具有市场波动性的系统性风险度量

certainfunction应反映其对金融市场不确定性和波动性的偏好。在下一节中，我们将借助φ和的接受集研究Lp（·）上系统风险度量的对偶表示.5双重代表性在我们研究Lp（·）系统风险度量的双重代表性之前，应定义接受集。由于每个系统风险测度ρ都可以分解为一个凸函数φ和一个简单的系统风险测度, 我们只需要定义φ和, i、 e.A:=（c，X）∈ R×Lp：（十）≤ c（5.1）andAφ：=（Y、f）∈ Lp×Lp（·）：φ（f）≤ Y. （5.2）我们稍后将看到，这些接受集可用于为Lp（·）提供系统风险度量的双重表示。在后续研究中需要以下特性。定义5.1。设M和N是两个有序线性空间。A组A M×N满足单调性if（M，N）∈ A、 q∈ N和N≥ q暗示（m，q）∈ A、 A组A M×N满足单调性if（M，N）∈ A、 p∈ M和p≥ m暗示（p，n）∈ A、 提案5.1。假设ρ=oφ是具有凸函数φ：E的系统风险度量→ R和一个简单的系统性风险度量 : 有限合伙人→ R∪ {+∞}. 相应的Acceptance设置φ由（5.1）和（5.2）定义。然后，Aφ和A是凸集，它们满足f-mo单调性和b-单调性。证据通过定义φ和.下一个命题提供了系统性风险度量在接受集点onLp（·）的原始表示。该结果将用于Lp（·）系统风险度量的双重表示。提案5.2。假设ρ=oφ是一个凸函数φ：E的系统风险度量→ R和一个简单的系统性风险度量 : 有限合伙人→ R∪ {+∞}.

相应的Acceptance设置φ由（5.1）和（5.2）定义。那么，对于任何f∈ Lp（·），ρ（f）=infc∈ R：（c，X）∈ A., （X，f）∈ Aφ（5.3）我们在哪里设置inf = +∞.证据自ρ= o φ、 我们有ρ（f）=infc∈ R:( o φ） （f）≤ c. （5.4）定义, 我们知道这一点（十） =infc∈ R：（c，X）∈ A.（5.5）对于所有X∈ 有限合伙人。然后，从（5.4）和（5.5），ρ（f）=infc∈ R：（c，φ（f））∈ A..这不难检查c∈ R：（c，φ（f））∈ A.=c∈ R：（c，X）∈ A., （X，f）∈ Aφ.因此，ρ（f）=infc∈ R：（c，X）∈ A., （X，f）∈ Aφ.现在，借助命题5.2，我们将介绍本节的主要结果：Lp系统风险度量的双重表示（·）。定理5.1。假设ρ= o φ是一种系统性风险度量，其特点是低连续性简单的系统性风险度量 以及一个连续凸函数φ。那么，对于任何f∈ Lp（·），ρ（f）的形式如下ρ（f）=sup（bY，bf）∈Pnhbf，f i- α（bY，bf）o（5.6），其中α：Lq×（Lp（·））*→ R∪ {+∞} 定义为α（by，bf）：=sup（c，X）∈A.（Y，g）∈Aφn- c- hbY，（Y）- 十） i+hbf，gioandP：=（bY，bf）∈ Lq×（Lp（·））*, α（bY，bf）<∞.证据根据命题5.2，我们得到ρ（f）=infc∈ R：（c，X）∈ A., （X，f）∈ Aφ对于任何f∈ Lp（·）。此外，我们可以用ρ（f）=inf（c，X）重写它∈R×Lpc+IA（c，X）+IAφ（X，f）（5.7）如果一组的指示器功能∈ X×Y由IA定义（X，Y）：=0，（x，y）∈ X×Y∞, 另一方面，从命题5.1中，我们知道Aφ是凸集。因此，我（bc，bX）=sup（c，X）∈A.密件抄送+hbX，Xi, 卑诗省∈ R、 bX公司∈ LqandI′Aφ（bY，bf）=sup（Y，f）∈AφbYY+hbf，f i,通过∈ Lq，bf∈ （Lp（·））*.在她手上，自从 是下半连续的，它遵循已关闭。

因此，根据共轭函数的对偶定理，我们得到了（c，X）=I′\'A（c，X）=sup（bc，bX）∈R×Lq密件抄送+hbX，Xi- 我是（bc，bX）= sup（bc、bX）∈R×Lqnbcc+hbX，Xi- sup（c，X）∈A.密件抄送+hbX，Xio、 类似地，我们haveIAφ（X，f）=I′\'Aφ（X，f）=sup（bY，bf）∈Lq×（Lp（·））*hbY，Xi+hbf，f i- I′Aφ（bY，bf）= sup（bY，bf）∈Lq×（Lp（·））*nhbY，Xi+hbf，f i- sup（Y，f）∈AφhbY，Y i+hbf，f io、 因此，我们知道ρ（f）=inf（c，X）∈R×Lpc+IA（c，X）+IAφ（X，f）= inf（c，X）∈R×Lpsup（bc、bX）∈R×Lq（bY，bf）∈Lq×（Lp（·））*nc（1+bc）+hbX+bY，Xi+hbf，f i- 我是（bc，bX）- I′Aφ（bY，bf）o.根据Rockafellar（1 974）的定理7，因为 φ的连续性，我们可以交换上确界和上确界，即ρ（f）=sup（bc，bX）∈R×Lq（bY，bf）∈Lq×（Lp（·））*inf（c，X）∈R×Lpnc（1+bc）+hbX+bY，Xi+hbf，f i- 我是（bc，bX）- I′Aφ（bY，bf）o=sup（bY，bf）∈Lq×（Lp（·））*nhbf，f i- sup（c，X）∈A.（Y、f）∈Aφ-c- hbY，Y- Xi+hbf，f io、 α（bY，bf）由α（bY，bf）定义：=sup（c，X）∈A.（Y、f）∈Aφ-c- hbY，Y- Xi+hbf，f i= sup（c，X）∈A.（Y，g）∈Aφn- c- hbY，（Y）- 十） i+hbf，gioandP：=（bY，bf）∈ Lq×（Lp（·））*, α（bY，bf）<∞,紧接着ρ（f）=sup（bY，bf）∈Pnhbf，f i- α（bY，bf）o.备注5.1。然而，上述定理5.1的证明使用了命题5.2中系统风险度量的原始表示，这意味着接受设置了andAφ在证明系统性风险度量的双重代表性方面发挥了重要作用。因此，Lp（·）上系统风险度量ρ的双重表示仍然依赖于凸函数φ和一个简单的系统风险度量.参考文献【1】Acharya，V.，Pedersen，L.，Philippon，T，M.，R.，测量系统风险。CEPR讨论文件88242012。http://www.cepr.org/pubs/dps/DP8824.asp[2] Biagini，F.、Fouque，J.P.、Frittelli。

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