求解非线性高维偏微分方程

在最优停止问题中，性能标准取决于代理选择的停止时间；本章前面讨论的早期行使美式期权就是此类问题的一个例子。为了具体地讨论这些问题，让X=（Xt）t≥0是一个满足随机微分方程的受控It^o过程：dXut=u（t，Xut，ut）dt+σ（t，Xut，ut）dWt，Xu=0，其中u=（ut）t≥0是控制器从容许集合a中选择的控制过程。请注意，过程的漂移和波动性受控制器操作的影响。对于给定的控件，代理的性能标准是：Hu（x）=EZTF（s，Xus，us）ds{z}运行奖励+G（XuT）{z}终端奖励解决最优控制问题和确定最优控制的关键在于*在于动态规划原理（DPP），该原理涉及将原始优化问题嵌入到按时间索引的更大类问题中，原始问题对应于t=0。这要求我们定义：Hu（t，x）=Et，xZTtF（s、Xus、us）ds+G（XuT）式中，Et，x[·]=E[·| Xut=x]。值函数是agent采用最优控制时的性能基准值：H（t，x）=supu∈AHu（t，x）假设有足够的正则性，可以显示值函数满足动态编程方程（DPE），也称为汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。这是一个PDE，可以看作是DPP的一个小型版本。HJB方程由下式给出：tH（t，x）+supu∈A{LutH（t，x）+F（t，x，u）}=0H（t，x）=G（x），其中微分算子lut是受控过程Xu的微型生成器-随机过程导数的类似物-由Lf（t，Xt）=limh给出↓0Et[f（t+h，Xt+h）]- 就f（t，Xt）h而言，最优控制如下所示：1。

求解一阶条件（内部优化），以获得价值函数导数方面的最优控制，即反馈形式；2、将最优控制替换回HJB方程，通常会产生高度非线性的PDE，并将PDE解为未知值函数；3、使用值函数导出最优控制的显式表达式。对于最优停止问题，优化问题可以写成：supτ∈TE[G（Xτ）]，其中T是允许的停止时间集。与最优控制问题类似，我们可以假设值函数H中有充分的正则性，以变量不等式的形式导出最优停止问题的DPE。即，最大(t+Lt）H，G- H= 0，on[0，T]×r第2.2.2节讨论了美国式导数对该方程的解释，其中我们讨论了如何将该方程视为自由边界问题。通过考虑多维过程、有限视野（用于运行奖励）、结合跳跃以及在单个问题中结合最优控制和停止，可以将本节讨论的问题扩展到多个方向。这将导致相应的动态规划方程的更复杂形式。接下来，我们将讨论定量金融问题背景下出现的一些HJB方程示例。2.4.1默顿问题默顿问题在默顿问题中，代理人选择其财富的比例，以投资于风险资产和无风险资产。他们寻求在投资期结束时最大化终端财富的预期效用；投资-消费问题见默顿（1969），多个方向的扩展见默顿（1971）。

再次，我们假设BlackScholes市场模型：dStSt=udt+σdWtdBtBt=r dt财富过程Xπtof投资组合将一部分πtof财富投资于therisky资产，其余部分投资于无风险资产，满足以下SDE：dXπt=（πt（u- r） +rXπt）dt+σπtdwt投资者面临以下最优随机控制问题：supπ∈AE【U（XπT）】，其中A是一组可接受的策略，U（X）是投资者的效用函数。值函数由以下公式给出：H（t，x）=supπ∈AE【U（XπT）| XπT=X】，满足以下HJB方程：tH+supπ∈A.(π(u - r） +接收）·x+σπxx号H= 0H（T，x）=U（x），如果我们假设一个具有风险偏好参数γ的指数效用函数，即U（x）=-e-γx，则可得到闭合形式的值函数和最优控制：H（t，x）=-exph公司-xγer（T-t）-λ（T-t） iπ*t=λγσe-r（T-t） 式中λ=u-rσ是风险的市场价格。还值得注意的是，默顿问题的解决方案在替代套期保值和无差异定价文献中起着重要作用，参见Henderson and Hobson（2002）和Henderson and Hobson（2004）。2.4.2价格影响下的最优执行随机最优控制，以及以HJB方程形式出现的偏微分方程，这些偏微分方程在算法交易文献中有着突出的特点，如阿尔·格伦和克里斯（2001）的经典著作，以及最近的Cartea和Jaimungal（2015）和Cartea和Jaimungal（2016）等。在这里，我们与希望清算股票库存的投资者讨论一个简单的算法读取问题，但当交易速度过快时，会受到价格影响。

因此，面临的挑战是平衡这种影响与交易速度过慢时市场出现负面波动的可能性。我们首先描述模型背后的主要过程的动力学。代理人可以控制他们的（清算）交易率νt，这反过来会影响他们的库存水平Qνtvia:dQνt=-νtdt，Qν=Q注意，ν的负值表示代理人正在购买股票。标的资产STI的价格建模为布朗运动，由于代理人的交易活动以漂移项线性增加的形式经历了一系列价格影响：dSνt=-bνtdt+σdWt，Sν=由于出售速度过快，代理人对资产价格施加了越来越大的下行压力（与系数b>0呈线性关系），这对清算代理人不利。此外，下更大的订单还以增加临时价格影响为代价。这是通过注意特定交易的现金流基于执行价格B来建模的，执行价格B与基本价格呈线性相关（系数k>0）：bSνt=Sνt- kνt现金流程Xνt根据：dXνt=bSνtνtdt，Xν=X建立模型后，我们可以考虑代理人的绩效标准，其中包括最大化其终端现金以及在终端日期和整个清算期内对超额库存水平的罚款。性能系数isHν（t，x，S，q）=Et，x，S，qXνT |{z}终端灰+QνT（SνT- αQνT）|{z}终端存货- φZTt（Qνu）du |{z}运行库存其中，α和φ是分别控制终端和运行库存罚款水平的首选参数。

价值函数满足HJBequation：(t+σSS）H- φq+supν{（ν（S- kν）x个- bν·S- νq） H}=0H（t，x，S，q）=x+Sq- α通过仔细选择的ansatz，我们可以求解值函数和最优控制：H（t，x，S，q）=x+qS+h（t）-bqν*t=γ·ζeγ（t-t） +e-γ（T-t） ζeγ（t-t）- e-γ（T-t） ·Qν*t其中h（t）=pkφ·1+ζe2γ（t-t） 1个- ζe2γ（T-t） ，γ=rφk，ζ=α-b类+√kφα-b-√kφ对于其他优化执行问题，感兴趣的读者请参阅Cartea等人（2015）的第6章。2.4.3系统风险——偏微分方程在最优控制中的另一个应用是Carmona et al.（2015）的主题。该文件的重点是系统性风险，即研究整个市场的不稳定性，而不是单个实体的不稳定性，即多家银行向中央银行借贷，目标是达到或接近整个经济体的平均货币储备水平。一旦获得最优行为的特征，围绕系统稳定性和多重违约可能性的问题就可以得到解决。这是一个随机游戏的例子，多个玩家根据其他人的行动来确定他们的首选行动方案。随机博弈的目标通常是确定纳什均衡或策略集，其中没有参与者有改变其行为的动机。这一问题背后的主要过程是以Xi表示的每家银行的对数货币储备=退出t型≥0并假设满足SDE:dXit=一Xt公司- 退出+ αitdt+σdfwit其中fwit=ρWt+p1- ρWitare-Brownian运动通过一个共同的噪声过程进行关联，xt是平均对数储备水平，α是银行i向中央银行借贷的利率。

储备的相互依赖性在许多地方都存在：首先，漂移包含一个平均回归项，该项将每家银行的储备水平拉至平均水平，平均回归率为a；其次，噪声项部分由常见的噪声过程驱动。代理行在这个问题上的控制是借贷利率αi。他们的目标是在某个固定期限内，始终保持接近平均准备金水平。因此，他们会惩罚在过渡期和地平线末端偏离此（随机）平均水平的任何偏差。他们还惩罚中央银行的高利率借贷，以及当他们自己的准备金水平高于（或低于）平均水平时的借贷。正式情况下，PerformanceLiterion由：Ji给出α, ..., αN= EZTfi公司Xt，αitdt+gi退出其中连续惩罚为：fi（x，αi）=αi| {z}过度借贷- qαix个- xi| {z}“错误方向”的借贷+x个- xi| {z}与平均水平的偏差，最终惩罚为：gi（x）=cx个- xi| {z}与平均水平的偏差，其中c、q和 代表投资者对各种罚款的偏好。请注意，每个代理的性能标准取决于包括其自身在内的所有代理的策略和储备水平。虽然本文讨论了解决该问题的多种方法（Pontryagin随机最大值原理和一种替代的前后向SDE方法），但我们将重点放在HJB方法上，因为这会导致非线性偏微分方程系统。

使用dynamicprogramming原理，agent i的HJB方程为：tVi+infαiNXj=1a（x- xj）+αjjVi+σNXj，k=1ρ+δjk（1- ρ)jkVi+（αi）- qαi（x- xi）+x个- xi= 0Vi（T，x）=cx个- xi值得注意的是，这个偏微分方程系统可以以闭合形式求解，以获得每个代理的值函数和最优控制：Vi（t，x）=η（t）x个- xi+ u（t）αi，*t型=q+1.-N· η（t）Xt公司- 退出式中η（t）=-( - q）e（δ+-δ-)（T-t）- 1.- cδ+e（δ+-δ-)（T-t）- δ-δ-e（δ+-δ-)（T-t）- δ+- c（1-N）e（δ+-δ-)（T-t）- 1.u（t）=σ（1- ρ)1.-NZTtη（s）dsδ±=-（a+q）±√R、 R=（a+q）+1.-N( - q） 2.5平均场游戏我们将考虑的PDE的最终应用是平均场游戏（MFG）。在金融环境中，MFG关注的是大量小型互动市场参与者的行为建模。在某种意义上，它可以被视为有限参与者随机博弈的纳什均衡的一种限制形式（如前一节中的银行间借贷问题），因为参与者的数量趋于一致。虽然这可能会使问题变得更加复杂，但通常情况下，这会简化潜在的控制问题。这是因为在MFG中，代理不需要关心自己与其他代理的行为，而是只关注其他代理的聚合行为（平均场）。在某些情况下，当无法直接计算该数量时，也可以使用极限解来获得有限人博弈的纳什均衡的近似值。术语“平均场”源自物理学中的平均场理论，与金融环境类似，该理论研究由大量粒子组成的系统，其中单个粒子对系统的影响可以忽略不计。平均场游戏通常包括：1。

描述个体最优控制问题的HJB方程；2、一个福克-普朗克方程，该方程控制所有代理的聚合行为的动力学。MFGs的大部分开创性工作都归功于Huang等人（2006）和Lasryand Lions（2007），但我们的展览重点将放在Cardaliaguet和Lehalle（2017）最近的一项工作上。基于本章前面讨论的最优执行问题，Cardaliaguet和Lehalle（2017）提出了多个方向的扩展。首先，假设交易者是平均场博弈的一部分，基础资产的价格受到永久性影响，不仅受到代理人行为的影响，还受到所有代理人以最佳方式行事的总体行为的影响。除了这种总的永久性影响外，单个交易者还面临着交易过快所带来的通常的临时性影响。另一个扩展是允许经济中贸易商的不同偏好。也就是说，无论是在整个投资期还是投资期结束时，贸易商对其库存规模的容忍度都可能不同。

直觉上，这个框架可以被认为是试图“在人群中进行最佳交易”的代理从问题的数学描述开始，我们得到了各种代理的库存和现金流程的以下动力学（由asuperscript a索引）：dQat=νatdt，Qa=qadXat=-νat（St+kνat）dt，Xa=Xa与前一种情况的一个重要偏差是，永久价格影响是由于所有代理的交易率的净和，用ut表示：dSt=κutdt+σdWtAlso，与代理a的最优控制问题相关的值函数由：Ha（t，x，S，q）=supνEt，x，S，q给出XaT{z}终端灰+QaT（ST- αaQaT）{z}终末静脉- φaZTt（Qau）du |{z}运行库存请注意，每个代理a都有一个不同的值αa和φa，表示它们的首选项。因此，代理可以用它们的首选项a=（αa，φa）来表示。与代理控制问题相关的HJB方程是：t+σ不锈钢哈- φaq+κu·SHa+supν(ν · q- ν（S+kν）·x） 哈= 0Ha（T，x，S，q；u）=x+q（S- αaq）这可以使用ansatz简化为：-κuq=tha公司- φaq+supνν · qha公司- kνha（T，q）=-αaq请注意，上述PDE要求代理人了解平均场u的净交易流量，但该数量本身取决于我们尚未解决的每个代理人的价值函数。为了解决这个问题，我们首先以反馈形式编写每个代理的最优控制：νa（t，q）=qha（t，q）2接下来，我们假设库存的分布和代理的偏好被密度函数m（t，dq，da）所捕获。

因此，净流量u可以通过所有试剂的最佳作用的聚合得到简化：ut=Z（q，a）ha（t，q）2k{z}代理的交易率与库存qand偏好am（t，dq，da）{z}根据代理的分布进行聚合，为了计算不同时间点的数量，我们需要了解密度m随时间的演化。这只是福克-普朗克方程的一个应用，因为m是一个依赖于随机过程（投资水平）的密度。如果我们假设库存和优惠的初始密度为m（q，a），我们可以将福克-普朗克方程写成：tm+qm级·库存过程Qatunderoptimal控制的ha（t，q）2k{z}漂移= 0m（0，q，a）=m（q，a）Cardaliaguet和Lehalle（2017）问题中制造的完整系统包括HJB和福克-普朗克方程的组合，以及适当的初始和终端条件：- κuq=tha公司- φaq+(qha）4k（HJB方程-最优性）Ha（T，x，S，q；u）=x+q（S- αaq）（HJB终端条件）tm+qm级·ha（t，q）2k= 0（FP方程-密度流）m（0，q，a）=m（q，a）（FP初始条件）ut=Z（q，a）假设相同的偏好αa=α，φa=φ，ha（t，q）2km（t，dq，da）（净交易流量）允许我们找到此PDE系统的封闭式解决方案。解决方案的形式相当复杂，因此我们请感兴趣的读者参考Cardaliaguet和Lehalle（2017）中的详细信息。第3章偏微分方程的数值方法虽然可以获得偏微分方程的闭式解，但我们通常必须借助数值方法来获得解。在本章中，我们将讨论数值求解偏微分方程的一些方法。我们还涉及到这些方法中可能出现的一些困难，包括稳定性和计算成本，尤其是在更高的维度上。