风险的货币计量

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英文标题：
《Monetary Measures of Risk》
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作者：
Andreas H Hamel
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This survey gives an introduction to monetary measures of risk as monotone and cash additive functions on spaces of univariate random variables. Primal and dual representation results as well as several examples are discussed. Principal ways to construct risk measures are given and extensions to more general situations indicated.
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中文摘要：
本文介绍了在一元随机变量空间上作为单调函数和现金加性函数的货币风险度量。讨论了原始表示和对偶表示的结果以及几个例子。给出了构建风险度量的主要方法，并指出了对更一般情况的扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Monetary_Measures_of_Risk.pdf (160.12 KB)

2022-6-11 06:19:03 上传

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关键词：Quantitative Presentation introduction Applications Application

风险的货币计量*Andreas H.Hamel+货币风险度量是一种数学工具，用于量化随机未来收益（或损失）的风险，该风险以参考工具的（贴现）单位表示（例如，现金）。因此，它是一个实值函数，可以方便地分配值+∞. 风险度量值越大，风险越高。两个基本的数学性质被证明是至关重要的。两者都具有前瞻性和令人信服的经济解释。第一个是单音特性：如果X中的ga不小于世界上发生的任何情况下的增益Y，那么X的风险不应大于Y的风险。第二个因素是无风险参考工具的可加性：如果将参考工具（如现金）的单位与（贴现）随机收益（如asa存款）相加，则风险（即风险度量值）会减少s。因为将此类风险度量值立即解释为资本要求，它们也被称为货币风险度量。第二个属性叫做现金可加性，具有显著的数学后果。Yaari早在[54，第101页]就指出了它的经济学解释，“支付中的线性”，并通过Artzner等人的作品[4]流行起来。现金可加性有很多名称，例如“翻译不变性”（alreadyin[53]，也有[4]），“翻译等价性”（[51]），或者仅仅是“可加性”（[5，p.1455]）。继著名的[38]之后，随机变量的方差被用作投资组合选择问题的风险度量（另请参见3.2.2.2和3.2.2.4）。然而，它既不是兴奋剂，也不是现金添加剂。

此外，它以对称的方式衡量（随机）收益和损失，这不是（金融）风险度量的理想属性，而且在更深层次上，方差与已经讨论过的重要随机优势顺序不一致，如【41】中所述。另一方面，在金融实践中，（现金加成）所谓的风险价值被（现在仍然）广泛用作风险度量。其缺点是缺少凸性：风险价值通常不支持多元化。因此，在[4]中引入了一类新的（单调和现金加性）风险度量，称为相干（相干）（另请参见4.6.3.3）。*本文撰写于2015年，作为对威利运筹学与管理科学百科全书的贡献。它已被接受，并将出现在EORMS的第二版中。+博赞诺自由大学，安德烈亚斯经济与管理学院。hamel@unibz.itSuch标签指EORMS中的其他条款。1风险措施和验收集(Ohm, F、 P）是概率空间，P∈ [0, ∞] 和Lp：=Lp(Ohm, F、 P）是所有（等价类）单变量的线性空间，对于P次方（绝对）可积随机变量，其中X：Ohm → IR和X：Ohm → IR生成LpwheneverP（{ω）的相同元素∈ Ohm | X（ω）=X（ω）}）=1。如果p=0，则为所有随机变量的空间。Ifp=∞, L∞:= L∞(Ohm, F、 P）是本质有界随机变量的空间。像X一样的一个等式≤ X的两个元素X∈ Lpis几乎可以肯定地理解为P，即P（{ω∈ Ohm | X（ω）≤ X（ω）}）=1。元素1I∈ Lp表示值为1 P的函数，几乎可以肯定，Lp+={X∈ Lp | 0≤ 十} 。A函数 : 有限合伙人→ 红外光谱∪ {+∞} 如果X，Y称为单调∈ Lp，X≤ Y暗示（Y）≤ （十） ，则称为现金添加剂，如果十、∈ Lp，r∈ IR：（X+r1I）=（十）- r

（1） 定义1风险度量是一种功能: 有限合伙人→ 红外光谱∪ {+∞} 这是单调的、现金相加的和令人满意的(0) ∈ IR。风险度量也可以在随机变量的其他线性空间上定义，例如参见[12]。值得注意的是，尽管在数学上并不困难，但风险度量基本上与其接受集一一对应（另见3.2.4.1）。该特性几乎完全取决于特性（1）。以下是必要的概念。刚毛 如果A+Lp，则称为单调LPI+ A、 如果X∈ A、 {rn}n=0,1，。。。 IR+，limn→∞rn=0和X+rn1I∈ A表示所有n=0，1。暗示X∈ A、 定义2验收集是 LPI单调、方向封闭且满足∩ IR1I 6= 以及（Lp\\A）- IR1I=Lp。验收集和风险度量之间的对应关系在以下结果中确定。提案3如果A lp是一个接受集，然后是函数Aon定义人A（X）=inf{s∈ IR | X+s1I∈ A} （2）是一种风险度量。如果: 有限合伙人→ 红外光谱∪ {+∞} 是一种风险度量，那么setA= {X∈ Lp |（十）≤ 0}（3）是接受集。此外，它保持A=AA和 = A..条件A∩ IR1I 6= 指财务代理接受一定金额的现金，以及（Lp\\A）- IR1I=lp表示，从任何位置X开始提取现金都有一个限制。这两个条件共同确保Aneveratains公司-∞ 作为一种价值A（0）∈ IR。其他一切都很简单，可以验证A. A A s如下：如果X∈ A.A、 那么A（X）=inf{s∈ IR | X+s1I∈ A}≤ 0，而对最小值的定义意味着以下内容：对于每个ε>0，都有sε≤ ε使得X+sε1I∈ A.

利用A是单调的事实，得到X+ε1I=X+sε1I+（ε- sε）1I∈ A+IR+1I A、 由于A是方向闭合的，X∈ A、 因此A. A、 A的方向闭性意味着集合{s的闭性∈ IR | X+s1I∈ A} 这意味着如果没有，则附加A（X）+∞:有个∈ IR，以便A（X）=砂X+s1I∈ A、 这意味着X+A（X）1I∈ A、 也就是说，X可以通过存放位置来接受A（X）个现金单位（或更多）。在大多数情况下，风险度量和验收集必须满足进一步的要求。同样，属性（1）引发了风险度量属性和接受集之间的一一对应：（a）风险度量 当且仅当“诱导”接受集A是凸的isconvex。这意味着风险度量是凸的当且仅当它是拟凸的。（b） 正齐次（次线性）当且仅当是一个圆锥体（凸锥体）。（c） 当且仅当- IR 1I=Lp。获得了验收集和“诱导”风险度量的相应报表A、 在[4]之后，数学金融界习惯称次线性风险度量为一致的。然而，[4]的作者可能打算在更字面的意义上使用“相干”一词：例如，在[33]中，凸但不一定是次线性风险度量也被称为（弱）相干。此外，SENSE中还使用了“相干”，通常与“无套利”相关，如[5 2]。下面是一些风险度量的基本示例。函数X 7→E类[-十] 是L上的线性风险度量，函数X 7→ - essinf X是L上的次线性风险度量∞.

一大类风险度量基于分位数：对于α∈ （0，1），数字q+α（X）=inf{t∈ IR | P[X≤ t] >α}=sup{t∈ IR | P[X<t]≤ α} 称为X的上α分位数；functionX 7→ V@Rα（X）=-q+α（X）=inf{t∈ IR | P[X+t1I<0]≤ α} 称为α级X的风险值；functionX 7→ AV@Rα（X）=αZαV@Rβ（X）dβ称为α级X的平均风险值。V@R是一个正齐次的，但在L上通常是非凸风险测度，而AV@R是L上的一个次线性风险测度，即它是相干的。函数τ：Lp→ 红外光谱∪ {+∞} 定义单位：τ（X）=-r:X=r1I，r∈ 红外光谱+∞ : X为非康斯坦蒂斯次线性，满足定义1的要求，但单调性除外。它可以被视为评估风险的一种极端方式：非恒定收益被视为不可容忍的风险，只有非负恒定收益才是可接受的。事实证明，每个风险度量都有τ的表示。事实上，定义指标函数（在凸分析的意义上）IA:Lp→ 红外光谱∪ {+∞} 验收集的 Lpby IA（X）=0，每当X∈ A和IA（X）=+∞ 否则，公式（2）可以写成（IA τ） （X）=inf{IA（X）+τ（X）| X+X=X}=inf{IA（X）- r | X+r1I=X，r∈ IR}=inf{-r | X- r 1I∈ A、 r∈ IR}=A（X）。因此，位置X被分为一个常数和一个可接受的剩余位置X。如果这是可能的，可以寻找τ所评估的常数的最小风险。如果无法进行此类拆分，IA（X）=+∞ 始终保持和（IA τ） （X）=+∞.在数学上，Ai是Ia和τ的精确卷积。满足命题3中假设的每个风险度量都有这样的表示：（十）=IA公司 τ（十） 福拉尔X∈ 有限合伙人。

这非常方便，特别是对于对偶目的，因为两个函数Ia和τ很容易处理。2闭性和对偶表示空间是一个完全度量，任何L'evy度量的线性空间。如果p≥ 1，范数为kXkp的Lpisa-Banach空间=ROhm|X | pdPpfor 1≤ p<∞ 和kXk∞=对于p=∞. 在下文中，p∈ {0} ∪ [1, ∞] 假设为。命题4以下陈述相当于风险度量 : 有限合伙人→ 红外光谱∪{+∞}:（a） 在每个X∈ Lp， 是低s e微连续的，即。，（十）≤ lim信息→∞（Xn）无论何时→∞Xn=X英寸Lp。（b） {X∈ Lp |（十）≤ r} 每个r关闭∈ IR；（c） A= {X∈ Lp |（十）≤ 0}  Lpis关闭。并行语句适用于通过风险度量进行规划 一个接一个.（a）和（b）的等价性在变分分析中是标准的，而（c）进入图片是因为现金可加性（1）。满足命题4中的一个条件（从而满足所有条件）的风险度量称为闭合。对于p∈ [1, ∞), Lpis的拓扑对偶是Banach空间Lqforp+q=1，q=∞ 当p=1时。如果p=∞ 然后我∞由双对（L，L）生成的弱拓扑提供∞) （对于局部凸空间，请参见[3，第5.14节]），这确保了∞和Lbecome拓扑对偶。请注意，L上的拓扑∞影响了: L上有函数∞对于范数拓扑，它是闭合的，但对于byL生成的（弱）拓扑，它不是闭合的。确保后者与所谓的FatoupProperty等效的条件，见【27，第4.3节】。允许: 有限合伙人→ 红外光谱∪ {+∞} 是一个封闭的凸风险度量。根据定义1，它永远不会获得价值-∞, 它至少有一个真正的价值(0). 这意味着 在凸分析的意义上是适当的（见[55，p。

39]），它满足了Fenchel-Moreau定理的所有假设【55，定理2.3.3】：它与Legendre-Fenchel-biconjugate一致**由两个公式给出*（Y）：=supX∈Lp{E[XY]- （十） }和**（十） ：=supY∈Lq{E[XY]- *（Y）}其中Legendre-Fenchel共轭*: L∞→ 红外光谱∪ {+∞} 属于 定义了Lp的拓扑对偶空间Lqof。代表性 = **仅当可以确定*. 结果是*（Y）=supX公司∈A.E类[-XY）]：E[Y]=1，Y∈ L∞++∞ : 否则（4）表示如下 = IA公司 τ和一个整数卷积的共轭是共轭之和的事实（[55，定理2.3.1（ix）]）：必须计算（IA)*和τ*. 而前者是已知的（这是定义共轭的一个简单结果），后者是I{Y∈Lq | E[Y]=-1}.观察到实现价值+∞ 无论何时Y 6∈ -Lq+（这源于A的单调性) 然后将Y替换为-Y一个获得（4）。（4）中Y的两个条件对对偶r表示公式进行了引人注目的解释 = **. 至Y∈ Lq+满足E[Y]=1可以为a指定一个概率度量Q byQ（a）=ZAY（ω）dP∈ f相对于P是绝对连续的，即dQdP=Y。此外，Q和Y之间的关系是一对一的。

如果其中一个用m（P）表示这种可能性度量的集合，那么LPS上风险度量的对偶表示结果如下所示。定理5函数: 有限合伙人→ 红外光谱∪ {+∞} 是一个闭的凸风险测度，当且仅当存在非空集Q M（P）与函数γ：Q→ IR，以便十、∈ 有限合伙人：（十） =supQ∈Q均衡器[-X]- γ（Q）.此外，γ（Q）=supX∈A.E类[-XY]=supX∈A.均衡器[-十] w henever Q是由Y生成的概率度量∈ Lq+，其中E[Y]=1和*（Y）<+∞.如果 是额外的正齐次（因此是次线性），则γ（Q）=0表示Q∈ Q.最坏情况风险度量最大值：L∞→ IR定义人最大（X）=- essinf X=inf{t∈ IR | X+t1I≥ 0}具有双重表示最大（X）=supQ∈M（P）等式[-十] ，而LCA的平均风险值可以表示为V@Rα（X）=sup均衡器[-十] | Q∈ M（P），dQdP≤α.两者都是次线性（一致）风险度量。请注意，DQDP∈ L∞对于Q∈ QAV@R。该公式的平均值可通过表示AV@Rα（X）=（ν）得出 τ） （X）带Д（X）=αmax{-十、 0}，这是由于[44]，[45]。通过ent（X）=βlog E[经验(-βX）]对于β>0，为风险度量耳鼻喉科：L∞→ 定义IR；它是凸的，但不是正齐次的。其双重表示为ent（X）=supQ∈M（P）均衡器[-X]-βH（Q | P）其中，H（Q | P）=EQ【logdQdP】是Q相对于P的相对熵。3法律不变性和Kusuoka代表性风险度量: 有限合伙人→ 红外光谱∪{+∞} 被称为法律入侵，如果（十） =（Y）当X andY在P下具有相同分布时。法律不变风险度量的标准示例是基于分位数的V@R和AV@R。对于L∞, 法律不变性具有强大的含义。

典型结果如下所示。定理6 Let(Ohm, F、 P）是一个无原子的概率空间，使得Lis是可分的。然后: L∞→ IR是一个定律不变的凸风险测度当且仅当存在一个函数π：M（（0，1））时→ [0, ∞] 因此十、∈ L∞: （十） =supm∈M（（0,1））ZAV@Rα（X）dm（α）- π（m）.式中，M（（0，1））是（0，1）上的（Borel）概率测度集。理论6中的特征化是由于Kusuoka[37]对于次线性情况（积分分位数函数的相互作用），是由于Jouini、Schachermayer和Touzi[36]对于一般凸情况。它表明了风险平均值的重要性。4构建风险度量转换信封。Letφ：L→ 红外光谱∪ {+∞} 是单调函数。然后，函数φ： L→ 红外光谱∪ {+∞} 定义人φ（X）=inf{φ（X）+τ（X）| X+X=X}=inf{φ（X- r1I）- r | r∈ IR}（5）是一种风险度量φ(0) ∈ IR。请注意φ就是两个函数φ和τ的不正卷积（[55，定理2.1.3（ix）]）。此外，可以证明φ是逐点最大的现金相加函数，其逐点不大于φ，因此可以称为φ的（下）现金相加包络。在不同的背景下，在【17】中引入了这种结构，并在【23】中引入了风险度量。此外，在【5】、【6】中引入的所谓“优化确定性等价物”具有φ（X）=E的相同形式[l（十） ]对于单调（非递增）函数l: 红外光谱→ 红外光谱∪ {+∞}. 如上所示，每个风险度量都是其“诱导”接受集指标函数的现金相加包络：IA是单调的，因为是与损失/效用功能相关的风险度量。允许l : 红外光谱→ 红外光谱∪ {+∞}是一个适当的、递增的、非恒常的函数，r∈ 内景l（IR）。定义设置Al= {X∈ L | E[l(-十） ]≤ r} 。