曲线中段定价中的措施变更

在长期和短期掉期利率近似为高斯分布的假设下，长期和短期掉期利率的联合分布的边缘inA（t，Ts，Te）-度量为φs（x）≈ PDFsRs（x）1.-νs+νeρ∑e∑s（十）- R（t、Tx、Ts））,φe（y）≈ PDFeRe（y）1.-ue+usρ∑s∑e（y）- R（t、Tx、Te））.（29）式中，∑e，∑sar为长期和短期掉期利率的波动率：∑e=EA（Tx，Te）（y）- R（t、Tx、Te））, ∑s=EA（Tx，Ts）（十）- R（t、Tx、Ts））.证明：在假设多头和空头掉期利率近似高斯的情况下，我们可以将y投影到x上，如：EA（Tx，Ts）[y | x]=EA（Tx，Ts）[R（Tx，Tx，Te）| R（Tx，Tx，Ts）=x]=EA（Tx，Ts）[R（Tx，Tx，Te）]+ρ∑e∑s（x- R（t，Tx，Ts））。（30）我们可以评估A（Tx，Ts）[Gs，Tx | R（Tx，Tx，Ts）=x]=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Ts）1.-νs+νeρ∑e∑s（十）- R（t、Tx、Ts））,这导致了第一个边缘的表达。同样，我们推导出了第二个边缘的表达式。将R（t，Tx，Te）与φe（y）积分，并将R（t，Tx，Ts）与φs（y）积分。如果长速率和短速率近似为高斯，则权重w（y，x）和w（y，x）的线性近似导致：^R（t，Tx，Te）=EA（Ts，Te）[R（Tx，Tx，Te）]=R（t，Tx，Te）- （ue∑e+usρ∑s）∑e，^R（t，Tx，Ts）=EA（Ts，Te）[R（Tx，Tx，Ts）]=R（t，Tx，Ts）- （νs∑s+νeρ∑e）∑s.（31）在实践中，可以方便地从（26）中计算▄R（t，Tx，Ts）和从（28）中计算▄R（t，Tx，Ts）。这可以通过在相对于（Ts，Te）测量的预期中匹配w（y，x）Ge，Tx=1和w（y，x）Gs，Tx=1来实现。引理4。如果长速率和短速率近似为高斯速率，则权重w（y，x）和w（y，x）的线性近似导致：▄R（t，Tx，Te）=EA（Tx，Te）[R（Tx，Tx，Te）]=R（t，Tx，Te）- （ue∑e+usρ∑s）∑e+（νe∑e+νsρ∑s）∑e，￠R（t，Tx，Ts）=EA（Tx，Ts）[R（Tx，Tx，Te）]=R（t，Tx，Ts）- （νs∑s+νeρ∑e）∑s+（us∑s+ueρ∑e）∑s。

（32）因此，为了给中曲线掉期期权定价，我们只需要（24）中的两个额外参数σean和σsf。在高斯copula模型中，通过（17）、（21）、（22）、（29）和（31），结合掉期利率分布PDFsRs（x）、PDFeRe（y）以及它们之间的相关性，σ和σ分别确定曲线中掉期期权价格。对数线性近似：一阶近似不能立即防止权重系数w（y，x）和w（y，x）变为负值。这可以通过对w（y，x）的指数近似来解决：w（y，x）-1=Gs，Tx=αse-νe（y-R（t、Tx、Te））-νs（x-R（t，Tx，Ts）），（33），其中▄R（t，Tx，Te）=EA（Tx，Ts）[R（Tx，Tx，Te）]（34）用于强调Gs，Tx和R（t，Tx，Ts）是A（t，Tx，Ts）-鞅。关系w（y，x）- w（y，x）=1允许我们从w（y，x）恢复w（y，x）。如果我们假设长利率和短利率近似为高斯，我们可以计算效率α。让我们把y投影到x上，作为：EA（Tx，Ts）[y | x]=EA（Tx，Ts）[R（Tx，Tx，Te）| R（Tx，Tx，Ts）=x]=EA（Tx，Ts）[R（Tx，Tx，Te）]+ρ∑e∑s（x- R（t，Tx，Ts）），（35）因此-R（t，Tx，Te）=p1- ρ∑ez+EA（Tx，Ts）[y- R（t，Tx，Te）| x]=p1- ρ∑ez+ρ∑e∑s（x- R（t，Tx，Ts））。（36）带z~ N（0，1）。根据这个假设，我们有ea（Tx，Ts）[Gs，Tx]=αseνe（1-ρ） ∑e/2e（（νs∑s+νeρ∑e）/2）=αse（νe∑e+2ρνeνs∑e∑s+νs∑s）/2=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Ts）。αs=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Ts）e-（νe∑e+2ρνeνs∑e∑s+νs∑s）/2。（37）我们现在可以评估a（Tx，Ts）[Gs，Tx | R（Tx，Tx，Ts）=x]=αsEA（Tx，Ts）he-νe√1.-ρ∑ezie-（νs+νeρ∑e∑s）（x-R（t，Tx，Ts））=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Ts）e-（ρνe∑e+νs∑s）e-（νs+νeρ∑e∑s）（x-R（t，Tx，Ts））（38）这导致下一个结果：引理5。如果长速率和短速率近似为高斯，则权重w（y，x）φs（x）的对数线性近似≈ PDFsRs（x）e-（ρνe∑e+νs∑s）e-（νs+νeρ∑e∑s）（x-R（t，Tx，Ts）），^R（t，Tx，Ts）=EA（Ts，Te）[R（Tx，Tx，Ts）]=R（t，Tx，Ts）- （νs∑s+νeρ∑e）∑s。

（39）使用关系w（y，x）- w（y，x）=1我们可以通过数值积分重构Ge，txb。相反，为了得到精度较低但更易于处理的公式，我们计算了Ge，Txas的一个指数鞅：w（y，x）-1=Ge，Tx=αee-ue（y-R（t、Tx、Te））-us（x-R（t，Tx，Ts）），其中▄R（t，Tx，Ts）=EA（Tx，Te）[R（Tx，Tx，Ts）]。（40）与（37）类似，我们得到αe=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Te）e-（ue∑e+2ρueus∑e∑s+us∑s）/2，（41）EA（Tx，Te）[Ge，Tx | R（Tx，Tx，Te）=y]=αeEA（Tx，Te）he-us√1.-ρ∑szie-（ue+usρ∑s∑e）（y-R（t，Tx，Te））=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Te）e-（ρus∑s+ue∑e）e-（ue+usρ∑s∑e）（y-R（t，Tx，Te））。（42）与引理5相似，我们推导出：引理6。如果长速率和短速率近似为高斯，则权重w（y，x）的指数近似结果为：φe（y）≈ PDFeRe（y）e-（ρus∑s+ue∑e）e-（ue+usρ∑s∑e）（y-R（t，Tx，Te）），^R（t，Tx，Te）=EA（Ts，Te）[R（Tx，Tx，Te）]=R（t，Tx，Te）- （ue∑e+usρ∑s）∑e.（43）在权重的对数线性近似中，我们可以通过观察w（y，x）和w（y，x）是（t，Ts，Te）鞅来明确计算（40）中的▄R（t，Tx，Ts）和（34）中的▄R（t，Tx，Te）。我们发现，与线性情况类似：~R（t，Tx，Ts）=R（t，Tx，Ts）- （νs∑s+νeρ∑e）∑s+（us∑s+ueρ∑e）∑s，w（y，x）=A（t，Tx，Te）A（t，Ts，Te）e-（ue∑e+2ρueus∑e∑s+us∑s）/2××eue（y-^R（t，Tx，Te））+us（x-^R（t，Tx，Ts）），（44）和▄R（t，Tx，Te）=R（t，Tx，Te）- （ue∑e+usρ∑s）∑e+（νe∑e+νsρ∑s）∑e.w（y，x）=A（t，Tx，Ts）A（t，Ts，Te）e-（νe∑e+2ρνeνs∑e∑s+νs∑s）/2××eνe（y-^R（t，Tx，Te））+νs（x-^R（t，Tx，Ts））。（45）对于Gs、TX和Ge，TX的这些指数近似值，我们将选择参数νe、νs、ue和usto minimisea（Ts，Te）（w（y，x）-w（y，x））（46）在A（t，Ts，Te）-测量中。

将挥发度∑e、∑swe扩展到二阶，只要参数ue、us、νean和ν与（24）中的参数相关，通过以下方式：us=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Te）σs，ue=A（t，Ts，Te）A（t，Ts，Te）σe，νs=A（t，Ts，Te）σs，νe=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Ts）σe，（47）w（y，x）的方差-w（y，x）在∑e，∑s的二阶之前为零，即：w（y，x）-w（y，x）≈ 1+o（∑e，∑s）。（48）与线性情况一样，为了给曲线中间掉期期权定价，我们只需要（47）中的两个额外参数σean和σsf。通过引理5和引理6.3估计参数σeand和σ以及一些数值结果，结合掉期利率分布pdfsr（x）和PDFeRe（y），它们之间的相关性σeand和σsun通过（17），（44），（45）确定高斯copula模型中的中曲线期权价格。（24）中针对线性近似和（47）中针对对数线性近似得出的参数σean和σsin与互换年金比率和swap利率之间的协方差相关，viaCovA（Tx，Te）hA（Tx，Ts，Te）A（Tx，Tx，Te），R（Tx，Tx，Te）i=-A（Tx，Ts，Te）A（Tx，Tx，Te）σe∑e+σsρ∑e∑s,CovA（Tx，Ts）hA（Tx，Ts，Te）A（Tx，Tx，Ts），R（Tx，Tx，Ts）i=-A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Ts）σeρ∑e∑s+σs∑s. （49）（49）左侧的协方差可以根据历史数据或使用[3]中建议的方法进行估计。在文献[3]中，作者使用年金互换率方面的扩展来模拟CMS索赔对波动率的依赖性以及互换率的相关性，而不是基础CMS利率的微笑。这些方法可以立即适应我们的情况。使用[3]中的非线性年金映射和单个随机驱动因素，首先我们将所有掉期利率R（t，Tx，Ti），i=1。

e、 随机驱动因素Y~ N（0，1）在长交换率R（Tx，Tx，Te）之后：1+τiRi（Tx，Tx，Ti）≈ （1+τiRi）eui+νiY，Ri=EA（Tx，Ti）[R（t，Tx，Ti）]，（50）通过交换率R（Tx，Tx，Ti）的方差∑iof及其相关性ρe，i与长交换率R（Tx，Tx，Te）通过νi≈τi1+τiRiρe，i∑i，（51）和ujd从aj=ETx[A（Tx，Tx，Tj）]=jXi=1τiexp递归确定（使用Tx正向测量）-jXk=iuk+jXk=iνk！jYk=i1+τkRk。（52）在此参数化范围内，年金A（Tx，Tx，Te）和A（Tx，Tx，Ts）由[3]给出：A（Tx，Tx，Te）=eXi=1τiexp-eXk=i（uk+νkY）！eYk=i1+τkRk，A（Tx，Tx，Ts）=sXi=1τiexp-sXk=i（uk+νkY）！sYk=i1+τkRk。（53）线性化比率（A（Tx，Tx，Te）-A（Tx，Tx，Ts）/A（Tx，Tx，Te）关于Y，我们估计（49）中第一个方程的左侧。对短速率R（Tx、Tx、Ts）和相应的驱动器X重复相同的步骤~ N（0，1），我们估计（49）中第二个方程的左侧。我们通过对二维阿尔高斯copula进行蒙特卡罗积分进行了数值实验，以估计曲线中swaption的隐含相关性。为了简化系数σean和σsalong的计算，我们研究了y的情况→ 1y1y中期曲线，其中掉期期权在一年后到期，持有人有权在到期后一年（相当于从现在起两年）开始进行一年期掉期。我们假设所有掉期利率的支付频率都是年度的，即所有应计分数τi=1。我们设定1年期短期掉期利率为2.631%，正常波动率为60.00个基点，2年期长期掉期利率为2.2347%，正常波动率为64.18个基点。

我们选择长期和短期掉期利率之间的相关性为80%。计算【3】，如本节开头所述→ 1y1y年中曲线（每年支付息票）比一般情况下更容易，我们可以使用年金的分析表达式，仅根据长期和短期掉期利率来估计参数σe和σ的指示水平。我们发现σeto接近2.0，σsto接近-1.0。图1：中曲线1y→1y1y，远期掉期（ATM）利率1.8294%，短期掉期利率正常，第60个基点，长期掉期利率正常，第64.18个基点，浮动利率，掉期利率相关性80%，σe=2，σs=-1、在无波动率微笑的假设下，我们从蒙特卡罗积分评估的曲线中互换期权价格中推断出了strike相关性。从图1中，我们可以看到，即使在长期和短期掉期利率的浮动隐含波动率的情况下，随机年金比率假设也会导致中曲线隐含相关性的偏差。结论我们建立了一个一致的曲线中互换期权定价模型，该模型明确说明了年金比率的仓促性。它给出了相关偏差的处理方法，这通常是通过罢工相关来管理风险的。后一种方法并非无套利。我们的论文与[3]有一个共同的想法，因此，根据书籍的大小，本文提出的模型可用于交易少量曲线中产品，并了解其线性回归系数σeand和σs的相关风险，或者，该模型可以通过对所有掉期利率波动率及其所有成对相关性的相关性风险进行全面预测，用于管理大额掉期期权和CMS产品的风险。电子邮件地址：kostyafeldman@gmail.com.References[1] Caron，J.A.、McGraw，W.J.和Stipanov，J.D.2009年。

用于计算波动率携带度量的系统和方法。摩根士丹利研究公司，http://patents.justia.com/patent/7958036.[2] Andersen，B.G.和Piterbarg，V.V.2012年。利率建模。第2卷：术语结构模型。大西洋金融出版社。[3] Cedervall，S.和Piterbarg，V.2012。CMS：覆盖所有基础。风险三月，64-69。[4] Breeden，D.和Litzenberger，R.1978年。国家未定权益价格隐含操作价格。《商业杂志》51621-651。[5] Andersen，B.G.和Piterbarg，V.V.2012年。利率建模。第3卷：产品和风险管理。大西洋金融出版社。