL-1Lt=所有t的Vδt≥ 因此，通过调用（14）fora=Lt，我们得出结论：Vδt=yδx（Xt- x） 对于所有t≥ 我们现在准备证明定理1和推论3。定理1的证明。（i） 修复t≥ 通过引理4，我们得到了γt=Xt-Zt+γ（Xr）dXr。通过应用变量y=Xr的变化，我们得到uγt=Xt-ZXtxγ（y）dy=’γx（Xt），其中我们回忆起‘γx（s）=x+Rsx（1- γ（y））dy.因此，\'γ-1x（Uγt）=Xt，soγ（Xt）=γ（(R)γ-1x（Uγt））=Δγx（Uγt）。因此，Uγ是一个自然税率为Δγx的自然税收过程。（ii）解（2）的唯一性和等式（6）直接来自Lemma5。因此，仍然需要证明（2）的解的存在性。根据假设，存在唯一解yδxto（3）。γδx（z）=δyδx（z- x）, 我们定义δ：[x，∞) → [0，1）乘以‘δ（z）=γδx（(R)γδx）-1（z）= δyδxγδx-1（z）- x个,式中（(R)γδx）-是γδx（z）=x+Zzx（1）的反函数- γδx（y））dy。

（15） 根据定理1的第（i）部分，潜在税率为γδxis的税收过程是自然税率为δ的自然税收过程。因此，仍需证明‘（z）=z的δ（z≥ x、 注意，’γδxis是一个绝对连续的函数，因此（’γδx）几乎存在于任何地方。通过（3），我们得到了，对于存在（(R)γδx）（z）的z，ddzyδx（（(R)γδx）-1（z）- x）=h1- δyδx（(R)γδx）-1（z）- x个iddz公司（(R)γδx）-1（z）=h1- γδx（(R)γδx）-1（z）iddz公司（(R)γδx）-1（z）.因为根据反函数定理【12，定理31.1】，ddz（(R)γδx）-1（z）=（\'-γδx）（\'-γδx）-1（z））=1- γδx（（(R)γδx）-1（z）），我们看到了yδx（（(R)γδx）-1（z）- x）= 1 a.e.，因此，通过绝对连续性，对于某些常数c，我们得到yδx（（(R)γδx）-1（z）- x） =z+c，z≥ x、 自（(R)γδx（x））起-1=x=yδx（0），我们得到c=0。我们得出的结论是：δ（z）=δ（z）forz≥ x、 这就完成了证明。推论3的证明。从（6）中，我们可以看到τ+a=∞ 当≥ yx公司(∞). 因此，我们可以在不丧失一般性的情况下假设a<yδx(∞). 通过定理1的第（ii）部分，我们知道Vδ是一个潜在税率为γδx的潜在税收过程。因此，我们可以使用文献[10]中的定理1.1得出以下结论：e-qτ+a{τ+a<τ-}= 经验值(-ZaxW（q）0（y）W（q）（y）（1- γδx（（(R)γδx）-1（y）））dy），其中（(R)γδx）-1是（15）给出的函数γδx的倒数。注意，在[10]中，额外假设∞(1 - γδx（z））dz=∞ 根据潜在税率，但从[10]中第1.1项的证明可以看出，当a<yδx时，该假设是不必要的(∞). 在定理1（ii）的证明中，我们证明了γδx（(R)γδx）-1（y）= δ（y）表示所有y≥ x、 完成了证明。感谢两位匿名裁判的宝贵意见。此外，这项工作还得到了沙特阿拉伯沙特国王大学博士生达拉尔·加尼姆（DalalAl-Ghanim）的资助。参考文献【1】H.Albrecher和C.Hipp。伦德伯格的税务风险流程。Bl.DGVFM，28（1）：13–28，2007年。ISSN 1864-0281。内政部：10.1007/s11857-007-0004-4。[2] H.Albrecher，J.-F。

雷诺和X.周。一个带有税收的利维保险风险流程。J、 应用程序。概率。，45(2):363–375, 2008. ISSN 0021-9002。内政部：10.1239/jap/1214950353。[3] H.Albrecher、S.Borst、O.Boxma和J.Resing。风险理论中的税收恒等式是一种简单的证明和推广。保险数学。经济体。，44(2):304–306, 2009. ISSN0167-6687。内政部：10.1016/j.insmatheco。2008.05.001.[4] H.Albrecher、F.Avram、C.Constantinecu和J.Ivanovs。马尔科夫加性风险过程的税收恒等式。Methodol。计算机。应用程序。概率。，16(1):245–258,2014. ISSN 1387-5841。内政部：10.1007/s11009-012-9310-y.[5]V.I.波加乔夫。测量理论。第一卷，第二卷。Springer Verlag，柏林，2007年。ISBN978-3-540-34513-8；3-540-34513-2. 内政部：10.1007/978-3-540-34514-5。[6] 张建坤（E.C.K.Cheung）和兰德里奥（D.Landriault）。关于一个具有盈余依赖的溢价税率的风险模型。Methodol。计算机。应用程序。概率。，14(2):233–251, 2012. ISSN 13875841。内政部：10.1007/s11009-010-9197-4。[7] Z.Jackiewicz。普通微分方程的一般线性方法。约翰·威利父子公司，新泽西州霍博肯，2009年。ISBN 978-0-470-40855-1。内政部：10.1002/9780470522165。[8] A.E.基普里亚努。Lévy过程的波动及其应用。UniversityText。施普林格，海德堡，第二版，2014年。ISBN 978-3-642-37631-3；978-3-642-376320. 内政部：10.1007/978-3-642-37632-0。介绍性讲座。[9] A.E.Kyprianou和C.Ott。谱负Lévy过程受其运行上确界泛函的扰动。J、 应用程序。概率。，49(4):1005–1014, 2012. ISSN0021-9002。[10] A.E.基普里亚努和X.周。一般税收结构和莱维保险风险模型。J、 应用程序。概率。，46(4):1146–1156, 2009. ISSN 0021-9002。内政部：10.1239/jap/1261670694。[11] B.Li、Q.Tang和X.Zhou。含税的时间齐次扩散模型。J、 应用程序。概率。，50(1):195–207, 2013. ISSN 0021-9002。内政部：10.1239/jap/1363784433。[12] G.B.价格。多变量分析。Springer Verlag，纽约，1984年。

ISBN 0-38790934-6。内政部：10.1007/978-1-4612-5228-3。[13] J.-F.雷诺。税收结构依赖盈余的Lévy保险风险模型中的纳税分配。保险数学。经济体。，45(2):242–246,2009. ISSN 0167-6687。内政部：10.1016/j.insmatheco。2009.07.004.[14] D.Revuz和M.Yor。《连续鞅和布朗运动》，Rundlehren der Mathematischen Wissenschaften《数学科学基本原理》第293卷。Springer Verlag，柏林，第三版，1999年。ISBN 3-540-64325-7。内政部：10.1007/978-3-662-06400-9。[15] W.Wang和Y.Hu。利维风险模型的最优损失结转税。保险数学。经济体。，50(1):121–130, 2012. ISSN 0167-6687。内政部：10.1016/j.insmatheco。2011.10.011.[16] L.Wei。存在利息收入和纳税的破产概率。保险数学。经济体。，45(1):133–138, 2009. ISSN 0167-6687。内政部：10.1016/j.insmatheco。2009.05.004.