曲线中段定价中的措施变更

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英文标题：
《Change of Measure in Midcurve Pricing》
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作者：
K.E. Feldman
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We derive measure change formulae required to price midcurve swaptions in the forward swap annuity measure with stochastic annuities\' ratios. We construct the corresponding linear and exponential terminal swap rate pricing models and show how they capture the midcurve swaption correlation skew.
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中文摘要：
我们推导了在具有随机年金比率的远期掉期年金测度中，为曲线中掉期期权定价所需的测度变化公式。我们构建了相应的线性和指数终端掉期利率定价模型，并展示了它们是如何捕捉中间曲线掉期期权相关性偏斜的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：Quantitative Mathematical mathematica QUANTITATIV correlation

中曲线PricingK中的测量值变化。E、 FeldmanAbstractWe推导了在具有随机年金比率的正向掉期年金测度中，为曲线中掉期期权定价所需的测度变化公式。我们构建了相应的线性和指数终端掉期利率定价模型，并展示了它们是如何捕捉中间曲线掉期期权相关性偏斜的。简介利率掉期是一种具有三角形属性的金融工具。TwoSwap Stt、Sttbetween times tand和between times tand的值等于swap Sttbetween times tand的值（我们假设所有三种掉期都具有相同的固定支腿走向）。等价地，我们可以说，掉期交易是指长期掉期交易和短期掉期交易之间的差异。为了表达对未来掉期利率的看法，利率市场积极交易掉期期权，即掉期期权。Swaptions arenon线性产品。交换的三角形性质通过包含凸性而推广到交换的性质。短期掉期中的普通掉期期权组合和长期掉期中的期权（曲线中掉期期权）的价格比长期掉期期权的价格更高（当行权相同，所有期权的行使时间相同时，t-短期和长期掉期的开始）。如果在Black-Scholesworld中，我们还假设长期和短期年金与中曲线WAP年金的比率是确定的，那么从掉期三角可以推导出三种掉期利率波动率的有用关系。当我们研究这些利率的波动微笑（倾斜）之间的关系时，挑战就来了。

在本文中，我们讨论了曲线中掉期期权定价的建模方法，该方法允许我们考虑掉期年金的仓促性，并产生曲线中掉期期权市场中通常观察到的显著相关性偏差。中间曲线掉期期权是交易短期和长期掉期利率之间相关性的有效方法。其他人也使用该产品来交易短期和长期隐含波动率水平之间的差异【1】。作为远期波动率的最简单产品，中曲线互换期权可用于校准单因素短期利率模型中的均值回归参数【2】。利率市场的丰富结构提供了两种建模中端互换期权价格的方法。该产品可以动态查看，并通过模拟基础掉期利率的时间演变来定价，也可以静态查看，其价格可以从密切相关的产品（市场上交易的长期和短期掉期期权）的价格中得出。我们将通过将互换的三角形属性推广到互换期权的情况，来研究曲线中互换期权的静态定价方法。中间曲线掉期期权可以在同一结算日的短期和长期掉期利率加权篮子上作为期权定价。权重系数是互换年金比率的函数。行业标准是将这些比率冻结为常数。将相关性作为输入参数，通过copula将短期和长期swaprate分布配对，可以对加权篮子进行定价。一些人使用更先进的模型来解释年金比率的随机性。

大型银行采用的方法是首先将短期和长期掉期利率分布移动到相同的终端（贴现债券）度量，然后通过相应（短期或长期）掉期利率的确定函数来近似每个短期和长期年金。这是一个扩展的想法[3]，作者开发了一个模型，该模型将恒定到期掉期与所有相关期限掉期期权的波动性直接联系起来。请注意，中间曲线交换选项不在[3]的范围内。该产品在美元市场进行流动交易，结算方式为实物结算。因此，该产品的自然定价指标是年金指标。虽然允许更好地管理曲线中相关性偏斜的风险，但终端测量方法可以避免不一致性。在本文中，我们表明，一旦你提取了年金比率的随机形式，衡量标准的变化就不再是免费的。我们根据年率的函数形式导出了测度变化的显式公式。最终计量法的另一个缺陷是年金的负比率。本文建立的指数型终端掉期利率模型通过构造不存在这个问题。我们详细分析了年金比率是短期和长期掉期利率的线性或指数函数的情况下的测度变化公式。曲线中段互换期权的价格通常通过其隐含相关性作为打击的函数来参数化。即使我们使用的模型能够很好地捕捉到多头和空头掉期利率的隐含波动率微笑，隐含相关性仍然不是一个不变的罢工函数。

本文建立的随机年金的终端掉期利率模型给出了一个匹配隐含相关偏斜的处理方法。本文研究的效果适用于任何微笑模型。特别是，它存在于波动性世界中。我们提供了数值结果，说明我们的方法如何在基础Swaprate被建模为标准正态变量并带有微笑（即allstrikes波动率中的常数）的情况下捕获曲线中的相关性偏斜。1产品估值a中端接收方掉期期权Wrec=掉期Srec（T（s）start，T（e）nd，K）上的Wrec（Srec，Te（x）piry），具有固定的支腿利率K，持有人可以选择进入接收方掉期Srecatexpiry time Tx，其中掉期开始于Ts，结束于TEAN，并且持有人在由日期序列构成的时间表中的所有期间收到名义上N应计的最终收益K:Tfix，Tfixn=Te，固定分期付款计划中有n个付款日期。反过来，持有人按照浮动利率表中的日期顺序支付浮动利率付款：Tfl，Tflm=Te。我们将使用简短的符号表示每个掉期分支上两次连续付款之间的时间间隔：τfixi=Tfixi-Tfixi公司-1，i=1。n、 τflj=Tflj- Tflj公司-1，j=1。m、 Tfl=Tfix=Ts。为了给掉期期权定价，使用掉期固定分期年金a（t）（t≤ Ts）如anumeraire所示：A（t）=A（t，Ts，Te）=nXi=1τfixiD（t，Tfixi），（1）其中D（t，t）是从t到t的相关贴现债券。我们将交换写为：Srec=NA（t）（K- R（t））=NA（t，Ts，Te）（K- R（t，Ts，Te）），（2）其中R（t）=R（t，Ts，Te）是t处的远期Ts-to-Te掉期利率。

因此，为了对掉期期权Wrec进行定价，我们可以在年率度量中建模R（Tx，Ts，Te）的分布，并计算掉期期权的值：Wrec（t）=A（t）EA[W（Tx）/A（Tx）]=A（t，Ts，Te）NEA[[K- R（Tx，Ts，Te）]+]，（3）其中，EAdenotes中的上标用数字A（t）表示年金计量。R（t，t，t）的分布可以从掉期期权市场中推断出来，当ert=t时。我们主要关注以下两个随机变量的分布：Rs=R（Tx，Tx，Ts），Re=R（Tx，Tx，Te），（4）其中R（Tx，Tx，Ts）和R（Tx，Tx，Te）是相应的“短期”和“长期”掉期的掉期利率。根据【4】并使用（3）概率密度函数PDF，在相应的年率测量中J=s或e的掉期利率R（Tx，Tx，TJ）的分布由Pdfjrj（R）=A（t，Tx，TJ）·N给出Wrec（t）K | K=r，（5），其中，对swaptionWrec（Srec（Tx，TJ，K），Tx）的走向K取导数。（6） 在（3）提供的定价方法中，卢比、里尔的分配在相应的年金措施中规定：A（t，Tx，Ts），A（t，Tx，Te）。我们感兴趣的交换率R（Tx，Ts，Te）可以表示为R（Tx，Ts，Te）=w·Re- w·Rs，（7），其中w=A（Tx，Tx，Te）A（Tx，Ts，Te）w=A（Tx，Tx，Ts）A（Tx，Ts，Te）。（8） 因此，代表基础掉期利率的随机变量R（Tx、Ts、Te）与代表多头和空头掉期利率的随机变量的随机系数相差很大。请注意，这三个随机变量SAS=A（Tx，Tx，Ts），Ae=A（Tx，Tx，Te），Au=A（Tx，Ts，Te）（9）与A（Tx，Ts，Te）=A（Tx，Tx，Te）相关- A（Tx、Tx、Ts）。（10） 我们将根据R（Tx，Tx，Te）、R（Tx，Tx，Ts）的分布及其相关性对掉期利率R（Tx，Ts，Te）的分布进行建模。

为了做到这一点，我们需要报告对应于A（t，Tx，Ts）、A（t，Tx，Te）和A（t，Ts，Te）的三项年金措施。（t，Tx，TJ）度量，J=s，e，和（t，Ts，Te）度量之间的度量变化的Radon-Nikodym导数可以使用以下等式重建：V（t）=A（t，Tx，TJ）EA（Tx，TJ）V（t）A（t，Tx，TJ）= A（t，Ts，Te）EA（Ts，Te）V（t）A（t，Ts，Te）, （11） 式中，V（t）是交易证券的价格（这是未来任何时间的随机变量）。在可实现索赔和计量变化的标准假设下，方程式（11）意味着对于任何随机过程Xt，它是掉期利率R（Tx，Tx，TJ）的函数，EA（Ts，Te）[Xt]=EA（Tx，TJ）XtA（t，Tx，TJ）A（t，Tx，TJ）·A（t，Ts，Te）A（t，Ts，Te）. （12） 数量gj，Tx=A（Tx，Ts，Te）A（Tx，Tx，TJ）（13）本身就是一个随机变量。我们假设其与swaprates R（Tx，Tx，Ts）和R（Tx，Tx，Te）PDFJGJ，Rs，Re（gJ，x，y）具有联合分布，其中变量gJ用于表示gJ，Tx的随机值，变量x用于表示R（Tx，Tx，Ts）的随机值，变量y用于表示R（Tx，Tx，Te）的随机值。引理1。

与中曲线掉期期权的基础掉期年金AU相关的度量（u）中短期和长期掉期利率联合分布的边际φs（x）和φe（y）的度量变化公式为：φs（x）：=PDFuRs（x）=Z+∞-∞Z+∞-∞PDFuRu，Rs，Re（z，x，y）dzdy==PDFsRs（x）A（t，Tx，Ts）A（t，Ts，Te）EA（Tx，Ts）[Gs，Tx | R（Tx，Tx，Ts）=x]（15）φe（y）：=PDFuRe（y）=z+∞-∞Z+∞-∞PDFuRu，Rs，Re（z，x，y）dzdx==Pdferre（y）A（t，Tx，Te）A（t，Ts，Te）EA（Tx，Te）[Ge，Tx | R（Tx，Tx，Te）=y]（16）因此，考虑到Reand rSi在其自然（年金）度量中的PDF，我们可以在我们可以评估A（Tx，Te）[Ge，Tx | R（Tx，Tx，Te）=y]和EA（Tx，Ts）[Gs，Tx | |R（Tx，Tx，Ts）=x]。为了评估曲线中段掉期期权的收益，我们将假设（13）中的短期变量GJ、Tx、J=e、s是掉期利率Sr（Tx、Tx、Ts）和R（Tx、Tx、Te）的确定函数。支付的积分公式为：Wrec（t）A（t，Ts，Te）·N=EA（Ts，Te）[K]- R（Tx、Ts、Te）]+== EA（Ts、Te）EA（Ts、Te）[K]- R（t，Ts，Te）]+| Rs=x，Re=y== EA（Ts，Te）EA（Ts、Te）[K]-A（Tx，Tx，Te）A（Tx，Ts，Te）Re+A（Tx，Tx，Ts）A（Tx，Ts，Te）Rs）+Rs=x，Re=y= EA（Ts、Te）EA（Ts、Te）[K]- w（y，x）y+w（y，x）x]+| Rs=x，Re=y==Z+∞-∞Z+∞-∞EA（Ts、Te）[K]- w（y，x）y+w（y，x）x]+| Rs=x，Re=y××PDFuRu，Rs，Re（z（x，y），x，y）dxdy==z+∞-∞Z+∞-∞[K]- w（y，x）y+w（y，x）x]+PDFuRs，Re（x，y）dxdy，（17）在上一个公式中我们省略了符号z（x，y），因为它完全由x和y决定，因为我们假设GJ，Tx，J=e，s。为了使用（17），我们需要指定权重函数w（y，x）和w（y，x）以及完整的联合分布PDFuRs，Re（x，y）。后者可以使用copulatechnology构造，该技术应用于（15）中的分布φs（x）和（16）中的分布φe（y）。

一种流行的选择是高斯copula：GCJoin（x，y）=φ（u，v，ρ）dudxdvdy，（18），其中φ（u，v，ρ）是两个单变量正态变量的联合正态PDF，相关系数ρ和u=Φ-1【cdfs（x）】，v=Φ-1[cdfe（y）]，（19）其中Φ是一元正态变量的CDF，cdfs（x），cdfe（y）是对应于（15）中的pdfsφs（x）和（16）中的φe（y）的CDF。2一阶近似（12）中测量变化的Radon-Nikodym导数和（17）中的支付取决于年金A（t，Tx，Ts）和A（t，Tx，Te）的比率。因此，通过（17）使用copulavaluation可以很好地模拟年金比率的动态。TerminalSwap利率模型方法为年金比率的动态建模提供了一种方便的方法。它涵盖了比率的零阶和一阶近似值。我们将在下面讨论相应的近似值。确定性年金比率：假设（15-16）中的条件期望独立于各自的变量x和y（例如，我们可以认为GJ、Tx、J=e、sfrom（13））是确定性的）。然后in（15）φs（x）≡ PDFsRs（x）和in（16）φe（y）≡ PDFeRe（y），即无需更改测量值，且w（y，x）=G-1e，Tx=A（t，Tx，Te）A（t，Ts，Te），w（y，x）=G-1s，Tx=A（t，Tx，Ts）A（t，Ts，Te）。

（20） 这正是[5]中使用的恒定年金比率假设，用于通过高斯copula对曲线中互换期权进行定价。线性近似：我们可以线性近似（17）asw（y，x）=G中的权重-1e，Tx==A（t，Tx，Te）A（t，Ts，Te）（1+ue（y-^R（t，Tx，Te））+us（x-^R（t，Tx，Ts）），（21）和w（y，x）=G-1s，Tx==A（t，Tx，Ts）A（t，Ts，Te）（1+νe（y-^R（t，Tx，Te））+νs（x-^R（t，Tx，Ts）），（22），其中^R用于强调需要改变度量来评估相应的量，因此^R（t，Tx，Te）=EA（Ts，Te）[R（t，Tx，Te）]，（23）和w（y，x），w（y，x）都是a（Ts，Te）-鞅。w（y，x）中x和y下的等效系数- w（y，x）=1，我们看到，（21）和（22）中线性膨胀的四个系数实际上由两个参数σean和σsasus=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Te）σs，ue=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Te）σe，νs=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Ts）σs，νe=A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Ts）σe.（24）我们将线性近似Ge，Tx=w（y，x）-1和Gs，Tx=w（y，x）-1： 德克萨斯州Ge≈A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Te）（1- ue（y- R（t、Tx、Te））- us（x-~R（t，Tx，Ts）），（25）~R（t，Tx，Ts）=EA（Tx，Te）[R（t，Tx，Ts）]，（26）和GS，Tx≈A（t，Ts，Te）A（t，Tx，Ts）（1- νe（y-R（t、Tx、Te））- νs（x- R（t，Tx，Ts）），（27）~R（t，Tx，Te）=EA（Tx，Ts）[R（t，Tx，Te）]，（28）因此Ge，Txis A（Tx，Te）-鞅和Gs，Txis A（Tx，Ts）-鞅。利用方程（25）-（28），我们导出以下引理：引理2。