原油和天然气使美国股票投资组合多样化：A

这种特性有利于主动的和特定于制度的投资组合管理，因为投资组合再平衡应该在每个制度上运行。考虑到大宗商品的多样化作用，我们将考虑股票投资组合，我们用原油和天然气等能源商品对其进行免疫。这种大宗商品投资可以避免直接接触大宗商品价格变化。此外，包括原油和天然气在内的大宗商品受益于相应价格的短期脱钩和长期耦合。它可以捕获股票、原油和天然气市场体制转换性质导致的市场时机选择策略。4、投资组合优化天然气、原油和美国股市的依赖性的动态性质会导致报告制度中的共同风险发生变化。特别是，美国商品和股票市场之间的相互依赖性推动了风险分担过程，例如波动溢出。这种特性对风险缓解和投资组合管理（即动态资产配置过程和相关优化实践；Buckley et al.，2008）具有重大影响。投资组合的风险敞口和绩效会发生变化，因为需要计算风险的时间变化。例如，我们考虑由美国股票组成的投资组合，这些股票因持有天然气和原油资产而多样化。考虑中的投资组合包括SP500指数以及天然气和原油商品。此类投资组合策略利用能源商品对股票市场流动性风险的对冲作用。在最小化投资组合的风险敞口的同时，确定最佳投资组合构成，或等效的投资组合分配概况（例如。

限制表现不佳的风险）。投资期限由特定的差异制度组成。有鉴于此，我们考虑了几种风险度量，其中包括投资组合回报的方差，以及投资组合的下行风险，如半方差和尾部风险（Mansini et al.，2014；Kolm et al.，2014）。相应的投资组合优化利用之前的copula表示作为一种稳健的工具（Kakourisand Rustem，2014）。特别是，我们处理了回报的不对称性，这是投资组合选择（Harvey and Siddique，2000；Kraus and Litzenberger，1976；Samuelson，1970）和投资组合决策（Barberis and Huang，2008；Mitton and Vorkink，2007）的一个重要问题。4.1.   方差最小化我们考虑一个投资者，他的财富被投入到由SP500、原油和天然气资产组成的投资组合中。我们将分别投资于三种资产的部分财富标为w、w和w。正如马科维茨（19521959）之前介绍的那样，投资者寻求均值方差有效的投资组合。在一个给定的回报目标（代表整个投资期内期望的平均投资组合绩效）下，由回报方差衡量的有效投资组合的风险最小化。假设投资者将他/她的全部财富投入到投资组合中，那么投资组合的权重总和为1。因此，投资者需要解决以下优化问题，以确定其最优投资组合（即根据绩效约束的最佳投资组合分配）： 1 2 3分钟。

.PPVar RE R rs tw w w   （1） 其中，RP=wRSP500+wROil+WRGAS是投资组合的回报，E[RP]=我们[RSP500]+我们[ROil]+我们[RGas]是其平均对应物（E[.]r是目标平均回报，VaR（RP）是投资组合回报的方差。当权重为正时（特别是在0和1之间），不允许卖空，而在负权重下允许卖空。当返回遵循高斯概率分布时，存在优化问题的简单解决方案（Lintner，1965；Markowitz，1952；Sharpe，1964）。但是，资产收益率远非高斯分布，因为它们的尾部肥胖和不对称特性。此外，它们在报告区域内的动态关节行为往往偏离高斯设置。设w和R分别为权重向量和资产收益向量。投资组合的回报重写为RP=w’R，其中w’=（www）是向量w的转置。因此，投资组合回报的方差取决于回报向量R的方差以及三个投资组合构成的联合依赖结构。因此，投资组合回报的方差可以重写为最优copula的函数，该函数描述了SP500、原油和天然气回报的联合依赖结构。并且，我们可以解决优化问题（1），同时将投资组合方差Var（RP）=E【RP^2】–（E【RP】）^2的组成部分重写如下：       2 1 11 500 2 30,1，P SP油气R w F u w F v w F w c u v w du dv dw      （2） 以及 1 11 500 2 30,1，P SP油气R w F u w F v w F w c u v w du dv dw    （3） 其中FR（.）是随机变量R的经验累积分布函数（即。

给定的返回序列；见Deheuvels，1979）和FR-1（.）是其逆对应项，c（u，v，w）是相关的copula密度函数（即最优copula表示）。这样，在计算方差风险度量时，我们可以处理与正态性的潜在偏差。在解决上述优化问题时，我们考虑了四种可能的情况（见表3）。此类案例与基准投资组合进行比较，基准投资组合由原始投资组合或同等权重的投资组合组成。首先，案例1和2假设一个固定的目标回报率（即投资者的平均投资组合绩效目标），而案例3和4则让优化程序确定目标回报率。后两种情况有助于研究优化问题的可行性，并有助于纠正过于雄心勃勃或不切实际的组合绩效目标。在情况1和2下，目标回报率等于天真投资组合的绩效加上其绝对绩效的一部分。特别是，目标回报设置为天真投资组合的储蓄率回报加上天真投资组合平均回报绝对值的0.5倍（即50%）。因此，最佳投资组合需要优于天真的投资组合。在案例1和案例2中，优化过程在固定目标回报下产生最优投资组合权重。作为扩展，案例3和4同时产生最优投资组合的权重和相应的最优目标回报。

后一个优化案例有助于研究在所选风险度量下投资组合的风险收益权衡。表3：优化约束和投资组合参数ase#最小化受限（un）权重和目标回报[0,1]wis freewis freewis freeris fixedwlies in[0,1]wis freewis freeris freeris freewlies in[0,1]wis freeris freeris FREERS第二种情况2和4将SP500的投资（w）限制在0和1之间，而wand W权重（即商品投资）是不受限制的。在这种情况下，投资者必须在其投资组合中持有SP500指数，并通过商品投资中的（空头/多头）头寸使指数多样化。允许wand wweights的负值利用了商品相对于SP500的套期保值有效性。具体而言，在存在正相关性的情况下，多样化的可能性就会消失，因此投资组合需要卖空来对冲这种积极的相互联系（尤其是在预期目标回报率很高的情况下）。na"ive投资组合是一个权重相等的投资组合，包括SP500指数、原油和天然气商品（即每个权重等于三分之一）。我们还引入了上电位比（UPR）作为性能指标，其表示为UPR=E[最大（RP-r，0）]/（E[最小（RP-r，0）]）1/2。它是一阶上偏矩与二阶下偏矩的平方根之比。在给定的投资期限内，UPR是所有超额收益（相对于基准回报率r）与下行风险的比率（Sortino et al.1999）。在普遍定期审议中，较低的偏矩衡量下行风险（Jarrow和Zhao，2006；Unser，2000）。4.2.   最小化下行风险：半方差和尾部风险迄今为止，投资组合经理更担心下行风险（即。

负回报风险，或未实现回报目标的风险）大于方差提出的对称风险度量。在这种情况下，方差的平方根，或等效的标准差，作为一种绝对风险度量，在存在不对称回报的情况下，它包含信息或风险代表性。作为扩展，已经提出了一些下侧风险度量，如半方差和尾部风险（Alexander，1998；Steinbach，2001）。下行风险措施有助于建立最佳对冲，从而为损失风险敞口提供保护（Conlon和Cotter，2013）。半方差集中于投资组合的回报率，其表现低于固定目标回报率r。这些表现不佳的回报率低于目标回报率r（例如，基准回报率，其说明了最低可接受的平均回报率；Markowitz，1959）。在实践中，半方差衡量投资组合回报与其目标绩效之间的负差值（RP-r）方差。从这个角度来看，半方差符号化了遗憾的度量，因为它关注的是未能达到目标回报。在这种情况下，投资组合优化过程应用于一种新的风险度量，它由半方差组成。因此，在最小化下行风险的同时，确定最佳投资组合的组成（Lari-Lavassani和Li，2003）。半方差优化：假设目标投资组合的绩效为r，半方差写为SemiVar（RP）=Var[最小（0，RP-r）]，新的优化问题重写：      1 2 3分钟，最小0，0，。

.P P PPSemiVar R E Min R R E Min R R R R R rs tw w          （4） 使用       1 11 500 2 30,10，0，，P SP油气最小R R最小w F u w F v w F w R c u v w du dv dw        （5） 及1 11 500 2 30,10，0，，P SP油气最小R R最小w F u w F v w F w R c u v w du dv dw        （6） 其中FR（.）是随机变量R（即给定收益序列；见Deheuvels，1979）和FR-1（.）的经验累积分布函数是其逆对应项，c（u，v，w）是相关的copula密度函数（即最优copula表示）。通过这样做，我们处理了最优投资组合回报与目标绩效水平的不利偏差，同时考虑了经验回报行为。尾部风险优化：尾部风险侧重于低于给定回报阈值的概率（例如，最坏案例研究或不良情景分析；Dowd和Blake，2006）。在这种情况下，投资者厌恶风险，厌恶损失，尤其是极端损失。他/她关注或多或少的极端情况，在这种情况下，他的/她的投资组合表现很差。特别是，最优投资组合分配寻求将投资组合回报低于所选阈值的可能性降至最低（即最小化或多或少极端糟糕情景的可能性）。我们关注极端糟糕的情况，在这种情况下，糟糕的回报目标（即最坏的预期临界阈值）由SP500指数回报的5%分位数组成。我们标记这样的分位数q5%。在这种情况下，投资者寻求最小化投资组合的收益在投资期内属于SP500收益分布的下尾（即SP500收益的最低值的5%）的可能性。

这种观点要求最佳投资组合在市场动荡时期超过SP500指数，以便能源市场投资对冲股票市场风险的极端敞口（即极端负的SP500回报）。假设目标投资组合的绩效为r，尾部风险写为（q5%）=Pr（RPq5%），优化问题重写为：5%5%1分钟。PPq R qE R rs tw w    （7） 使用5%，Iq c u v w du dv dw（8） 其中Pr（.）是概率运算符，1 11 500 2 3 5%，0,1SP油气u v w w F u w F v w F w q        ,FR（.）是随机变量R（即给定收益序列；seeDeheuvels，1979）和FR-1（.）的经验累积分布函数是其逆对应项，c（u，v，w）是相关的copula密度函数（即最优copula表示）。通过这样做，我们处理了最优投资组合的下行风险，因为我们的目标是降低不利情景的概率（q5%）=Pr（RP-q5%0），并且我们考虑了预期回报行为。5、最优投资组合的属性和绩效我们介绍了投资组合优化的结果，其中包括投资组合分配、最优投资组合的绩效以及相关的绩效诊断。所有优化过程均采用Davidon-Fletcher-Powell方法，梯度计算精度为10-4（Davidon，1991；FletcherandPowell，1963）。5.1.   方差优化结果表5显示了所有优化结果，而表4显示了na"iveportfolio（即。

基准投资组合）。表4:na"ive portfolioRegimeAverage回报目标回报的年化属性R标准偏差偏斜度超出峰度UPR23.946812.788222.54180.83062.685443.94702.83454.281628.04870.46091.687453.163733.866154.864043.51520.34090.514144.894912.801819.802228.69320.11750.797450.777317.901728.015715.04590.01051.6552.198914.107521.887922.41480.02773.127552.219862 9.997745.186345.79640.07962.503649.293070.4393122.419043.10720.49202.634249.67544.19532.120121.25760.14371.798851.67571.73552.614420.79240.23702.292756.3232注：所有数据以百分比为基础显示，r=原始平均回报率+0.5 | 天真平均回报|。就案例1而言，最优投资组合配置在制度3和8上产生SP500指数的卖空，而在制度4和7上出现原油卖空。类似地，在1、2、4、5和7区，天然气的最佳权重为负值。案例2进一步限制SP500指数中的持股量（w）介于零和单位之间。因此，在案例2下，禁止卖空SP500。在这种情况下，最优投资组合配置会在第7种情况下产生原油卖空，而天然气卖空则发生在第1、2、4、5和8种情况下。此外，最优投资组合在制度7和制度8中表现出对商品的高度敞口，因为某些权重的绝对值远远高于1。这些特征源于投资组合组成部分相对于以前制度的联合依赖结构。引人注目的是，案例3和案例4是相似的，因为在存在和不存在卖空的情况下，SP500的最佳权重总是正的，并且是相似的。最优投资组合将负权重归因于天然气开采制度1、2和5。

最后，当从案例1切换到案例2时，最优投资组合的绩效往往会下降，正如上行潜力比（UPR）显著下降所示。向wlowers添加权重约束或多或少会降低最优投资组合的绩效。5.2.  下行风险优化表6显示了半方差优化的结果，而表7介绍了尾部风险优化的结果。半方差优化结果关于案例1，最优投资组合配置在方案3和8上产生SP500指数卖空，而原油卖空发生在方案4和7上。类似地，在2、4、5和7区，天然气的最佳重量为负值。就案例2而言，最优投资组合配置会在制度7上产生原油卖空，而天然气卖空则发生在制度2、4、5和8上。令人惊讶的是，情况3和4是相似的，因为在存在和不存在卖空的情况下，SP500的最佳权重总是正的，并且相似。最佳组合卖出的天然气卖空量超过1、2、3和5。最后，当从案例1切换到案例2时，最优投资组合的绩效往往会下降，因为上行潜力比（UPR）会下降。向wweakes添加权重约束或多或少会减弱最优投资组合的性能。尾部风险优化结果就案例1而言，最优投资组合配置会导致SP500指数在制度3和8上的卖空，而原油卖空则发生在制度4和7上。类似地，在2、4、5、7和8区，天然气的最佳重量为负值。就案例2而言，最优投资组合分配产生了区域7原油的卖空，而天然气的卖空发生在区域2、4、5和8。