预测长记忆序列的一种新的时变模型

另一个流行的评分规则是对数评分，对于观察结果y，其定义为-log（f（y）），其中f是预测密度（Good，1852；Bernardo，1979）。然而，该规则缺乏稳健性（Selten，1998；Gneiting and Raftery，2007），尤其是对于多步超前预测（h>1），当需要估计密度（而不是CRP所需的CDF）时，通常使用核密度估计。估计得分可能对带宽的选择高度敏感，从而使预测方法的排名更加脆弱。出于这些原因，以下评估将基于CRP。还应用了相同预测性能的正式统计检验。特别是，我们使用了Diebold和Mariano（1995）的testDMl=√第一个V-F Il公司-“SF I（d）l^σl，（11）其中l是样本外周期的长度，”“sm表示模型M的平均得分，σ是得分差异渐近方差的合适估计量。在预期得分无差异的无效假设下，在规则性条件下，检验统计量DMlis渐近标准正态（Diebold and Mariano，1995；Giacomini and White，2006；Diebold，2015）。关于σl，我们遵循Diks和Van Dijk（2011）的方法，使用异方差和自相关一致（HAC）估计量，定义为σl=γ+2JXj=11.-jJ公司^γj，其中j是小于或等于l1/4的最大整数，且^γjis是序列ST V的滞后j样本自协方差-F一级-SF I（d），ST V公司-F Il公司-样本期外SF I（d）lof得分差异。5.4温度异常结果图2报告了序列图及其经验自相关函数和原始光谱。

从这些图中可以明显看出，自相关的缓慢衰减行为和零频率附近的极点都存在，因此证实了长记忆行为的存在。ADF检验拒绝了单位根的零假设；此外，为整个序列计算的长记忆参数D的最大似然估计为0.498，这是一个非常高的值，但低于0.5。还可以看出，自1920年左右以来，该系列呈现出缓慢但不断增加的趋势，而自1980年左右以来，这一趋势的斜率更大。我们想研究我们提出的模型是否能够用动态长记忆参数来表示这种演变。-1-0.50.00.51.01850 1900 1950 2000时间温度。异常0.000.250.500.751.000 5 10 15 20 LAGACF05100.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5频谱图2：温度异常，1950年1月至2018年8月。系列图、ACF图和原始光谱图。图3显示了我们基于整个系列的估计结果。特别是，将DTI的演变与常数d的渐近置信区间进行比较。可以看出，DTI的演变远远大于常数d所暗示的演变，在所考虑的周期的第二部分中，数值更大。对于预测性能评估，我们使用前1000个观测值（样本期）估计TV-FI和FI（d）模型。对于以下样本期外，我们计算了条件预测分布。然后根据TV-FI和FI（d）模型的样本外性能进行比较，并根据0.30.40.50.61850 1900 1950 2000 TimedHadCrutfigure 3：温度异常进行评估。使用整个系列，通过TV-FI模型估计DTS的演变。

水平带表示常数d的渐近置信区间，也基于整个序列。预测层位h 1 3 6 9 12平均CRP：TV-FI 0.0575 0.0650 0.0709 0.0806 0.0870 0.0910平均CRP：FI（d）0.0583 0.0664 0.0724 0.0830 0.0898 0.0946DM测试-2.253-2.640-2.365-2.709-2.858-3.442p-值0.012 0.004 0.009 0.003 0.002 0.000表1：温度异常。比较TV FI和FI（d）模型在样本外期间的预测性能。CRP的基础。每200次观测，就要重新估计模型（因此，样本期延长）。两个模型的样本外平均得分如表1所示。应该提醒的是，分数较低的模型会生成更准确的预测。因此，具有动态d的TV-FI模型比具有常数d的FI（d）具有更好的预测性能，尤其是当预测范围h增大时。从表1可以看出，DM检验（11）表明，我们的模型具有动态记忆系数，预测性能有显著改善（p值为单向替代值），尤其是对于更长的预测期。图4显示了FI（d）和TV-FI模型（CS）的一步预测CRP之间差异累计和在样本外期间的演变，从而更清楚地说明了这一结果：CSj=jXi=1SF I（d）I- ST V公司-F二级, j=1，l、 （12）式中，Si是第i个一步预测的分数，l是样本外周期的长度。在图4中，TV-FI产生更准确预测的时期由向上的斜率表示。有趣的是，可以看到TV-FI模型具有0.000.250.500.751940 1960 1980 2000 2020次累积CRP差异图4：温度异常。

FI（d）和TV-FI模型的一步预测CRP之间在样本外阶段的累积差异。1990年后，即当观测到温度异常斜率增加时，动态长记忆参数优于FI（d）模型。5.5欧元兑美元汇率结果我们在图5中报告了观察到的序列及其经验自相关函数和原始谱。即使这一系列的行为与前一系列完全不同，也可以看出这一系列的特征是长记忆过程的典型定性特征。ADF检验拒绝了单位根的零假设；此外，为整个系列计算的长记忆参数d的最大似然估计为0.131，表明冲击的影响会随着时间的推移而持续。图6报告了dt的估计演变，与基于整个序列的常数d的渐近置信区间相比。我们发现，TV-FImodel暗示了估计的DTD保持在渐近置信区间以上的几个时期。关于预测性能，对于温度异常，在使用前1000个观测值（样本期）估计TV-FI和FI（d）模型并每200个观测值更新模型估计值后，计算条件预测分布。两个模型的样本外平均得分如表2所示。我们发现，只有当h=1时，TV-FI和FI（d）模型具有相同的性能，而当h>1时，使用动态d可以显著提高预测性能。这一改进随着预测层位h的增加而增加。图7显示了CSj的演变，如方程（12）所示，在样本外阶段。上坡表示TV-FI模型优于OFFI（d）模型的时期。

因此，在2007年和2014年之后，我们看到TV-FI模型的预测更加准确。有趣的是，在这些时期，欧元兑美元绝对回报的波动性急剧增加。0.000.010.020.032005 2010 2015 TimeEur-美元abs。ret.0.000.250.500.751.000 50 100 150 200 250LagACF0e+001e-042e-040.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5频谱图5：欧元兑美元汇率的每日中心绝对对数回报，2001-01-01–2018-11-20。系列图、ACF图和原始光谱图。0.10.20.32005 2010 2015年TimedEURUUSD图6：以欧元兑美元汇率为中心的绝对回报。使用整个系列，使用TV-FI模型估计DTS的演变。水平带表示常数d的渐近置信区间，也基于整个序列。预测期h 1 2 3 6 9 12平均CRP：TV-FI 2.0920 2.0846 2.0874 2.0938 2.0974 2.1003平均CRP：FI（d）2.0998 2.1031 2.1040 2.1154 2.1188 2.1243DM测试-1.127-2.593-2.577-3.416-3.892-4.616p值0.130 0.005 0.005 0.000 0.000表2：欧元兑美元汇率的中心绝对收益率。比较TV-FI和FI（d）模型在样本外期间的预测性能（平均CRP乘以1000以便于比较）。0.000.010.020.032005 2010 2015年时间累计CRP差异图7：以欧元-美元汇率为中心的绝对回报。FI（d）和TV FI模型的一步预测CRP之间在样本外阶段的累积差异。6结论在这项工作中，我们提出了一个灵活的时变分数积分模型，该模型使长记忆参数随时间动态变化。该模型基于Creal et al.（2013）和Harvey（2013）的广义自回归得分（GAS）模型理论。

我们得到的结果对于模拟和实际时间序列都是非常有希望的。在这项工作中，我们只考虑FI模型，但未来的研究可能包括对一般ARFIMA（p，d，q）的扩展，即使在我们看来，可变长记忆参数dt也能够考虑存在的短记忆成分。有几个未来的研究方向可以改进当前的工作。实证研究中经常出现缺失的观察结果，例如，因为正在考虑等距的时间序列，或者因为在节假日期间没有记录股票价格，尽管潜在价值因外部事件而发生变化。对于观测驱动模型（如此处考虑的气体模型）中的缺失观测，没有简单的解决方案。然而，通过考虑Blaskes et al.（2018）的结果，目前的工作可以扩展到具有缺失值的文本，Blaskes et al.（2018）使用间接推理方法复制时间序列的生成过程。不同的研究方向可能涉及日内高频数据的可用性，这导致使用已实现的方差度量来改进波动性预测，如本文所述，波动性预测传统上基于每日收益的转换。由于已实现方差度量具有比平方日收益更强的长记忆性（Andersen et al.，2001），因此有兴趣探索如何在我们的建模框架中利用这一点，也可能使用Lucas和Opschoor（2016）中的分数积分动力学。

从更理论的角度来看，需要与气体模型最大似然估计量的一致性和渐近正态性的结果建立更紧密的联系（Blasqueset al.，2014a，b，2018）。7附录使用方程式（4），我们发现νj（dt）=πj（dt）dt=-dt公司-Γ（j- dt）Γ（1- dt）Γ（j+1）+Γ（1- dt）Γ（j+1）Γ（j- dt）（Γ（1- dt）Γ（j+1））-Γ（j- dt）Γ（1- dt）Γ（j+1）=-dtΓ（j- dt）Γ（1- dt）Γ（j+1）-Γ（j- dt）Γ（j- dt）+Γ（1）- dt）Γ（1-dt）+dt= πj（dt）-ψ（j- dt）+ψ（1）-dt）+dt,其中，ψ（·）=Γ（·）/Γ（·）是digamma函数。因此：t=-σyt+t-1Xj=1πj（dt）yt-jt型-1Xj=1πj（dt）dtyt公司-j= -σyt+t-1Xj=1πj（dt）yt-jt型-1Xj=1νj（dt）yt-j.现在，请注意：πj（dt）dt=νj（dt）-ψ（j- dt）+ψ（1）-dt）+dt+ πj（dt）ψ（j- dt）- Ψ(1 - dt）-dt公司.因此，我们发现-1= -Et公司-1.t型dt公司=σEt-1.t型-1Xj=1νj（dt）yt-j+yt+t-1Xj=1πj（dt）yt-jt型-1Xj=1πj（dt）dtyt公司-j=σt型-1Xj=1νj（dt）yt-j,我们使用Et的地方-1hyt+Pt-1j=1πj（dt）yt-ji=Et-1[t] =0。最后：St=I-1吨-1= σt型-1Xj=1νj（dt）yt-j-2.ReferencesAndersen、T.G.、T.Bollerslev、F.X.Diebold和P.Labys（2001年）。已实现汇率波动的分布。《美国统计协会杂志》96（453），42–55。Beran，J.和N.Terrin（1996年）。测试长内存参数的变化。Biometrika 83，627–638。Bernardo，J.（1979年）。预期信息作为预期实用程序。《统计年鉴》7（3），686–690。Blaskes，F.、P.Gorgi和S.J.Koopman（2018年）。观测驱动的时间序列模型中缺少观测值。廷伯根研究所讨论论文，2018-013/III.Blaskes，F.、P.Gorgi、S.J.Koopman和O.Wintenberger（2018）。观测驱动模型的可行可逆条件和最大似然估计。电子统计杂志12（1），1019–1052。Blaskes，F.、S.J.Koopman和A.Lucas（2014a）。

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