静态与自适应策略用于信号优化执行

在命题2.2中，我们证明了当信号I（t）是确定性的时，最优交易速度r*在适应的可容许策略类上，V变为确定性。动态情况的证明涉及二阶偏微分方程系统的解（见[7]中的等式（5.15）至（5.17）），而确定性情况下的解仅涉及一阶常微分方程（见等式（A.4）-（A.6））。其原因是，I不再是马尔可夫过程，其生成器也不再出现在方程组中，其中I在HJB方程（a.1）中显示为时变系数。静态和动态方法可以在[4]的精神中得到调和。现在，我们解决燃料约束下的静态优化问题。如果x表示要清算的资产数量，这意味着允许的策略是集合中的策略vs（x）=nr:r是确定性的，ZT | rs | ds<∞ 和Xr- XrT=ZTrsds=xo。请注意，VS是V的一个子集。由于这种选择，revenuesfunctional将不再对交易后剩余的库存进行处罚，它将被定义为asEι、c、x、phCT- φZTXSDSI。（2.16）在下面的定理中，我们导出了容许策略VS（x）类上（2.16）的最大值的一个必要和充分条件。定理2.4。r*当且仅当存在一个常数λ，使得r*解决方案2KR*t+2φZtX*十二烷基硫酸钠-中兴通讯ι[Is]ds=λ，对于所有0≤ t型≤ T、 （2.17）其中X*t=x-Rtr公司*sds。回想一下（2.8）中定义了β。从定理2.4我们可以很容易地推导出以下推论。推论2.5。假设我遵循（2.10）中的OU流程。然后，最优静态库存X*:= Xr公司*是byX提供的*t=xψ（t）+Д（t），（2.18），其中ψ（t）=sinh（β（t-t） ）sinh（βt）和Д（t）=I2κ（β- γ)1.-e-γ（T-t） sinh（βt）+eγtsinh（β（t- t） sinh（βt）.

（2.19）在图2中，我们给出了最佳静态库存X*在（2.18）中，参数为：γ=0.1，σ=0.1，T=10，κ=0.5，^φ=0.1，X=10，σP=1，因此通过（2.5），φ=0.1。当I=0.5、I=0和I=-0.5. 由于我代表价格P的本地趋势，我们假设50%和-50%. 图4.2和图4.6【7】左上角显示了可能启动静态策略交易的信号的典型值，50%在该范围内。在后面的示例中，我们将采用±20%。在图2中，我们给出了最佳静态库存X*在（2.18）中，对于与图2相同的参数，我们现在才设置：I=0.2，并且我们显示了资产波动率对σP=1、σP=5和σP=10的最佳策略的影响。我们可以看到，大幅波动会更快地降低库存计划。这是因为，在波动性较大的情况下，与收入部分相比，标准的风险部分变得更加重要。本节的重点是比较信号自适应策略rfin（2.11）和最佳静态策略X*从（2.18）开始，并对其相应的收入进行比较。在图3（蓝色区域）中，我们模拟了rf产生的库存XRF的1000条轨迹。在黑色曲线中，我们给出了（2.18）中的最优静态库存。对于信号过程I参数和执行问题影响和边界条件，我们假设以下值：γ=0.1，σ=0.1，I=0.2，T=10，κ=0.5，^φ=0.1，σP=1，X=10。（2.20）模型的参数与图2的参数相似，加上I=0.2。

我们注意到，即使策略以相同的创新价值开始和结束，在（0，T）期间交易速度的变化可能是实质性的。在图4（左）中，我们比较了蓝色的最佳静态策略（2.18）和橙色的信号自适应策略（2.11）产生的收入。绘制了交易窗口T从5到50的不同值的收入图。我们观察到，随着交易窗口的增加，战略预期收入的差异大幅增加。在图4（右）中，我们比较了信号波动率σ不同值的收入。模型参数（形式σ除外）与leftplot相似。我们观察到，波动性较大的信号将在静态策略和适应性策略的收入之间产生重大差异。图1：最优静态库存X的曲线图*在（2.18）中，对于（2.20）中的参数（I除外）。针对信号的不同初始值，给出了最佳静态策略：I=0.5（橙色），I=0（绿色），I=-0.5（蓝色）。图2：最优静态库存X的曲线图*在（2.18）中，对于（2.20）中除σP以外的参数，针对不同的波动率值提出了最佳静态策略：σP=1（蓝色），σP=5（橙色）和σP=10（绿色）。图3：信号自适应交易速度rfin（2.11）产生的库存XRF模拟。蓝色区域是1000条这样的Xrf轨迹图。在黑色曲线中，我们给出了最优静态库存（2.18）。模型参数如（2.20）所示。图4：左侧：蓝色为最佳静态策略（2.18）和橙色为信号自适应策略（2.11）产生的收入比较。根据交易窗口T的不同值绘制收入图。（2.20）中模型区域的参数加上P=10。右图：不同信号波动率σ值的收入比较。

模型参数（形式σ除外）与前面的图相似。3瞬态市场影响案例本节考虑了市场影响呈指数衰减的情况，如Obizhaeva和Wang模型[13]。该模型中的实际价格过程由t=Pt+κρZ{s<t}e给出-ρ（t-s） dXs，t≥ 0，（3.1），其中P和I如（2.2）和（2.10）所示，接受性，κ、ρ为正常数。在这种情况下，我们说库存X是一种可接受的策略，如果它满足：（i）t-→ Xtis左–连续和自适应。（ii）t-→ XT具有P-a.s.有界总偏差。（iii）对于所有t>t，X=X且Xt=0，P-a.s。为了便于阅读，我们假设风险规避常数φ=0。[7]第2.1节显示，对应于容许策略X的收入函数由px给出- EhZ Ztids dXt+κρZ Zρe-|t型-s | dXsdXti。（3.2）在这种情况下，静态策略的类别定义如下，ΞS（x）={x |确定性容许策略，x=x，且在[0，T]}中有支持。在[7]的推论2.7中，唯一静态策略X*其中最大化了收益函数（3.2），X*t=（1-b（t））·x+ι2κργρ- γγ·b（t）- （ρ+γ）·b（t）- （ρ+γ）·b（t）, （3.3）其中b（t）={t>0}+1{t>t}+ρt2+ρt，b（t）=1- e-γt- b（t）（1- e-γT），b（T）=1{T>T}+ρT- b（t）（1+ρt），b（t）=（b（t）- 1{t>t}）e-γT。该模型的最优自适应策略是一个开放性问题（见[7]中的备注2.9）。请注意，X*thas在t=0和t=t时跳跃，并且在0<t<t时连续。此外，Xt是初始信号值ι、初始库存x、初始时间（在（3.3）中设置为0）和终端时间T的函数。

在下面的内容中，我们将编写*t（Is，x，s，t），对于从时间0开始的最佳静态策略≤ s≤ T当信号值为时，交易者在初始时间s持有的库存为x，在时间T终止（XT=0）。现在，我们将提出一种动态策略，该策略改进了optimalstatic策略X的结果*. 此新策略（n）允许代理在n处更新tradingstrategy- 1根据这些时间提供的新信息确定中间时间。为了使其正式化，我们选择n≥ 1并在[0，T]上定义网格，使tk=kTn，k=0。。。，n、 我们还定义了X（n）t=（X，如果t=0，X*t（Itk-1，eX（n）tk-1，tk-1，T），如果tk-1<t≤ tk，k=1。。。，n、 （3.4）注意X*=eX（1）。备注3.1。我们在此指出，与ex（n）tn相关的收入≥ 2大于X的收入*. 由于市场影响是暂时的，不会立即消失，因此在T/2时更新策略的交易员，例如根据X*t（IT/2，eX（2）t/2，t/2，t），未考虑其策略对区间[0，t/2]造成的市场影响，因此其策略可能是次优的（详细讨论见[7]中的备注2.9）。在图3中，我们将X（n）与最优静态策略X进行了比较*. 在左侧面板的蓝色曲线中，我们绘制了50条x（2）的轨迹，其中更新发生在t=5处。黑色曲线表示最佳静态策略X*来自（3.3）。可以观察到，ex（2）在T/2处有一个额外的跳跃，这是由策略的更新引起的。在右侧面板上，我们显示了收入函数（3.2）的蒙特卡罗模拟结果，该函数对应于x（n）t，对于n=1（蓝色）、n=2（橙色）和n=3（绿色）。注意，n=1的情况是静态情况。

该图显示了预期收入（y轴）与模拟中轨迹数N（x轴）的函数的收敛性。我们观察到，随着收入函数的增加，交易窗口期间不断增加的信号更新会改善执行结果。两个图中的参数分别为γ=0.1、σ=0.1、I=0.2、T=10、ρ=1、κ=0.5、X=10和P=10.4。结论和进一步研究在这项工作中，我们调查了交易执行模型，其中最佳适配策略与静态策略显著不同。Brigo和Piat之前的研究结果[6]考虑了Bertsimas和Lo的基准模型和信息信号[5]，以及Gatherel和Schied的基准模型，在Almgren和Chriss之后[2]。在这些模型下，图5：左：模拟（3.4）中X（2）的50条轨迹，其中updatetakes位于t=5（蓝色曲线）。黑色曲线表示最佳静态策略X*来自（3.3）。右图：收入函数（3.2）的蒙特卡罗模拟，对应于x（n）t，n=1（蓝色）、n=2（橙色）和n=3（绿色）。两个图中的参数分别为γ=0.1、σ=0.1、I=0.2、T=10、ρ=1、κ=0.5、X=10和P=10。研究发现，至少对于模型参数的合理值而言，自适应策略所期望的最优性改善最小。为了找到改进显著的模型，我们考虑了Lehalle和Neuman提出并研究的交易框架[7]。这样一个框架结合了最优交易执行中价格预测的使用，使学术文献与交易者的实践相协调。我们发现，在Lehalle和Neuman的模型中，模型参数的实际值确实可以对改进进行评价。

因此，我们的结论是，从静态策略切换到自适应策略确实会产生效果，但这只能通过足够复杂的模型来实现，以纳入一些市场实践。在未来的研究中，静态自适应比较可以扩展到更广泛的模型类别。参考文献【1】A.Almgren。具有随机流动性和波动性的最优交易。暹罗J.金融数学。，3:163–181, 2012.[2] R.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3（2）：5–392000年。[3] E.Bacry、A.Luga、M.Lasnier和C.A.Lehalle。市场影响和投资者订单的生命周期。市场微观结构和流动性，1（2），2015年12月。[4] C Belak、J Muhle Karbe和K.Ou。目标区域模型中具有一般信号和清算的最优交易。arXiv预印本arXiv:1808.00515。2018年8月1日。[5] D.Bertsimas和A.W.Lo。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1（1）：1-501998年。[6] D.Brigo和C.Piat。静态vs在两个基准交易模型中采用了最优执行策略。K.Glau、D.Linders、M.Scherer、L.Schneider和R.Zagst主编，《保险、风险和资产管理创新》，第239-274页。世界科学出版社，慕尼黑，2018年。[7] Lehalle C.A.和Neuman E.将信号纳入最佳交易。toappear in Finance and Stochastics，2018年。[8] P.福赛斯、J.肯尼迪、T.S.谢和H.温克利夫。最优交易执行：amean二次变异法。经济学、动力学和控制杂志，36:1971-1991，2012。[9] J.Gatheral和A.Schied。Almgren和Chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行。《国际理论与应用金融杂志》，14:353–3682011。[10] J.Gatheral、A.Schied和A.Slynko。市场影响的指数弹性和衰减。In：F.Aberger，B.Chakrabarti，A.Cakraborti&M。

Mitra，eds，《订单驱动市场的经济哲学》，SpringServerLag，2011年。[11] M.Labadie和C.-A.Lehalle。算法交易的最佳开始时间、停止时间和风险度量：目标关闭和实施不足。工作文件，2013年。[12] A.利普顿、U.佩萨文托和M.G.索蒂罗普洛斯。2013年12月，限额订单中的贸易到货动态和报价不平衡。[13] A.A.Obizhaeva和J.Wang。最佳交易策略和供需动态。《金融市场杂志》，16（1）：1–32，2013年。[14] H.Pham。连续时间随机控制和优化与金融应用，第61卷随机建模和应用概率。柏林SpringServerLag，2009年。[15] A.斯奇德。具有燃料约束和Dawson–Watanabe超过程的控制问题。安。应用程序。概率。，23(6):2472–2499, 2013.[16] S.T.Tse、P.A.Forsyth、J.S.Kennedy和H.Windcliff。平均方差最优和平均二次方差最优交易策略之间的比较。应用程序。数学《金融》，20（5）：415–4492013年。[17] G.H.Tucci和M.V.Vega。算法读取的最佳交易轨迹。《投资策略杂志》，5（2）：57–742016年。命题2.2的证明。请注意，与（2.12）相关的HJB方程如下所示：，tV+(R)I（t）pV+σPppV公司- φx+supr-r十五+公关- κr= 0，（A.1），终端条件V（T，x，p）=x（p-%x） 。插入ansatz V（t，x，p）=xp+V（t，x），我们得到了V满足电视+x'I（t）- φx+supr-r十五- κr= 0、通过r we getr优化*= -xv2κ，（A.2），因此我们需要解决以下偏微分方程：电视+x'I（t）- φx+4κxv=0，（A.3），终端条件v（T，x）=-%x。

通过假设v（t，x）=v（t）+xv（t）+xv（t）并比较x的类似幂，我们得到以下方程组tv+4κv=0，（A.4）tv+κvv+(R)I（t）=0，（A.5）tv+κv- φ=0，（A.6），终端条件SV（T）=0，v（T）=0，v（T）=-%.注意，（A.6）是Riccati方程，而（A.5）是通过积分因子求解的，所以我们得到（2.13）和（2.14）。方程式（2.15）来自（A.2）和（2.14）。V是值函数（2.12）的事实源自【14】的定理3.5.2。最优策略的唯一性遵循了[7]的命题3.2中的相同论点。定理2.4的证明我们将首先证明最优策略的唯一性。让x>0。对于任何r∈ VS（x）定义（r）：=C（r）+C（r）- K（r），（A.7），其中C（r）=κZTrsds，C（r）=φZTXtdt，K（r）=zteι[是]ds rtdt。请注意，C（x）是（2.16）中带有减号的收入函数。根据fuelconstraint，由于x>0，我们得到C（r）>0，C（r）>0。（A.8）让r，v∈ VS（x）。我们定义了以下交叉泛函，C（r，v）=κZTrsvsds，C（r，v）=φZTrsvsds dt。（A.9）注意，对于i=1、2和Ci（v），Ci（r，v）=Ci（v，r）- r） =Ci（v）+Ci（r）- 2Ci（v，r），对于i=1，2。（A.10）我们现在可以重复与[7]中定理2.3的证明相同的步骤，并论证C（·）是严格凸的，以获得C（·）inVS（x）至多一个极小值的存在性。我们现在证明条件（2.17）对于最优性是有效的。假设R*∈ Vs（x）满足（2.17），我们将显示r*最小化C（·）。设r是Vs（x）中的任何其他策略。定义v=r- r*注意，根据燃料约束，Xv=Xv=0。

我们有C（r）=C（v+r*)= C（r*) + C（v）+C（r*) + C（v）+2C（r*, v） +C（r*) + C（v）+2C（r*, 五）-K（r*) - K（v）=C（r*) + C（v）+C（v）- K（v）+2C（r*, v） +2C（r*, v） 。自Ci（·）≥ 0，i=1，2，为了证明r的最优性*我们需要证明`（r*, v） ：=2C（r*, v） +2C（r*, 五）- K（v）≥ 0.使用（2.17）获取`（r*, v） =2κZTr*tvtdt+2φZTXvtXrt*dt公司-ZTZtEι[Is]ds vtdt=λZTvtdt- 2φZTZtXr*sds vtdt+2φZTXvtXrt*dt。通过部件集成，我们得到了ZTZTXR*sds vtdt-ZTXvtXrt*dt=0。根据燃料约束，RTVTDT=0，因此`（r*, v） =0。推论2.5的证明在这种情况下，我们有Eι[它]=E-λt.假设一个可微R，并微分（2.17）的两侧，以得到- 2k–Xt+2φXs- ιe-λt=0，对于所有0<t<t，（A.11），初始和终端条件X（0）=X，X（t）=0。（A.11）的解为（2.18）。根据定理2.4，这是（2.6）的唯一极小值。