系统性风险：条件失真风险度量

设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有相同边缘但不同连接函数C和C′的二元随机向量。然后，C C′和h≤ h′implethtat CoDg，h[Y | X]≤ CoDg，h′[Y′| X′]。项目。Let（U，V）~ C和（U′，V′）~ C′。根据定理3.10，我们得到了CODG，h[Y | X]=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p），CoDg，h′[Y′X′]=ZG-1（F-1V′| U′>ug（p））dh′（p），其中h′（p）=1- h′（1- p） 对于p∈ [0, 1].我们首先表明，CoDg，h[Y | X]≤ CoDg，h【Y′| X′】。因为h在增加，这就减少到表明G-1（F-1V | U>ug（p））≤ G-1（F-1V′| U′>ug（p）），即F-1V | U>ug（p）≤ F-1V′| U′>ug（p）forp∈ (0, 1). 因此，必须表明FV | U>ug（t）≥ 对于t，FV′U′>ug（t）∈ （0，1），即t- C（ug，t）1- ug公司≥t型- C′（ug，t）1- ug，实际上由条件C保证 C′。另一方面，我们可以验证h（0）=h′（0）=0，h（1）=h′（1）=1和h′（p）≤ h（p）因为o f h（p）≤ p的h′（p）∈ [0, 1]. 然后，通过使用分部积分，一个hasCoDg，h[Y′| X′]- CoDg，h′[Y′|X′]=ZG-1（F-1V′| U′>ug（p））d（h（p）- h′（p））=Z（h′（p）- h（p））dG-1（F-1V′| U′>ug（p））≤ 0，这会产生CoDg，h[Y′X′]≤ CoDg，h′[Y′| X′]。因此，证明成立。当g是VaR.推论4.2的畸变函数时，可以很容易地从定理4.1推导出以下结果，不一定需要F=F′。Le t（X，Y）和（X′，Y′）是两个分别具有copulac和C′的二元随机向量。假设G=G′，G（p）=1（1-α、 1]（p），对于某些α∈ (0, 1).然后，C C′和h≤ h′意味着CoDg，h[Y | X]≤ CoDg，h′[Y′| X′]。备注4.3。如果X和X′采用不同的畸变函数，即如果g 6=g′，则定理4.1和协罗拉4.2通常不成立。备注4.4。

在附加假设h（p）=h′（p）=1（1）下-β、 1]（p），推论4.2的结果简化为Mainik和Schaanning（2014）的定理3.4。为了总结这一小节，我们研究了X和X′的阈值分位数以及（X，Y）之间的依赖结构对CoD风险度量的影响。定理4.5。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有共同点和C′的b i变量随机向量。假设G=G′，C C′。设ug=F（Dg[X]），ug′=F′（Dg′[X′））。然后CoDg，h[Y | X]≤ CoDg′，h′[Y′| X′]如果h≤ h′，以下两个条件之一成立：（i）ug≤ ug′和Y↑RTIX或Y′↑RTIX′或两者均保持；（二）ug≥ ug′和Y↑RTDX或Y′↑RTDX′或两者均保持。项目。我们只提供（i）的证据。（ii）的证明可以以类似的方式建立。我们假设ug≤ ug′和Y↑RTIX（其他两种情况类似）。设U=F（X），V=G（Y）。根据定理3.10，我们有CODG，h[Y | X]=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p）。通过利用变量p=FV | U>ug（t）的变化，我们得到了codg，h[Y | X]=ZG-1（t）dhF-1V | U>ug（t）=ZG公司-1（t）dht型- C（ug，t）1- ug公司=ZG公司-1（t）dh（Aug（t）），其中Aug（t）=1-C（ug，t）1-ug。类似地，通过让U′=F′（X′）和V′=G′（Y′），我们得到了codg′，h′[Y′X′]=ZG′-1（t）dh′（Aug′（t）），其中Aug′（t）=1-C′（ug′，t）1-ug′。由于G=G′，h′（Aug′（0））=h（Aug′（0））=0，h′（Aug′（1））=h（Aug′（1））=1，我们有CODG′，h′[Y′X′]- CoDg，h【Y | X】=ZG-1（t）dhh′（8月′（t））- h（Aug（t））i=Zhh（Aug（t））-h′（Aug′（t））idG-1（t）。（4） 为了显示（4）的非负性，必须显示h（Aug（t））≥h′（Aug′（t）），对于所有t∈ [0 , 1 ]. 自h起≤ h′，一个散列（Aug（t））≥h′（Aug（t）），对于所有t∈ [0, 1]. 因此，我们不能证明h′（Aug（t））≥h′（Aug′（t）），对于所有t∈ [0，1]，即C′（ug′，t）1- ug′≥C（ug，t）1- ug。（5） 考虑到C C′，我们有C′（ug′，t）1- ug′≥C（ug′，t）1- ug′。

（6） 因此，如果我们可以证明C（ug′，t）1，那么通过使用（6），（5）可以建立- ug′≥C（ug，t）1- ug。（7） 自ug起≤ ug′和Y↑RTIX，它认为C（ug′，t）1- ug′=P（V>t | U>ug′）≥ P（V>t | U>ug）=C（ug，t）1- ug证明了（7），从而得到了预期的结果。定理4.5指出，如果X和Y完全正[负]相关↑RTI【RTD】X，则风险Y采用的畸变函数越大，copula的一致性越高，再加上风险X采用的阈值分位数越大【越小】，导致CoD风险度量值越大。备注4.6。设（X，Y）为具有copula C.Suppos e thath的二元随机m向量≤ g和Y↑RTDX。然后，根据定理4.5（ii），我们得到了CoDg，h[Y | X]≤CoDh，g[Y | X]。这表明，如果通过RTD，Y与X呈负相关，则Y的畸变函数越大，X的畸变函数越小，则CoD风险度量值越大。备注4.7。设（X，Y）和（X′，Y）是两个具有相同C的二元随机向量。假设h=h′，并且（i）ug≤ ug′和Y↑RTIX或Y↑RTIX′或ho l d，或（ii）ug≥ ug′和Y↑RTDX或Y↑RTDX′或两者均保持。那么Theorem4.5意味着CoDg，h[Y | X]≤ 所有h的CoDg′，h[Y | X′]∈ G

该结果表明，如果Y通过RTD与X（和/或X′）呈正[负]依赖关系，且X的阈值分位数比X的阈值分位数小[大]，则X′与Y的相关性大于X，这与Daene等人（2018）定义12中提出的系统相关性顺序一致。4.2 Ri s ks Y和Y′在本小节中有不同的分布，当Y和Y′具有不同的d.f.时，我们给出了两个二元随机向量（X，Y）和（X′，Y′）的CoD风险度量的依赖结构和失真函数的充分条件。Sordo和Ramos（200 7）提供了常用随机序和递增凸序的有用表征，如下所示。以类似的方式，我们可以给出递增凹阶的一个等价刻画。引理4.8。设X和Y分别是两个r.v\'s和d.f\'s f和G。那么，X≤st[icx，icv]Y当且仅当ifZF-1（t）dφ（t）≤ZG公司-1（t）dφ（t），对于所有增量g[增加凸x，增加凹]φ：[0，1]→ [0, 1].项目。Sordo和Ramos（2007）给出了常见随机序和递增凸序的证明。我们只证明了递增凹阶的特征。假设X≤伊维。根据定理4。A、 1 inShaked和Shanthikumar（2007），我们知道X≤icvY相当于-十、≥icx公司-Y然后，通过使用递增凸阶的等价刻画，可以得出-十、≥icx公司-Y<==>采埃孚-1.-X（t）dφ（t）≥采埃孚-1.-Y（t）dφ（t），对于所有递增凸φ：[0，1]→ [0, 1 ]. 请注意ZF-1.-X（t）dφ（t）=-采埃孚-1(1 - t） dφ（t）。因此，我们有X≤icvY公司<==> -十、≥icx公司-Y<==>采埃孚-1(1 - t） dφ（t）≤ZG公司-1(1 - t） dφ（t），即x≤icvY公司<==>采埃孚-1（t）dψ（t）≤ZG公司-1（t）dψ（t），其中ψ（t）：=1- φ(1 - t） 在[0，1]上增加且凹。

因此，建立了proo f。接下来，对于两个给定的随机向量（X，Y）和（X′，Y′），我们根据Y和Y′的边缘d.f.的随机顺序、特殊的copula和依赖结构以及它们的CoD风险度量的失真函数来给出有效条件。定理4.9。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有共同点a和C′的b i变量随机向量。假设F=F′，C C′、a和h≤ h′。（i） 假设X↑SIY或X′↑SIY′或两者都是ho l d.然后，Y≤st[icx]Y′表示CODG，h[Y | X]≤ CoDg，任意g的h′[Y′| X′]∈ G和增量G[增加凹面]h，h′∈ G、 （ii）假设X↑SDY或X′↑SDY′或两者都保持。然后，Y≤Ivy′意味着CodG，h[Y | X]≤ CoDg，任意g的h′[Y′| X′]∈ G和增量G凸h，h′∈ G、 项目。我们只给出了Y与Y′之间的增凸序的证明。利用引理4.8，可以以类似的方式得到常见随机序和递增凹序的证明。此外，我们只考虑X的情况↑SIY，因为X′的proo f可以类似地执行↑SIY′。设U=F（X），V=G（Y）。根据定理3.10，我们有CodG，h[Y | X]=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p）。通过利用变量p=FV | U>ug（t）的变化，我们得到了codg，h[Y | X]=ZG-1（t）dh（A（t）），（8），其中A（t）=1-C（ug，t）1-ug。注意A（t）在t中是递增的和凸的∈ [0，1]sincedA（t）dtsgn=-C（ug，t）t=P（U>ug | V=t）为非负且在t中增加∈ [0，1]因为↑SIY公司。另一方面，很容易验证，由于h的凹度增加，h也增加了凸度。因此，我们知道h（A（t））在t中增加了且凸∈ [0, 1].类似地，通过F=F′，我们可以得到CODg，h′[Y | X]=ZG′-1（t）dh′（B（t）），其中B（t）=1-C′（ug，t）1-ug。理想的结果归根结底是显示出thatZG-1（t）dh（A（t））≤ZG′型-1（t）dh′（B（t））。

（9） 一方面，通过使用引理4.8，Y≤icxY′意味着thatZG-1（t）dh（A（t））≤ZG′型-1（t）dh（A（t））。（10） 另一方面，C C′表示A（t）≥ B（t）和thush（A（t））≥ h（B（t））≥h′（B（t））自h起≤ h′。因为h（A（0））=h′（B（0））=0和h（A（1））=h′（B（1））=1，所以wethen haveZG′-1（t）dh（A（t））- h′（B（t））=Zh′（B（t））- h（A（t））dG′-1（t）≤ 0，表示thatZG\'-1（t）dh（A（t））≤ZG′型-1（t）dh′（B（t））。（11） 在组合（10）和（11）时，建立期望结果（9）。备注4.10。Dhaene et al.（2018）的定义2从凸序递增的角度定义了系统贡献序。更明确地说，考虑损失市场Z、相应的微观审慎监管R和总剩余损失水平s∈ R≥0、个人损失ZJI被称为“系统贡献顺序较小”（以Zj表示≤（右、右）-conZk）低于微观审慎监管下的个人损失ZK，以及总损失水平s，如果“（Zj- Rj）+nXi=1（Zi- Ri）+>s#≤icx“（Zk- Rk）+nXi=1（Zi- Ri）+>s#。根据定理4.9（i），如果X=X′=Pni=1（Zi- Ri）+，Y=（Zj- Rj）+，Y′=（Zk- Rk）+，C=C′，h=h′，Pni=1（Zi- Ri）+↑SI（Zj- Rj）+orPni=1（Zi- Ri）+↑SI（Zk- Rk）+或两者都保持，然后（Zj- Rj）+≤icx（Zk- Rk）+表示CODG，h“（Zj- Rj）+nXi=1（Zi- Ri）+#≤ CoDg，h“（Zk- Rk）+nXi=1（Zi- Ri）+#，对于所有凹面h，其中h与定义Zj一致≤（右、右）-CONZK当收入=Dg[Pni=1（Zi- Ri）+]。当g对应于VaR.推论4.11的畸变函数时，可以从定理4.9中得出以下结果，不一定需要F=F′。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有g copulasC a和C′的二元随机向量。假设g（p）=1（1-α、 1]（p），C C′、a和h≤ h′。（i） 假设X↑SIY或X′↑SIY′或两者都是ho l d.然后，Y≤st[icx]Y′表示CODG，h[Y | X]≤ CoDg，h′[Y′| X′]对于任何增加的[增加的凹面]h，h′∈ G、 （ii）假设X↑SDY或X′↑SDY′或两者都保持。

然后，Y≤Ivy′意味着CodG，h[Y | X]≤ 对于任何递增凸h，h′，CoDg，h′[Y′| X′]∈ G、 备注4.12。在特殊情况下，h（p）=h′（p）=min{1，p1-β} ，推论4.11（i）的结果简化为Sordo等人（2018）的定理12。下一个结果将定理4.9推广到X和X′的不同d.f′的情况，其中我们可以通过要求f（Dg[X]）来替换条件“f=f′”≤ F′（Dg′[X′]）。定理4.13。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是包含copulac和C′的两个二元随机向量。假设C C′，h≤ h′，和ug≤ ug′，其中ug=F（Dg[X]），ug′=F′（Dg′[X]）。（i） 假设（X，Y）或（X′，Y′）或两者都是PD。然后，Y≤st[icx]Y′表示CODG，h[Y | X]≤ CoDg′，h′[Y′| X′]对于任何增加的[折痕凹面]h，h′∈ G、 （ii）假设（X，Y）或（X′，Y′）或两者都是NDS。然后，Y≤Ivy′意味着CodG，h[Y | X]≤ CoDg′，h′[Y′| X′]对于任何递增的conv X h，h′∈ G、 项目。注意，如果（X，Y）是PDS[NDS]，那么X↑SI【SD】Y和Y↑SI【SD】X。然后，通过将定理4.5和4.9.5中的证明方法与畸变风险贡献度量（考虑两个二元随机向量（X，Y）和（X′，Y′）中的证明方法相结合，可以很容易地获得证明。本节提供了关于边际d.f.\'s o f Y a和Y′的随机顺序、相应的copula和依赖结构以及其畸变风险贡献度量的畸变函数的充分条件。5.1分散顺序和分散风险贡献度量以下引理改编自Sordo et al.（2018），有助于建立我们的主要结果，将边缘之间的分散或顺序与扭曲风险贡献度量联系起来。引理5.1。设X和Y是两个连续的r.v\'s，d.f\'s f和G，分别为Y。

设h为凸函数，g为另一右连续畸变函数，使得h（p）≥ g（p），对于所有p∈ [0, 1]. 用Xh【Yg】表示畸变函数h【g】从X【Y】诱导的畸变r.v.\'s。I f X≤dispY，然后（i）F-1Xh（p）- F-1X（p）≥ F-1Yg（p）- G-1（p），对于p∈ (0, 1);（ii）F-1Xh（p）- F-1Xg（p）≥ F-1Yh（p）- F-1Yg（p），用于p∈ (0, 1).项目。可以使用与L emma 14 inSordo et al.（2018）中类似的参数来获得证明，因此为了简洁起见，此处省略。5.1.1 I类畸变风险贡献措施：CoDg，h【Y | X】我们首先研究了CoDg，h【Y | X】。定理5.2。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有共同点a和C′的b i变量随机向量。假设F=F′，Y≤dispY′。（i） 如果是C C′，和X↑SIY或X′↑SIY′或两者都保持，然后CoDg，h【Y | X】≤任意g，h的CoDg，h[Y′| X′]∈ G、 （ii）如果C C′，和X↑SDY或X′↑SDY′或两者都保持，然后CoDg，h【Y | X】≥任意g，h的CoDg，h[Y′| X′]∈ G、 项目。我们只给出了（i）的证明，因为（ii）的证明类似于L emma5.1（i）。假设X↑SIY公司。根据定理3.13和定理3.10的证明，我们得到CoDg，h[Y | X]=ZF-1Yh（p）- G-1（p）dh（p），CoDg，h[Y′| X′）=ZhF-1Y′h′（p）- G′-1（p）idh（p），其中Yh=[Y | X>Dg[X]]和Y′h′=[Y′| X′>Dg[X]]是凹形畸变函数sh（p）=C（F（Dg[X]）从Y和Y′诱导的畸变r.v.\'s，1- p） 1个- F（Dg[X]），h′（p）=C′（F（Dg[X]），1- p） 1个- F（Dg[X]），p∈ [0, 1]. （12） 自C起 C′，它明确地认为h（p）≤ 所有p的h′（p）∈ [0, 1]. 来自Y≤dispY′andLemma 14 inSordo et al.（2018），我们有-1Yh（p）- G-1（p）≤ F-1Y′h′（p）- G′-1（p），对于p∈ （0，1），这会产生所需的结果，因为h（p）在p中增加∈ [0 , 1 ].下一个定理将定理5.2推广到X和X′可能具有不同d.f.定理5.3的情况。

设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有copulas和C′的二元随机向量。设ug=F（Dg[X]），ug′=F′（Dg′[X′]）。支持Y≤dispY′。（i） 如果C是PDS，ug≤ ug′，和C C′，那么CoDg，h【Y | X】≤ anyh的CoDg′，h[Y′| X′]∈ G、 （ii）如果C是NDS，ug≥ ug′，和C C′，那么CoDg，h【Y | X】≥ anyh的CoDg′，h[Y′| X′]∈ G、 以下结果部分摘自定理5 inSordo et al.（2015），可以使用与Sordo et al.（2015）中定理5的证明类似的参数建立凸畸变函数情况的证明。引理5.4。设X为r.v.，g为凹[凸]畸变函数。然后≤人力资源部[≥hr]Xg，其中Xgis通过应用畸变函数g从X中导出的畸变r.v。回想一下，当且仅当其生存函数f为对数凹[对数凸]时，（非负）r.v.X的失效率（IFR[DFR]）增加[减少]（IFR[DFR]）。定理5.5。设（X，Y）是具有copula C的二元随机向量。假设Y是fr。然后CoDg，h【Y | X】≤ 任意g的CoDg，h′[Y | X]∈ G如果以下两个条件之一成立：（i）X↑SIY和h≤ h′；（二）X↑SDY和h≥ h′。项目。我们只给出（i）的证明，因为可以用（ii）的类似方式建立证明。根据定理3.13和定理3.10的证明，我们有CoDg，h【Y | X】=ZhF-1Y^h（p）- G-1（p）idh（p），其中Y^h=[Y | X>Dg[X]]是由凹形畸变函数^h（p）=C（F（Dg[X]）从Y诱导的畸变r.v，1- p） 1个- F（Dg[X]），p∈ [0, 1].然后，从引理5.4，我们得到Y≤hrY^h.因为Y是DFR，所以它遵循Y≤dispY^huponinvoking定理3。B、 Shaked和Shanthikumar（2007）第20（a）条。因此-1（p）- G-1（p）≤ F-1Y^h（p）- F-1Y^h（p），对于0<p<p<1，这意味着F-1Y^h（p）- G-1（p）在p中增加∈ (0, 1).

既然h（0）=h′（0）=0，h（1）=h′（1）=1，我们就得到了CoDg，h【Y | X】- CoDg，h′[Y | X]=ZhF-1Y^h（p）- G-1（p）id[h（p）- h′（p）]=Z[h′（p）- h（p）]dhF-1Y^h（p）- G-1（p）i≤ 0，这将生成所需的结果。备注5.6。如果X↑SIY，Y是DFR，g（p）=1（1-α、 1]（p），h（p）=最小值{1，p1-β} ，和h′（p）=最小值{1，p1-β′}使得β≤ β′，则Theorem5.5降低为Sordo et al.（2018）中Theorem17的结果。将定理5.2和5.5结合起来，可以立即得到以下结果，这推广了Sordo et al.（2018）中推论19的结果。推论5.7。Le t（X，Y）和（X′，Y′）是两个分别具有copulac和C′的二元随机向量。假设F=F′，X↑SIY或X′↑SIY′或两者均保持，Y或Y′或两者均为DFR。然后，Y≤dispY′，C C′，和h≤ h′意味着CoDg，h【Y | X】≤ CoDg，任意g的h′[Y′| X′]∈ G、 以下结果将上述结果推广到风险X和X′具有不同d.f.定理5.8的情况。设（X，Y）和（X′，Y′）分别是两个具有共同点和C′的b i变量随机向量。设ug=F（Dg[X]），ug′=F′（Dg′[X′]）。假设（X，Y）或（X′，Y′）或两者都是PDS，而Y或Y′或两者都是DFR。然后，Y≤dispY′，C C′，ug≤ ug′、a和h≤ h′意味着CoDg，h【Y | X】≤ 任意g的CoDg′，h′[Y′| X′]∈ G、 项目。通过使用定理4.13中的证明方法，可以从定理5.3.5.1.2 II类畸变风险贡献度量中获得结果：gCoDg，h[Y | X]在本小节中，我们将注意力转向研究依赖结构、X的阈值分位数以及Y根据其变化的随机顺序如何改变失真风险贡献度量的值gCoDg，h[Y | X]。定理5.9。设（X，Y）和（X′，Y′）是两个具有相同C点的二元随机向量。