风险的货币计量

风险度量l定义人l（十） =A.l（十） =inf{s∈ IR | E[l(-十、- s1I）]≤ r} 被称为基于损失的短缺风险度量。如果l 是凸面的。如果l 是实值的，并且l被视为L上的函数∞, 然后它是弱闭的对偶表示十、∈ L∞: l（十） =最大值∈M（P）均衡器[-X]- infλ>0λr+El*λdQdP哪里l*是l : 红外光谱→ IR。短缺风险度量是法律不变量，在某种意义上与分歧风险度量是双重的（在【27，第4.9节】中讨论），后者有一个原始表示，取决于l*) 这反过来也与Ben Tal和Teb oulle提出的“优化确定性等价物”相吻合【5】，【6】。光谱风险度量。关键的观察结果是，两个风险度量的凸组合也是一个风险度量，这甚至可以通过[0，1]上的概率度量推广到混合物，参见[1，proposition 2.2]。Acerbi[1]介绍了以下概念。Letφ：[0，1]→ IR是满足（a）φ（α）的函数≥ 0表示所有α∈ [0，1]，（b）Rφ（α）dα=1，（c）0≤ α≤ α≤ 1表示φ（α）≥ φ(α). 然后，函数φ： L∞→ 红外光谱∪ {+∞} 定义人φ（X）=-Zφ（s）q-X（s）dss是一个一致的、规律不变的风险度量，函数φ被称为风险s pec trum，决策者可以选择它。这里，q-X（α）=inf{t∈ IR | FX（t）≥ α} 是X的下α分位数。V@R和AV@R被证明是特殊的光谱风险度量。比较[12]，了解更多属性、双重表示结果以及与随机优势序的关系。注意，Kusuoka[37，定理7]的结果已经暗示了L∞在无原子概率空间上，与所有弱闭、相干、律不变和共单调风险测度类重合（比较[1]中的备注4.4）。5与风险评估中其他概念的关系随机优势顺序。

概率分布的随机优势序是风险评估的重要工具。因此，风险度量的一个关键性质是关于这些阶的单调性。风险平均值表征了二阶随机优势SSD：如果X，Y∈ 五十、 然后SSDY公司<=> α ∈ （0，1）：AV@Rα（X）≥ AV@Rα（Y）。这一观察可追溯到【42】，另见【27，备注4.49】。以类似的方式，风险价值表征了一阶随机优势。其他翻译功能。值得注意的是，许多其他函数共享属性（1）。特别是，不完全市场中金融头寸的次级和超边际价格是现金相加函数的版本【27，第1.3节】以及所谓的gooddea l界限【34】。在金融之外，D empster的信念函数【14，公式（3.9），第363页】、Choquet积分【15】、不精确的上下期望值【52】、保险费（如【53】中所述）、精确泛函和博弈【39】、【40】以及maxmin期望效用函数【29】，以及其他许多函数，共享属性（1）。扩展。（a） 著名的马科维茨投资组合选择模型[38]将方差作为风险评估工具，它既不是单调的，也不是现金加成的。相反，它在由常数函数构成的线性子空间上是常数。Rockafellar、Uryasev和Zabarankin【47】、【48】引入的偏差度量值共享了该属性，基本上是风险度量值和预期值的差异。它们可以替代回归分析[49]或投资组合选择[48]等程序中的方差。有关概述，请参见[46]。（b） 由于现金加性风险度量是拟凸的当且仅当它是凸的，因此引入了（1）的较弱版本，请参见[19]和[9]。

在[8]、[18]中，可以找到一个简明的动机、关于拟凸风险度量（称为绩效或评估指数）的进一步结果以及许多例子。（c） 在市场条件下，可能需要提供动态风险评估程序。主要问题是时间的一致性，即如果在较早的时候已经可以接受，那么在某个时候可以接受的立场。上述概念对动态案例的扩展始于【16】、【10】、【11】、【43】。最近，L-moduleframework主要受时间相关的条件风险度量的驱动而开发，有关概述和参考文献，请参见【24】。（d） 在有交易成本和流动性不足的市场中，需要评估多变量头寸的风险（另见3.1.5.7）。已经采用了几种方法：例如，多变量支付的标量风险度量[7]、[20]，以及向量和集值风险度量[35]、[30]、[31]、[32]。（e） 条件（1）要求存在作为参考工具的“不可违约”（可贴现）数字。鉴于最近的金融和经济危机，这一假设值得怀疑。[21]、[22]中可以找到更多离开“恒定数量”框架和替代方案的原因。参考文献【1】Acerbi，C.（200 2）。风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》26（7）：1505-1518。[2] Acerbi，C.，&Scandolo，G.（2008）。流动性风险理论和一致性风险度量。定量金融，8（7）：681-692。[3] Aliprantis，C.，&Border，K.（200 6）。有限维分析。斯普林格出版社，第3版。[4] Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.M.、Heath，D.（1999）。一致的风险度量。《数学金融》，9（3），203-22 8。[5] Ben Tal，A.，&Teboulle，M.（1986）。

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