具有市场波动性的系统性风险度量

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英文标题：
《Systemic risk measures with markets volatility》
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作者：
Fei Sun, Yijun Hu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  As systemic risk has become a hot topic in the financial markets, how to measure, allocate and regulate the systemic risk are becoming especially important. However, the financial markets are becoming more and more complicate, which makes the usual study of systemic risk to be restricted. In this paper, we will study the systemic risk measures on a special space $L^{p(\\cdot)}$ where the variable exponent $p(\\cdot)$ is no longer a given real number like the space $L^{p}$, but a random variable, which reflects the possible volatility of the financial markets. Finally, the dual representation for this new systemic risk measures will be studied. Our results show that every this new systemic risk measure can be decomposed into a convex certain function and a simple-systemic risk measure, which provides a new ideas for dealing with the systemic risk.
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中文摘要：
随着系统性风险成为金融市场的热门话题，如何度量、分配和监管系统性风险显得尤为重要。然而，随着金融市场的日益复杂化，通常对系统性风险的研究受到了限制。在本文中，我们将研究一个特殊空间$L^{p（\\cdot）}$上的系统风险度量，其中变量指数$p（\\cdot）$不再是一个像空间$L^{p}$那样的给定实数，而是一个反映金融市场可能波动的随机变量。最后，将研究这种新的系统性风险度量的双重表示。我们的结果表明，每一个新的系统风险度量都可以分解为一个凸函数和一个简单的系统风险度量，这为处理系统风险提供了新的思路。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：系统性风险 风险度量 风险度 波动性 系统性

具有市场波动性的系统性风险度量孙飞、华怡君摘要由于系统性风险已成为金融市场的热门话题，如何度量、分配和监管系统性风险变得尤为重要。然而，金融市场正变得越来越复杂，这使得通常的系统性风险研究受到限制。在本文中，我们将研究特殊空间Lp（·）的系统风险度量，其中变量指数p（·）不再是空间Lp那样的给定实数，而是反映金融市场可能波动性的随机变量。最后，将研究这种新的系统性风险度量的双重表示。我们的结果表明，每一个新的系统风险度量都可以分解为一个凸函数和一个简单的系统风险度量，这为处理系统风险提供了新的思路。关键词风险度量；系统性风险；可变指数；分解数学学科分类（2010）：91B30 91B32 46A401简介金融危机不仅引起了公众对系统性风险的关注，也突显了衡量和管理系统性风险的必要性。系统风险的衡量涉及两个问题：金融市场系统性风险的量化，以及该风险对单个机构的分配。这导致了对系统风险度量研究的关注。在这篇开创性的论文中，Art zner等人（1997、1999）首先介绍了相干风险度量的类别。然而，传统的风险度量方法未能有效地捕获周围系统性风险。最近的研究大多集中于衡量系统风险。Chen等人（2013）不言自明地引入了系统性风险度量。

有关系统风险度量的更多研究，请参见Tarashev et al.（2010）、Acharya et al.（2012）、Gauthieret et al.（2012）、Brunnermeier和Cheridito（2014）、Armenti et al.（2015）、Biagini et al.（2015）、Feinstein et al.（201 5）以及其中的参考文献。本文的主要研究内容是对可变指数的系统性风险度量的研究。传统的金融系统风险度量策略通常假设风险度量是一个直接评估金融头寸风险的映射ρ。在本文中，我们将Lp（·）的系统性风险度量分为两个步骤。首先，我们定义了一个函数φ，对于任何系统性风险f∈ Lp（·），φ（f）是具有一定阶数的函数，即φ（f）∈ Lp，p∈ [1, +∞]; 其次，我们定义了一个简单的系统风险度量 : 有限合伙人→ R、 这使得（φ（f））是实数f或任意f∈ Lp（·）。电子邮件地址：fsun。sci@outlook.com (sunfei@whu.edu.cn)（F.Sun）；yjhu。math@whu.edu.cn（Y.Hu）由于每个步骤对我们来说都很常见，这两个步骤为衡量不确定市场中的系统风险提供了一种新方法。我们还将证明，每个系统风险度量ρonLp（·）可以分解为一个凸函数φ和一个简单的系统风险度量, i、 e.ρ（f）=( oφ） （f），f∈ Lp（·）。最后，给出了Lp（·）系统风险度量的对偶表示。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将简要回顾变指数Bochner-Lebesgue空间的定义和主要性质。在第3节中，我们将介绍变指数Bochnellebesgue空间上系统风险度量的定义，以及凸函数和简单系统风险度量的定义。

第四节讨论了变指数Bochner-Lebesgue空间上系统风险的新度量，即变指数Bochner-Lebesgue空间上的每个系统风险度量可以分解为一个凸函数和一个简单的系统风险度量。最后，在第5节中，我们将研究系统风险度量的双重表示。2序言在本节中，我们将回顾Lp（·）的定义和主要特性。参见Cheng和Xu（20 13）。3系统性ris k指标的定义在大多数金融市场中，系统性风险被定义为涉及机构和其他市场参与者之间以链式方式崩溃的风险，这可能会对整个金融系统产生负面影响。更具体地说，“多米诺骨牌效应”的风险似乎是系统性风险概念的核心，正如导致第一个多米诺骨牌倒下的触发事件的风险一样。一般而言，系统性风险可能是指经济冲击可能导致资产价格大幅波动、公司流动性、破产和效率损失。由于金融市场变得越来越复杂，系统风险似乎比以前更加不确定和不稳定。因此，我们使用可变指数BochnerLebesgue空间Lp（·）来描述具有不确定性和波动性的金融市场的系统性风险。

然而，衡量Lp（·）的系统性风险实际上并不简单。我们不想直接定义Lp（·）的系统风险度量，而是想定义两个特殊函数：凸确定函数和简单的系统风险度量。这两个函数将系统风险的度量分为两个步骤：确定性函数将系统风险的不确定性转化为确定性，然后简单的系统风险度量将通过特定函数简化的风险量化。定义3.1。凸函数是φ：E的函数→ 满足φ（Lp（·））=Lp的R和以下特性，A1单调性：对于任何x，y∈ E、 x个≥Ky表示φ（x）≥ φ（y）；A2凸性：对于任意x，y∈ E和λ∈ [0，1]，φ（λx+（1- λ） y）≤ λφ（x）+（1- λ） φ（y）；A3满射度：φ（E）=R。备注3.1。E是第2节中定义的一个iven Banach空间。A1中的序是圆锥K下的偏序，由备注？？？定义？？，也就是说，banach空间E由给定的锥K偏序。性质A3告诉我们，函数φ是一个无下界的非常数函数。现在，我们考虑一个函数Tφ：R→ R由Tφ（a）定义：=φ（az）。下一个引理提供了φ作为从E到R的函数的充分条件，以满足凸函数定义中φ（Lp（·））=Lp的要求。引理3.1。假设某个函数φ：E→ R满足属性A1- 如果以下假设成立，则φ（Lp（·））=Lp。（o）函数Tφ满足kTφ（Z）kp<∞ 和kT-1φ（Z）kp<∞ 对于任何Z∈ 有限合伙人。证据对于任何f∈ Lp（·），我们考虑由Z（ω）定义的Z：=最大{a | f（ω）≤Kaz}，w∈ 阿明{a | az≤Kf（ω）}，w∈ Ohm \\ A={ω∈ Ohm | φ（f（ω））≥ 0}.

根据A1的性质，我们得到0≤ φ（f（ω））≤ 任意w的φ（Z（ω）Z）∈ Aand0>φ（f（ω））≥ 任意w的φ（Z（ω）Z）∈ Ohm \\ A、 这导致|φ（f（ω））|≤ |φ（Z（ω）Z）|=| Tφ（Z（ω））|对于任何w∈ Ohm.它跟在任何f后面∈ Lp（·），存在Z∈ lp使e[|φ（f）| p]≤ E[| Tφ（Z）| p]表示p<∞andinf{b∈ R | |φ（f）|≤ b}≤ inf{b∈ R | | Tφ（Z）|≤ b} 对于p=∞.根据假设（o），由于kTφ（Z）kp<∞ 对于任何Z∈ Lp，我们有kφ（f）kp≤ kTφ（Z）kp<∞ 对于任何f∈ Lp（·），表示φ（Lp（·）） Lp。对于任何X∈ Lp，我们可以定义Y byY（ω）：=T-1φ（X（ω））表示所有ω∈ Ohm.自kT起-1φ（Z）kp<∞ 对于任何Z∈ Lp，不难检查Y∈ 有限合伙人。因此，存在向量Y z∈ Lp（·）使得φ（Y z）=Tφ（Y）=X，这意味着Lp φ（Lp（·）），我们得到φ（Lp（·））=Lp。备注3.2。请注意，对于满足A1的任何特定函数φ-A3，kTφ（Z）kp<∞和kT-1φ（Z）kp<∞ 对于任何Z∈ Lpare自动满足。事实上，凸确定函数φ用于将系统风险的不确定性转换为确定性。然后，为了测量Lp（·）上的系统风险，我们仍然需要一个简单的系统风险度量来量化风险，该风险由凸确定函数简化。定义3.2。简单的系统性风险度量是一个函数 : 有限合伙人→ R∪ {+∞} tha tsatis fis fies the following properties，B1单调性：对于任何X，Y∈ Lp，X≥ Y表示（十）≥ （Y）；B2凸性：对于任意X，Y∈ Lpandλ∈ [0, 1], λX+（1- λ） Y型≤ λ（十） +（1- λ)（Y）；B3恒定性：对于任何a∈ R（a） =a.备注3.3。属性B1- B2是众所周知的，并且在凸风险度量的研究中得到了详细的研究（例如，见F¨ollmer和Schied 2002）。性能B 3可以理解为技术条件。此外，我们考虑一个函数ρ：Lp（·）→ R∪{+∞} ρ表示ρ对E的限制。

现在，我们将通过公理化方法介绍变指数Bochner-Lebesgue空间Lp（·）上系统风险度量的定义。定义3.3。系统性风险度量是一个函数ρ：Lp（·）→ R∪ {+∞} 满足ρE（Lp（·））=Lp和以下性质，C1单调性：对于任何f，g∈ Lp（·），f≥Kg表示ρ（f）≥ ρ（g）；C2偏好一致性：如果ρ（f（ω））≤ ρ（g（ω））表示所有ω∈ Ohm, 然后ρ（f）≤ ρ（g）；C3凸性：对于任何f，g∈ Lp（·）和λ∈ [0，1]，ρ（λf+（1- λ） g）≤ λρ（f）+（1- λ） ρ（g）；C4风险凸性：如果ρ（h（ω））=λρ（f（ω））+（1- λ） 给定标量λ的ρ（g（ω））∈ [0，1]和所有ω∈ Ohm, 然后ρ（h）≤ λρ（f）+（1- λ） ρ（g）；C5满射度：ρ（E）=R。备注3.4。属性C1和C3的解释方式与简单系统性风险度量的定义相同。性质C2意味着如果经济风险f（ω）∈ E大于经济风险g（ω）∈ 几乎所有ω的E∈ Ohm, 然后是随机经济的风险f∈ Lp（·）应大于随机经济的风险g∈ Lp（·）。性质C4告诉我们，如果经济体h（ω）的风险是所有ω的经济体f（ω）和g（ω）的风险的凸组合∈ Ohm, 那么随机经济的风险h∈ Lp（·）至多是随机经济体f、g风险的凸组合风险∈ Lp（·）。条件ρE（Lp（·））=Lp是一项技术要求。相关函数的性质C5和A3密切相关，我们需要这些性质来分解下一节中的测量，即φ（e）=r=ρ（e）。我们将在下一节中看到，Lp（·）上的每个系统风险度量可以分解为一个凸函数φ和一个简单的系统风险度量varrho。

换言之，以下部分将说明，Lp（·）的系统性风险度量可以简化为两个步骤。4如何衡量Lp（·）的系统性风险由于本文的重点是研究Lp（·）的系统性风险衡量，因此如何衡量Lp（·）的系统性风险变得尤为关键。在本节中，我们将提供一个结构分解结果，该结果表明，Lp（·）上的任何系统风险度量都可以分解为一个凸函数和一个简单的系统风险度量。此外，我们还证明了在Lp（·）上，任何凸的确定函数和简单的系统风险测度都可以聚合为一个系统风险测度。事实上，这一过程是为了衡量波动性市场中的系统性风险。其他研究，如Sun和Hu（2018）以及Sun et al.（2018）也在这一领域进行了一些研究。定理4.1。A函数ρ：Lp（·）→ R∪ {+∞} 当且仅当存在凸函数φ：E时，是否为系统风险度量→ R和一个简单的系统性风险度量 :有限合伙人→ R∪ {+∞} ρ是 和φ，即ρ（f）=( o φ） （f）对于所有f∈ Lp（·）。（4.1）证明。我们首先显示“仅当”部分。假设ρ是一个系统性风险度量，并用φ（x）定义函数φ：=ρ（x）（4.2）表示任意x∈ E、 由于ρ满足凸性C3，因此它遵循φλx+（1- λ） y）= ρλx+（1- λ） y）≤ λρ（x）+（1- λ） ρ（y）=λφ（x）+（1- λ） 任意x，y的φ（y）∈ E和λ∈ [0, 1]. 因此，φ满足凸性A2。类似地，φ的单调性A1也可以由ρ的单数性C1表示。由于ρ满足满射率C5，因此从（4.2）可以看出φ满足满射率A3。此外，通过定义系统性风险度量值ρE（Lp（·））=Lp，再次从（4.2）得出φ满足φ（Lp（·））=Lp。

因此，φ是一个凸函数。接下来，我们考虑一个函数 : φ（Lp（·））→ R∪ {+∞ } , 定义如下：（十） ：=ρ（f），其中f∈ Lp（·），φ（f）=X.（4.3），现在，我们需要证明 定义明确。假设f，g∈ 当φ（f）=φ（g）时，我们得到ρ（f（ω））=φ（f）（ω）≥ φ（g）（ω）=ρ（g（ω）），ρ（f（ω））=φ（f）（ω）≤ φ（g）（ω）=ρ（g（ω）），对于所有ω∈ Ohm. 因此，通过ρ的性质C2，我们得到ρ（f）=ρ（g），这意味着 定义良好。接下来，我们要展示 上述定义是一个简单的系统性风险度量。假设X，Y∈ φ（Lp（·）），带X≥ Y，存在f，g∈ Lp（·）这样的t hatφ（f）=X，φ（g）=Y。然后，我们得到ρ（f（ω））=φ（f）（ω）≥ φ（g）（ω）=ρ（g（ω）），对于所有ω∈ Ohm. 因此，再次从ρ的性质C2得出（十） =ρ（f）≥ ρ（g）=（Y）这意味着 满足单调性B1。设X，Y∈ φ（Lp（·））和λ∈ [0，1]，我们考虑z：=λX+（1- λ） 是的。假设f，g，h∈ Lp（·），以便（十） =ρ（f），（Y）=ρ（g），（Z） =ρ（h），其中φ（f）=X，φ（g）=Y，φ（h）=Z。然后ρ（h（ω））=φ（h）（ω）=Z（ω）=λX（ω）+（1- λ） Y（ω）=λφ（f）（ω）+（1- λ） φ（g）（ω）=λρ（f（ω））+（1- λ） ρ（g（ω））表示所有ω∈ Ohm. 因此，ρ的性质C4产生（Z） =ρ（h）≤ λρ（f）+（1- λ） ρ（g）=λ（十） +（1- λ)（Y），这意味着 满足凸性B2。从φ的性质A3可以看出，对于任何a∈ R、 存在x∈ E使得φ（x）=a。那么，我们有（a） =ρ（x）。因此，ρ（x）=φ（x）=a，这意味着（a） =任何a的a∈ R、 也就是说 满足性能B3。因此 是一个简单的系统风险度量，从（4.2）和（4.3）中，我们得到ρ= o φ.接下来，我们将显示“if”部分。假设φ是一个凸函数，并且 是一种简单的系统性风险度量。此外，定义ρ= o φ . 自从 和φ是单调和凸的，不需要检查ρ是否满足单调性C1和凸性C3。

现在，假设f，g∈ Lp（·）满足( o φ） （f（ω））=ρ（f（ω））≥ ρ（g（ω））=( o φ） （g（ω））表示所有ω∈ Ohm. 然后，的特性B3 表示φ（f（ω））≥ φ（g（ω））表示所有ω∈ Ohm, 也就是φ（f）≥ φ（g）。因此，根据, 我们有ρ（f）=( o φ） （f）≥ ( o φ） （g）=ρ（g），其产生的ρ满足性质C2。接下来，我们将证明ρ满足性质c4。为此，我们假设f，g，h∈ Lp（·）和λ∈ [0，1]，ρ（h（ω））=λρ（f（ω））+（1- λ） ρ（g（ω））表示所有ω∈ Ohm. 这意味着( o φ） （h（ω））=λ（ o φ） （f（ω））+（1- λ)( o φ） （g（ω））表示所有ω∈ Ohm. 然后，的特性B3 隐含φ（h（ω））=λφ（f（ω））+（1- λ） φ（g（ω））表示所有ω∈ Ohm, 其中φ（h）=λφ（f）+（1- λ） φ（g）。因此，根据, wehaveρ（h）=( o φ） （h）≤ λ( o φ） （f）+（1）- λ)( o φ）（g）=λρ（f）+（1- λ） ρ（g），这意味着ρ满足特性C4。现在，我们只需要证明ρ满足性质C5。根据的B3属性 φ的性质A3为ρ（E）=（φ（E））=（R） =R，这就是ρ的性质C5。因此，上述ρ是一种系统性风险度量。备注4.1。定理4.1不仅给出了Lp（·）上系统风险测度的分解结果，而且提出了一种处理具有不确定性和波动性的市场上系统性风险的思想。更具体地说，我们首先使用凸确定函数φ将系统风险的不确定性转化为确定性，然后通过简单的系统风险度量量化简化的风险。这意味着，处理系统性风险度量的监管机构可以通过选择适当的特定功能和适当的简单系统性风险度量来构建合理的系统性风险度量。