两种税收过程的等价性

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英文标题：
《The equivalence of two tax processes》
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作者：
Dalal Al Ghanim, Ronnie Loeffen, Alex Watson
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We introduce two models of taxation, the latent and natural tax processes, which have both been used to represent loss-carry-forward taxation on the capital of an insurance company. In the natural tax process, the tax rate is a function of the current level of capital, whereas in the latent tax process, the tax rate is a function of the capital that would have resulted if no tax had been paid. Whereas up to now these two types of tax processes have been treated separately, we show that, in fact, they are essentially equivalent. This allows a unified treatment, translating results from one model to the other. Significantly, we solve the question of existence and uniqueness for the natural tax process, which is defined via an integral equation. Our results clarify the existing literature on processes with tax.
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中文摘要：
我们介绍了两种税收模型，潜在税收过程和自然税收过程，这两种模型都被用来表示保险公司资本的损失结转税收。在自然税收过程中，税率是当前资本水平的函数，而在潜在税收过程中，税率是如果没有缴纳税收就会产生的资本的函数。虽然到目前为止，这两种类型的税收过程已经被分开处理，但我们表明，事实上，它们在本质上是等价的。这允许统一处理，将结果从一个模型转换到另一个模型。重要的是，我们解决了通过积分方程定义的自然税收过程的存在性和唯一性问题。我们的结果澄清了有关税收过程的现有文献。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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关键词：Quantitative Differential Applications Probability Translating

两种税收过程的等价性Dalal Al-Ghanim*Ronnie Loeffen+Alexander R.Watson2019年10月23日我们介绍了两种税收模型，潜在税收过程和自然税收过程，这两种模型均用于表示保险公司资本的损失结转税收。在自然税收过程中，税率是当前资本水平的函数，而在潜在税收过程中，税率是如果没有缴纳税收就会产生的资本的函数。虽然到目前为止，这两种类型的税收过程已经分别处理，但我们表明，实际上，它们在本质上是等价的。这允许进行统一处理，将结果从一个模型转换到另一个模型。重要的是，我们解决了naturaltax过程的存在性和唯一性问题，该过程通过积分方程定义。我们的结果澄清了现有的关于税收过程的文献。关键词和短语。风险过程，税收过程，税率，谱负Lévy过程，破产概率，税收恒等式，最优控制。MSC2010分类。60G51、91B30、93E20、91G80.1简介和主要结果风险过程是保险公司（经济）资本或盈余随时间演变的模型。假设我们有一些模型X=（Xt）t≥0对于riskprocess，其中XT代表公司在时间t的资本；例如，一个常见的选择是X是一个具有负跳跃的Lévy过程。任何此类模型都可以进行修改，以纳入所需的功能。例如，反思给定障碍的路径可以模拟保险公司将超出障碍的资本金作为股息支付给股东的情况。

类似地，“折射”在一个给定角度的agiven水平上的路径对应于当资本高于该水平时以一定固定利率支付股息的情况，或者等效地，对应于两步溢价率。在莱维工艺案例中，Kyprianou【8】第10章对这些修改进行了更详细的描述。*曼彻斯特大学数学系，英国。达拉尔。alghanim@postgrad.manchester.ac.uk.+英国曼彻斯特大学数学系。罗尼。loeffen@manchester.ac.uk.伦敦大学学院，英国统计科学系。亚历山大。沃森@ucl。ac.uk。在反射和折射过程之间是一类过程，每当过程达到新的最大值时，就会发生部分反射。风险理论对这些过程的动机是，部分反映的时间可以理解为与所谓的损失结转制度相关的纳税对应，在这种制度下，只有在保险公司处于有利的情况下才支付税款。本文研究这类税收过程。在我们严格定义我们感兴趣的税务流程类型之前，我们先对整个文件中的X进行一些假设。我们假设X是一个随机过程，具有cádlág路径（即具有左极限的右连续路径）且没有向上跳跃（即Xt- lims公司↑tXs公司≤ 0表示所有t≥ 0). 对于某些固定的X，我们也假设X=X∈ R、 例如，如果X是一个没有向上跳跃的Lévy过程，则满足这些条件。事实上，这项工作中给出的主要结果是顺路径的，因为它们适用于随机过程的每条单独路径。

仅在研究特定示例时才严格要求使用随机模型；然而，考虑到我们所考虑的应用，似乎可以用随机过程来描述一切。将亏损结转税收制度纳入风险流程X的一种方法是引入税收流程Uγ：=（Uγt）t≥0带Uγt=Xt-Zt+γ（Xs）dXs，t≥ 0，（1）式中γ：[x，∞) → [0，1）是一个可测函数，Xt=sups≤txs是X的runningmaximum。注意，这里和后面，Rt+=R（0，t）表示（0，t）上的积分。因为每个路径t 7→ X是递增的（在弱意义上），并且由于X的假设而进一步连续，（1）中的积分是一个定义良好的Lebesgue-Stieltjes积分。我们称Uγ为潜在税收过程或具有潜在税率γ的税收过程。对于这个潜在的分类过程，粗略地说，在h>0的时间间隔[t，t+h]内，x+h增量的分数γ（Xt）- XT作为税款支付。特别是，每当X达到一个新的最大值时（即当Uγ达到一个新的最大值时；见下面的引理4），就会产生税收贡献，这就是为什么（1）中的税收结构可以被视为亏损结转类型。由于γ<1，这可视为部分反射；设置γ=1[b，∞)将对应于全面反思壁垒b处的路径。在对这一税收过程的研究中，出现了大量文献。Albrecher和Hipp[1]在X是Cramér–Lundberg过程，γ是常数的情况下介绍了这一点，在这项工作中，作者研究了破产概率，证明了有税和无税破产概率之间的惊人简单关系，即所谓的税收恒等式。Albrecher、Renaud和Zhou[2]利用漂移理论将这项工作扩展到了X是一般的光谱负Lévy过程，γ仍然不变的情况。

在文献[10]中，Kyprianou和Zhou将γ作为一个函数，研究了双边退出问题和破产前所缴税款的净现值相关问题。在同样的背景下，雷诺（Renaud）[13]提供了破产前支付的轴线（现值）的分布结果。Wang和Hu【15】研究了一个关于最新税收过程的最优控制问题，在这个问题中，人们寻求使破产前支付的税收的净现值最大化。在Kyprianou和Ott【9】中可以找到潜在税收过程的变化，其中税率超过值1。过程Uγ的一个不寻常的性质是，时间t的征税取决于运行中的最大Uγt=sups≤过程Uγ本身的tUγ，但在X的运行最大值上，即Xt。换言之，公司在t时支付的税款金额不是由公司当时拥有的资本金额决定的，而是取决于适当的资本水平，即Xt，即如果根本没有支付税款，公司在t时将拥有的资本金额。除了有点不自然之外，这也意味着在通常情况下，X由马尔可夫过程建模，过程（Uγ，Uγ）不是马尔可夫过程（见第2节第一段）。为了保持马尔科夫性质，需要考虑三维过程（Uγ，Uγ，X）。出于这些原因，可能更适合使用另一个税收过程Vδ=（Vδt）t≥0，满足方程vδt=Xt-Zt+δ（Vδs）dXs，（2）其中Vδt=sups≤tVδ和δ：[x，∞) → [0，1）是一个可测函数。我们将Vδ称为自然税收过程或自然税率为δ的税收过程。由于（2）是一个积分方程，目前尚不清楚是否存在这样的过程Vδ，如果存在，是否唯一定义。我们将很快给出存在和唯一性的简单条件。

假设存在性和唯一性成立，并且X是一个马尔可夫过程，自然税过程Vδ具有二维过程（Vδ，Vδ）是马尔可夫过程的优势。由于我们在（2）中保留X作为积分器，而不是使用Vδ，请参见第2节的第二段。Albrecher、Borst、Boxma和Resing[3]在X是Cramér-Lundberg风险过程的情况下，研究了具有自然税率的税收过程，并研究了破产概率，尽管他们没有从积分方程的角度定义税收过程，尤其没有讨论存在性和唯一性。在X是aCramér-Lundberg风险过程的情况下，Wei【16】和Cheung以及Landriault【6】认为自然税过程比我们的更为一般，在我们的自然税过程中，相关保费率被允许依赖盈余。虽然在X是Cramér-Lundberg风险过程的情况下，【16】和【6】确实包含了自然税收过程的定义（2）（见【16，第1节】，δ=0和【6，方程（1.2）】，函数c（·）为常数），但本文均未讨论存在性和唯一性问题。这项工作的目的是澄清这两个税务流程之间的关系。虽然潜在税收过程和自然税收过程在考虑其定义时似乎有很大不同，但这两类税收过程本质上是等效的，这在文献中似乎没有被注意到。

这种等价性允许我们以一种相当直接的方式处理naturaltax过程的存在性和唯一性，这是以前从未处理过的。在提出我们的主要定理之前，我们强调我们的结果适用于X的一大类随机过程，其中包括谱负Lévy过程、谱负马尔可夫加性过程（见[4]）、扩散过程（见[11]）和分数布朗运动。然而，实际上，（1）和（2）并非在所有情况下都是确定纳税流程的正确方法。例如，当我们考虑一个克拉姆伦堡风险流程，即公司赚取资本利息并根据亏损结转计划纳税时，我们不应该使用表（1）或（2）中的流程，而是不同地定义纳税流程，如【16】所示。我们的定义（1）和（2）实际上适用于在无税X的基础风险过程具有空间同质性的情况下建模税收过程，例如，谱负Lévy过程、谱负马尔可夫加性过程或SparreAndersen风险过程。为了给出我们的主要结果，我们需要考虑以下序微分方程，对于给定的可测函数δ：[x，∞) → [0，1）：dyδx（t）dt=1- δyδx（t）, t型≥ 0，yδx（0）=x.（3）我们说yδx：[0，∞) → 如果R是一个绝对连续函数，并且几乎满足所有t，则R是该常微分方程的解。定理1。回想一下，X=X。（i）设Uγ为潜在税率γ的税收过程，其中γ：[X，∞) → [0，1）是一个可测量的函数。定义γx:[x，∞) → R乘以γx（s）=x+Zsx（1- γ（y））dy，s≥ x、 （4）并考虑其逆‘γ-1x：[x，∞] → [x，∞], 按照约定-1x（s）=∞当s≥ \'γx(∞). 定义Δγx：[x，\'-γx(∞)) → [0，1）乘以Δγx（s）=γ（(R)γ-1x（s））。

那么，Uγt=(R)γx（Xt），t≥ 0，（5）和Uγ是自然税率为Δγx的自然税收过程。（ii）设δ：[x，∞) → [0，1）是一个可测函数，并假设存在（3）的唯一解yδx（t）。定义γδx：[x，∞) → [0，1）乘以γδx（s）=δyδx（s- x）.然后，定义自然税收过程的积分方程（2）有一个唯一的解Vδ=（Vδt）t≥此外，Vδt=yδx（Xt- x） ，t≥ 因此，（2）的解Vδ是一个潜在税率为γδx的潜在税收过程。这个定理是本文的主要贡献。它指出，（2）的解的存在性和唯一性的充分条件可以用简单的常微分方程给出。从下面第3节给出的证明中，不难看出，常微分方程（3）的存在性和唯一性也是（2）解存在性和唯一性的必要条件。定理1也给出了这两类分类过程之间的精确关系。特别是，每个潜在税收过程都是一个自然税收过程，尽管相应的潜在税率和自然税率可能有所不同。相反，每一个定义明确的自然税收过程也是一个潜在的税收过程。下一个示例说明了分段恒定税率的这种等价性。示例2。定义分段常数函数fbbyfb（z）=α、 z≤ b、 β，z>b，（7），其中b>x=x，0≤ α ≤ β < 1. 注意，δ=fB的ODE（3）具有唯一解，参见第2节。很明显，潜在税率为fb的税收过程与自然税率为fb的税收过程不同，除非α=β或α=0。然而，从定理1我们推断，潜在税率为fbforb=（1）的税收过程等于自然税率为fbforb=（1）的税收过程- α） b+αx。注意，b依赖于起点x，除非α=0。图1包含两个图，其中绘制了X示例和相应的税务流程Ufb，或等效的Vfb。

从该图中，我们可以看到，X第一次达到b级的时间实际上等于税收过程第一次达到b级的时间。该定理允许我们非常容易地将潜在税收过程的结果转换为自然税收过程的结果，反之亦然。作为一个例子，通过使用[10]中推导的潜在税收过程的相应结果，我们在下面提供了一个分析表达式，即在X是方面负的Lévy过程的情况下，所谓的自然税收过程的双边退出问题。有关谱负Lévy过程及其标度函数的介绍，请参阅[8]中的第8章。推论3。设X是概率空间上的谱负Lévy过程(Ohm, F、 Px）使得Px（X=X）=1。设δ：[x，∞) → [0，1）是一个可测函数，因此存在唯一的解yδxto（3）。设Vδ为税收过程，自然利率δ与光谱负的利维过程X相关。定义第一次通过时间τ-a=inf{t≥ 0：Vδt<a}和τ+a=inf{t≥ 0:Vδt>a}，其中a∈ R、 让q≥ 0，设W（q）：R→ [0, ∞) 是X的q标度函数，由W（q）（z）=0表示z<0，并在[0]上表示，∞) 作为连续函数，whoseLaplace变换由z给出∞e-λyW（q）（z）dz=日志EheλXi- q-1，对于λ>0，足够大。然后，对于0≤ x<a<yδx(∞), 我们有e-qτ+a{τ+a<τ-}= 经验值(-ZaxW（q）0（y）W（q）（y）（1- δ（y））dy），（8），其中W（q）0表示（0）上W（q）的密度，∞). 另一方面，如果≥ yδx(∞), thenEx公司e-qτ+a{τ+a<τ-}= 本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们解释了结果的后果，并与文献进行了进一步的联系。

第3节致力于定理1和推论3.0 5 10 15 20 25-5051015202530（a）x=7，b=20和b=14.8.0 5 10 15 20 250510152025035（b）x=10，b=20和b=16的证明。图1：风险过程X（虚线）和相关潜在税收过程fBor的曲线图相当于自然税收过程Vfb（实线），其中fB是由（7）定义的分段常数函数，α=0.4，β=0.9。虚线点线标记了b和b.2相关功和进一步应用的值Markov属性假定X是一个Markov过程。正如我们在前一节中所评论的，从自然税收过程Vδ的积分方程（2）可以看出，过程（Vδ，Vδ）是马尔可夫过程。人们可能会认为，这两种类型的税收过程之间的等价性应该意味着（Uγ，Uγ）的等价性，其中Uγ是一个任意的延迟税收过程，因为我们通过定理1（i）知道Uγ也是一个自然税收过程。然而，相应的自然税率是Δγx=Δγx，这取决于x的初始值。从另一个角度来看，虽然可以从公式Xt=(R)γ中恢复x-1x（Uγt），这也取决于初始值X的知识。因此，我们通常无法获得（Uγ，Uγ）的马尔科夫性质。自然税收流程的另一种定义——将自然类型的税收流程定义为SDEWt=Xt的解决方案似乎也是合理的-Zt+κ（Ws）dWs，（9）其中κ：[x，∞) → [0, ∞). 定义δ=κ1+κ。当过程Vδ存在时，它是（9）的解，如引理4所示。