时间会告诉我们-在选择嘈杂时恢复偏好

这避免了在错误地施加对称性时产生的错误。尽管谨慎，但标准很严格，可以从一大类数据集中完全恢复首选项，我们将在下面进行论证。我们还将认为，在随机不一致选择的情况下，仲裁机构有时可以进行仲裁。然后，我们研究了分析师有理由相信效用差异是对称分布的情况，正如文献中经常假设的那样（例如，在任何使用logit或probit choice的应用程序中）。紧接着，p>1/2意味着u（x）>u（y），所以偏好是通过没有响应时间的选择来显示的。但现在我们表明，使用响应时间数据可以识别可用选择数据集之外的选择对的p参考。对于确定性选项和确定性响应时间的情况，之前已经注意到了这一点。Krajbich et al.（2014）认为，缓慢选择z而非x，再加上快速选择s ame z而非y，则会优先选择x而非y，即使x和y之间的选择没有直接观察到，及物性论证也不适用。其想法是，基于时间计量关系，正效用差异u（z）-u（x）必须小于正效用差u（z）- u（y），表示u（x）>u（y）。然而，到目前为止，如何实现这一想法仍然是一个悬而未决的问题，因为现实世界中的选择和响应时间是随机的，因此不清楚“z对x的选择”和“慢对快”到底意味着什么。例如，是否在平均响应时间、中值响应时间或响应时间分布的其他特征方面定义了“快于”？我们的定理2给出了这个问题的答案。

假设z是chosenover x，概率p（z，x）>1/2，这实际上意味着u（z）- 在对称噪声情况下，u（x）>0。然后，我们将t（z，x）定义为z响应时间分布的特定百分位数，即（1- p（z，x））/p（z，x）-百分位数。类似地，如果z选择y，概率p（z，y）>1/2，这意味着u（z）-u（y）>0时，可确定相应的百分位t（z，y）。我们的结果表明，这些可观察的百分位是随机设置偏好强度的适当度量，从t（z，x）>t（z，y）意味着u（z）的意义上说- u（x）<u（z）- u（y），因此对x的显示（严格）偏好大于y。也就是说，推断不能基于平均、中等、最大或最小响应时间。正确的测量值为（1- p） /p-响应时间分布的百分位数，尤其需要使用每个选择对中的不同百分位数，并根据各自的选择频率进行调整。这是一种源自分析模型的定量方法，据我们所知，它从未被经验性地利用过。然而，由于当效用分布对称时，对x的严格偏好会转化为选择概率p（x，y）>1/2，因此它会生成样本外预测，这应该很容易进行经验检验。在没有响应时间的传统ap方法中，进行样本预测需要比对称性更强的分布假设。像probit或logit这样的随机效用模型是费希纳模型的实例（Debreu，1958；Moffeatt，2015），其中两个选项之间的效用差异在所有二元选择问题中遵循完全相同的分布形式。根据费希纳假设（但不假设特定的分布形式），选择观测p（z，x）<p（z，y）已经显示出对x的偏好大于y。

不同的是，费希纳假设能够详尽地引出顺序偏好，甚至在数据集之外。但现在我们证明，使用响应时间数据可以超越ordin alpreferences并预测精确的选择概率。定理3提供了一个封闭式公式，用于根据观察值（即选择概率和响应时间）预测p（x，y），仅从z和x之间以及z和y之间的二元选择中得出。从我们的结果中得出的一般模式是，响应时间数据允许我们获得需要额外分布假设的结果，否则可能会在经验上不合理。响应时间数据使我们有可能摆脱假设，因为响应时间的d分布包含有关公用设施分布的信息。这使得在没有任何分布假设的情况下能够揭示偏好，使得可以利用对称假设将偏好外推到无选择数据存在的情况，甚至可以利用费希尼假设生成精确的概率预测。我们的定理1为优先披露提供了一个强大的充分条件，本质上是“从数据到模型”为了研究我们的标准有多重要，我们还研究了“从模型到数据”的逆向含义，即，我们研究了响应时间（SCF RTs）的随机选择函数，该函数由标准模型从收到的文献中生成。换言之，我们现在采用给定的特定数据生成过程，并将我们的不可知方法应用于生成的数据集，该方法不知道该过程。我们首先对具有对称分布的整类RUM CFST进行此操作，其中包含（广义）probit和logitmodels作为特例，但远远超出了它们。

我们表明，当任何此类模型实际生成数据时，我们的标准都能正确恢复所有偏好。换言之，对于对称RUM CFs生成的整个类别的SCF RTs，OUR su有效条件也是必要的，并且具有最大的bite。即使是相信概率分布或逻辑分布的分析师也可以使用我们的标准，因为它必须始终保存他的数据。如果他的信念是正确的，我们的方法将产生和全边界模型应用程序相同的显示偏好，但如果他的信念是错误的，则可以避免错误。我们表明，只要噪声来自独立来源（如随机计时函数或不完全观测），并且没有系统地逆转计时关系，响应时间中的附加噪声仍然是这种情况。其次，我们研究了一类具有恒定或崩溃决策边界的漂移扩散模型（DDM），这类模型在心理学和神经科学中非常突出（例如Ratcliff，1978；Shadlen和Kiani，2013）。这些模型最近吸引了经济学界的关注，因为它们可以从最佳证据积累机制中衍生出来（Drugowitsch et al.，2012；Tajima et al.，2016；Fudenberg et al.，2018）。我们表明，我们的标准再次从DDM生成的数据中正确地恢复了所有首选项。这对于恒定边界的经典情况几乎是立即发生的，但对于崩溃边界的情况也是适当的。因此，我们之前关于probit或logit模型的信徒的陈述也适用于漂移扩散模型的信徒。此外，在边界坍塌的DDM中，决策边界和计时函数之间存在着令人惊讶且迄今未被注意到的联系：一个可以解释为另一个的倒数。本文的结构如下。第2节介绍了正式设置。

第3节发展了主要结果，将单独的子节用于无限制、对称和费希涅尔情况。第4节显示，由经济学和心理学标准模型生成的选择数据完全符合我们偏好揭示的主要标准。第5节详细讨论了相关文献，第6节总结。主要文本中的所有证明可在附录中找到。2正式设置和定义让X成为一组有限的选项。用C={（x，y）| x，y表示∈ 十、 X 6=y}所有二元选择问题的集合，所以（X，y）和（y，X）都表示nx和y之间的选择问题 C是我们有数据的一组选择问题，假设它是非空且对称的，即，（x，y）∈ D表示（y，x）∈ D、 为了节省符号，我们让集合通过定义1固定。随机选择函数（SCF）是分配给每个（x，y）的函数p∈ D概率p（x，y）>0，其性质为p（x，y）+p（y，x）=1。在SCF中，p（x，y）被解释为在x和y之间的二进制选择中选择x的概率，p（y，x）是选择y的概率。假设p（x，y）>0表示所有（x，y）∈ D意味着选择在非退化意义上是随机的，因为每个选择都是以严格的正概率选择的。由于随机效用模型的定义没有得到普遍认可，我们将使用一个相当普遍的定义，其中包括许多以前的定义。特别是，我们的分析可以方便地直接描述每个（x，y）∈ C两个选项之间效用差异的分布。定义2。

随机实用新型（RUM）是一对（u，g），其中u:X→ R是自性函数，g在R上为每个（x，y）分配一个密度函数g（x，y）∈ C、 具有以下特性：（朗姆酒1）R+∞-∞vg（x，y）（v）dv=u（x）- u（y），（朗姆酒2）g（x，y）（v）=g（y，x）(-v） 对于所有v∈ R、 （RUM.3）连接g（x，y）的支撑。在RUM中，效用函数u表示分析旨在揭示的潜在偏好，而密度g（x，y）也包含噪声，也就是说，它描述了x和y之间随机效用差异的分布。我们通过g（x，y）来定义相应的累积分布函数。假设每个跳跃效用中的噪声具有零均值，因此x和y之间的随机效用差的预期值必须为u（x）- u（y），符合（RUM.1）的要求。我们还将使用符号v（x，y）=u（x）- u（y）。条件（RUM.2）指出，g（x，y）和g（y，x）描述了相同的随机效用差异，但符号相反。（RUM.3）是一种规则性条件，表明期权的可用性分布不存在缺口。我们的定义反映了传统的观点，即RUM由确定性效用函数和随机误差项组成，这在微观计量经济学中是典型的（参见McFadden，2001，了解该方法的历史）。它比传统模型更一般，因为密度g（x，y）在选择对之间没有限制。这使我们能够适应可能影响选择概率（和响应时间）的效用差异以外的配对特定因素，例如一些选项之间的明显显性关系（参见He and Natenzon，2018和第5.2节中的讨论）。另一种定义将RUM视为确定性效用函数的分布（参见，例如。

Gul和Pesendorfer，2006年；Gul等人，2014年）。这种方法也没有我们的方法那么普遍，因为不是每个效用差异分布集合都可以通过确定性效用函数集合上的分布生成（Falmagne，1978；Barber\'a和Pattanaik，1986）。我们的普遍性的另一个好处是，我们在偏好揭示方面的积极结果变得更强，因为它们在更大的模型类别中保持不变。增加的一般性并不影响命题1的不可能结果，这仍然适用于被定义为确定性效用函数分配的RUM。RUM通过假设所选的选项是具有更大实现效用的选项来生成选择。具体来说，一杯朗姆酒（u，g）和一对朗姆酒（x，y）∈ C、 y的效用超过x的效用的概率为G（x，y）（0）。这激发了以下定义。定义3。如果g（x，y）（0）=p（y，x）对所有（x，y）均成立，则RUM（u，g）使SCF p合理化∈ D、 现在，我们通过为每个选项添加条件响应时间分布来扩展该框架并包括响应时间。这是描述关于选择和响应时间的联合分布的最简单方法。定义4。具有响应时间的随机选择函数（SCF-RT）是一对（p，f），其中p是SCF，f分配给每个（x，y）∈ D是R+上的严格正密度函数f（x，y）。密度f（x，y）描述了响应时间的分布，条件是x在x和y之间的二进制选择中被选择。相应的累积分布函数用f（x，y）表示。引入响应时间的下界或上界很简单，例如由于非决策时间或最大观测响应时间。为了便于标记和与文献的可比性，我们在此不这样做（如Fudenberg et al.，2018）。定义5。

具有计时功能（RUM-CF）的随机实用新型是一个简单的（u，g，r），其中（u，g）是一个RUM，r:r++→ R+是一个连续函数，当R（v）>0时，该函数在v中严格递减，且limv→ 0r（v）=∞ 和limv→ ∞r（v）=0。在RUM-CF中，r表示计时函数。它将效用差异映射到响应时间r（| v |），这样，更大的绝对效用差异会产生更短的响应时间。这源于Block和Marschak（1960）的工作，他们提出了一个问题，即什么时候可以通过偏好排序的概率分布来合理化随机选择函数，他们的想法是在每个选择之前实现一个排序。tvr-1（·）tvr-1（·）图1：计时函数r的两幅插图，将实现的效用差异（纵轴）映射到响应时间（横轴）。响应时间。假设limv→ 0r（v）=∞ 和limv→ ∞r（v）=0确保模型可以包含在SCF-RT中观察到的所有响应时间。对于像r（v）=1/v这样的函数，我们的定义是在整个过程中严格递减的，对于达到r（v）=0 f或足够大v的函数，我们也会出现后一种情况。当我们从第4节中的顺序采样模型中构建时间计量函数时，会出现后一种情况。图1说明了这两种情况，利用了逆r-当r（v）>0时，1（t）很好地定义了r对子集的限制。除了选择之外，RUM-CF还通过假设实际响应时间与通过函数实现的效用差异相关来生成响应时间。具体而言，给定一个RUM-CF（u、g、r）和一对（x、y）∈ C、 响应时间最多t>0的概率，条件是x被选择在y之上，是实现的效用差异至少为r的概率-1（t），条件是差异为正。

该概率可计算为1.- G（x，y）（r-1（t））/ [1 - G（x，y）（0）]，这激发了以下定义。定义6。如果（u，g）使pand1合理化，则RUM-CF（u，g，r）使SCF-RT（p，f）合理化- G（x，y）r-1（t）1.- G（x，y）（0）=F（x，y）（t）（1）对所有t>0和所有（x，y）保持不变∈ D、 另一种方法是假设响应时间是两个选项之间潜在绝对效用差异v（x，y）|的递减函数（与已实现的噪声选项相反）。这种方法的一个缺点是，响应时间将被预测为确定性的，与所有可用的证据相矛盾。因此，必须引入第二个噪声源，例如通过使计时函数随机化。如果没有额外的特殊假设，任何此类模型都可以预测两种选择中每种选择的响应时间的条件分布是相同的，这是数据无法证实的更进一步的预测。我们的方法更为节约，因为它只需要一个随机性（效用）来生成随机选择和随机响应时间，并且它不会对选择和响应时间之间的独立性做出令人难以置信的预测。也就是说，第二个独立噪声源（如随机计时函数）可以在不改变我们主要见解的情况下引入，如我们将在第4节中所示。在研究随机选择数据时，分析员可能会对随机效用的分布感兴趣，也可能会对随机效用的分布做出特定的假设，即密度集合的性质g。在这样做时，分析员会对随机效用模型的特定子类进行限制。这些可能从每个g（x，y）的对称性到特定的函数形式。

我们说，如果某类模型中存在使其合理化的RUM（分别为RUM-CF），则SCF（分别为SCF-RT）在该类模型中是合理化的。定义7。在一类模型中，如果合理化SCF（SCF-RT）的类中的所有RUM（RUM CFs）都满足YU（x），则合理化SCF（SCF-RT）显示出对x的偏好大于y≥ u（y）。如果使其合理化的类中的所有RUM（RUM CFs）满足u（x）>u（y），则表明x对y有严格的偏好。3显示偏好在本节中，我们研究了反应时间在偏好显示中的使用。具体而言，我们感兴趣的是随机效用模型不同类别中的偏好发展，以及增加响应时间如何改善结果。3.1无限制情况第一个观察结果是，如果没有对效用分布的进一步限制，并且没有使用响应时间，就无法从选择概率中学到任何东西。这在随机选择理论的专家中是众所周知的，因此我们不主张独创性。提案1。在所有RUM的类别中，合理化的SCF显示在x 6=y的任何x和y之间没有偏好。结果的直觉很简单。关于x和y之间选择的数据允许我们学习值G（x，y）（0），但如果没有分布假设，这并不能告诉我们预期值v（x，y）=u（x）- u（y）是正的或负的，这是我们感兴趣的。解决这个问题的一个办法是强加一个看似无害的假设，即分布的对称性。在这种情况下，G（x，y）（0）≤ 1/2确实意味着v（x，y）≥ 0和G（x，y）（0）≥ 1/2表示v（x，y）≤ 我们将在第3.2节研究对称性假设，以及在该假设下改善偏好揭示的响应时间范围。