系统性风险：条件失真风险度量

函数C被称为H的copula。如果F和G都是连续的，那么C由C（u，v）=H（F）唯一确定-1（u），G-1（v））。copula描述了随机向量（X，Y）的依赖性。我们还用byC表示两个均匀r.v.的联合尾函数，其联合d.f.是copula C，即C（u，v）=P（u>u，v>v）=1- u- v+C（u，v），（u，v）∈ (0, 1).关节尾函数C不应与U和V的生存copula混淆，后者定义为^C（U，V）=U+V- 1+C（1- u、 1个- v） ，（u，v）∈ (0, 1).生存copula^C将联合生存函数与其单变量边缘（survivalfunctions）耦合，其方式完全类似于copula将联合d.f.连接到其边缘的方式。显然，C（u，v）=^C（1- u、 1个- v） 。接下来，我们回顾一致性订单的定义（见定义2.8.1 inNelsen，2007）。定义2.3。给定两个copula C和C′，C在协和顺序上比C′小（表示为C C′）i f C（u，v）≤ C′（u，v），适用于所有（u，v）∈ (0, 1).在文献中，一致性顺序也称为相关顺序或正等相关性（PositiveEquadrant dependence，PQD）顺序（seeDhaene and Goovaerts，19961997；Nelsen，2007）。这是一个偏序，因为并非每对copula都是一致可比的。此外，众所周知，Kendall\'stau和Spearman的rho给出的规范无标度依赖度量相对于协和序是递增的。2.4失真风险度量我们陈述了以下定义：定义2.4。具有d.f.fα置信水平的R.v.X的Va R和ES∈ （0，1）定义为Varα【X】=F-1（α），安第斯α[X]=1- αZαVaRp[X]dp，前提是积分存在。VaR和ES作为畸变风险度量的特殊情况出现（Yaari，1987；Denuit et al.，2005，2006；Dhaene et al.，2006；Goovaerts et al.，2010；F"ollmer and Schied，2011）。

在一般情况下，畸变函数g：[0，1]7→ [0，1]是一个递增函数，使得g（0）=0，g（1）=1。所有畸变函数的集合由G表示。然后，畸变风险度量是C元素到实线的函数映射，如下所示：定义2.5。对于畸变函数g∈ G、 具有d.f.f的r.v.X的失真风险度量dG定义为dG【X】=-Z-∞[1 - g（F（t））]dt+Z+∞g（F（t））dt。特别是，如果X是非负r.v，thenDg[X]=Z+∞g（F（t））dt。众所周知，失真风险度量具有单调性、平移不变性、共单调可加性和正均质性，并且可以用这些特性来表征。此外，在任何失真函数g下，失真风险度量与通常的随机顺序一致∈ G、 在任何凹畸变函数下，随着凸阶的增加。Wirch和Hardy（2001）表明，当且仅当畸变函数为凹函数时，畸变风险度量是一致的，即单谐的、平移不变的、正同态的、次加性的（参见F"ollmer和Schied，2011；Laeven和Stadje，2013）。此外，凹畸变函数是法律不变凸风险度量的基石（见第4章inF"ollmer和Schied，2011）。VaRα和ESα给出的失真风险度量的两个突出示例对应于失真函数g（p）=1（1-α、 1]（p）a和g（p）=最小值{1，p1-α} ，对于α∈ （0，1）。显然，VaR的失真函数不是连续的而是左连续的，而ES的失真函数是连续的和凹的，但在任何地方都是不可区分的。此外，不完全贝塔函数、Wang畸变或Esscher-Girsanov变换和回溯畸变是畸变函数常用的特殊情况；seeDenuit等人。

（2006）和G oovaerts和Laeven（20 08）。很容易验证（参见Belles Sampera等人，2014年）r。v、 X和任意两个畸变函数g，g′∈ G、 G级≤ g′表示Dg[X]≤ Dg′[X]。接下来，我们引入对偶失真函数的概念。考虑畸变函数g并定义相关函数g:[0，1]7→ [0，1]g（p）=1- g（1- p） ，forp∈ [0, 1]. 显然，g也是一个畸变函数，称为g的双d i s畸变函数。众所周知，对于任何r.v.X和畸变函数g，Dg【X】=-Dg公司[-十] andDg【X】=-Dg公司[-十] （见Dhaene等人2012年的引理5）。注意，如果g是左连续的，那么g是右连续的（Dhaene et al.（201 2）中的c.f.定理4和6）。对于右连续畸变函数g，尾部函数的变换f=1- X的F由g（F（X））=g给出o F（x）定义了一个与ar.v.Xg相关的新的尾部函数，这是r.v.x的畸变对应物，由畸变函数g引起。关于畸变风险度量的性质和应用的更多讨论，可以参考toWang et al.（1997）、Hürlimann（200 4）、Denuit et al.（2005、2006）、Dhaene et al.（2006）、Balbás et al.（2009）和Dhaene et al.（2012）。2.5共同风险度量和风险贡献度量条件风险（共同风险）度量越来越多地被用作系统风险度量。共同风险度量的典型示例包括条件风险价值（CoVaR）（Adrian和Brunnermeier，2016；Girardi和Ergün，2013）、条件预期短缺（CoES）（Mainik和Schaanning，2014）和边际预期短缺（MES）（Acharya等人，2017）。对于给定的共同风险度量，相应的风险贡献度量评估压力情景的增量影响。

风险贡献度量的著名示例包括科瓦尔和CoES；Seegirdi和Ergün（2013），Mainik和Schaanning（2014），a和Adrian和Brunnermeier（2016）。CoVaR的定义如下：定义2.6。Letα，β∈ (0, 1). 然后，CoVaRα，β[Y | X]=VaRβ[Y | X>VaRα[X]]。Mainik和Schaanning（2014）对上述定义进行了调整，以适应CoES的情况，即ES的一致性由CoES继承：定义2.7。Letα，β∈ (0, 1). 那么，CoESα，β[Y | X]=1- βZβCoVaRα，t[Y | X]dt。可以很容易地验证，对于连续的边缘，COE可以通过条件期望Y来表示，其方式类似于常见的es代表：CoESα，β[Y | X]=E[Y | X>VaRα[X]，Y>CoVaRα，β[Y | X]]。MES的定义如下：定义2.8。Letα∈ (0, 1). 然后，MESα[Y | X]=E[Y | X>VaRα[X]]。为了衡量X对Y的风险贡献，可以将CoVa Rα、β[Y | X]与无条件评估Y的VaRβ[Y]进行比较，前者是处于压力情景中的Y条件upo n X的VaR。或者，如果X超过其中值，可以用Y的条件VaR代替基准VaRβ[Y]（见Mainik和Schaanning，2014；Adrian和Brunnermeier，2016）。定义2.9。Letα，β∈ (0, 1). 然后CoVaRα，β[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]- VaRβ[Y]，medCoVaRα，β[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]- CoVaR1/2，β[Y | X]。当然，也可以通过引用COE等定义风险贡献指标，如下所示（见Acharya等人，2017年；Karimalis和Nomikos，2018年）：定义2.10。Letα，β∈ (0, 1). 然后CoESα，β[Y | X]=CoESα，β[Y | X]- ESβ[Y]，medCoESα，β[Y | X]=CoESα，β[Y | X]- CoES1/2，β[Y | X]。3条件失真风险度量和失真风险贡献度量考虑一个二元随机向量（X，Y），边缘d.f.\'s f，G∈ C和接头d.f.H∈ C

我们将条件失真（CoD）风险度量定义为从非变量分布到实线的映射。具体而言，CoD风险度量定义如下。定义3.1。对于g，h∈ G、 CoDg，h[Y | X]=Dh[Y | X>Dg[X]=-Z-∞[1 - h（FY | X>Dg[X]（y））]dy+Z+∞h（FY | X>Dg[X]（y））dy，其中Dg[X]在定义2.5中预先定义。备注3.2。（a） 请注意，在定义3.1中，g a和h是分别施加在X和[Y | X>Dg[X]]的d.f.上的畸变函数。（b） 显然，定义3.1中提出的CoD风险度量将CoVaRand COE作为特例。更明确地说，如果g（p）=1（1），我们有e（i）-α、 1]（p）和h（p）=1（1-β、 1]（p），然后CoDg，h[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]；（ii）如果g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=最小值{1，p1-β} ，然后CoDg，h[Y | X]=CoESα，β[Y | X]。（iii）i f g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=p，然后CoDg，h[Y | X]=MESα[Y | X]。此外，CoD风险度量提供了两种其他相关类型的条件风险度量：（iv）如果g（p）=min{1，t1-α} h（p）=1（1-β、 1）（p），然后CoDg，h[Y | X]=VaRβ[Y | X>ESα[X]；（v） 如果g（p）=min{1，t1-α} h（p）=min{1，p1-β} ，thenCoDg，h[Y | X]=ESβ[Y | X>ESα[X]=1- βZβVaRp[Y | X>ESα[X]]dp，这在Boyle和Kim（2012）的方程式（10）中定义。（c） CoD风险度量通常不满足次可加性；例如，i f h（p）=1（1-β、 1]（p），它减少到VaR，一般来说，VaR不是次加性的。然而，如果h是凹的，则CoD风险测度继承了Dh[·]的次加性性质。（d） 应该注意的是，我们可以用任何实际值来代替Dg[X]，以概括定义3.1。

然而，在适当的条件下，所有与VaR、中值和ES相关的现有方法都可以被视为失真风险度量的特例。为了说明CoD风险度量的一般性，以下示例说明了CoD风险度量的类别，该类别超出了当前文献中现有的条件风险度量，如CoVa R、CoES和MES。示例3.3。假设Y是非负r.v.并考虑扭曲函数h（p）=1- (1 - p） k，代表k∈ 氮+和磷∈ [0, 1 ]. 请填写条件r.v.的独立副本。[Y | X>Dg[X]]，对于i=1，k、 根据定义3.1，我们有CODG，h[Y | X]=Z+∞h（FY | X>Dg[X]（y））dy=Z+∞[1 - FkY | X>Dg[X]（y）]dy=E[max{eYg，eYg，…，eYgk}]=E[eYgk:k]，其中eYgk:kis是yg，…，的最大阶统计量，eYgk。这意味着C oD风险度量可以表示为从一组i.i.d.r.v.计算得出的最大阶统计量的期望值，其中d.f.FY | X>Dg[X]。对于给定的CoD风险度量，我们可以确定相关的畸变风险贡献(CoD）测量如下。定义3.4。对于g，h∈ GCoDg，h【Y | X】=CoDg，h【Y | X】- Dh【Y】，其中Dh（Y）=-Z-∞[1 - h（G（y））]dy+Z+∞h（G（y））dy.备注3.5。定义3.4中定义的畸变风险贡献度量科瓦尔和COE作为特例。

确实，（i）如果g（t）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=1（1-β、 1]（p），然后CoDg，h[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]；（ii）如果g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=最小值{1，p1-β} ，然后CoDg，h[Y | X]=CoESα，β[Y | X]。此外，畸变风险贡献度量还提供了现有文献中缺少的两个相关贡献度量：（iii）如果g（p）=min{1，p1-α} h（p）=1（1-β、 1]（p），然后CoDg，h[Y | X]=VaRβ[Y | X>ESα[X]]- VaRβ[Y]；（iv）如果g（p）=min{1，p1-α} h（p）=min{1，p1-β} ，然后CoDg，h[Y | X]=ESβ[Y | X>ESα[X]]- ESβ[Y]=1- βZβVaRp[Y | X>ESα[X]]dp-1.- βZβVaRp[Y]dp。值得一提的是，Boyle和Kim（2012）定义了一种类型的风险贡献度量（见他们的方程（8）），即β[Y | X=ESα[X]]- ESβ[Y]，其条件e v ent基于[X=ESα[X]]，而不是[X>ESα[X]]。以下示例提供了定义3.4中畸变风险贡献度量的表达式，在示例3.3的设置下。示例3.6。在示例3.3的设置下，我们有CoDg，h【Y | X】=E【eYgk:k】- E[Yk:k]，其中Yk:kis是Y的最大阶统计量，yk且yi为Y的从属副本，对于i=1，k、 我们还可以针对风险X的不同扭曲函数定义风险贡献度量，因此有时称为II类扭曲风险贡献度量，以区别于定义3.4：定义3.7中的I类扭曲风险贡献度量。对于g，~g，h∈ GgCoDg，h【Y | X】=CoDg，h【Y | X】- CoDg，h【Y | X】。备注3.8。值得注意的是，定义3.7中的失真风险贡献度量包含medCoVaR和medCoES作为特殊ca s es。

更明确地说，（i）如果g（p）=1（1-α、 1]（p），Dg【X】=F-1（1/2），a和h（p）=1（1-β、 1]（p），然后gCoDg，h[Y | X]=medCoVaRα，β[Y | X]；（ii）如果g（p）=1（1-α、 1]（p），Dg【X】=F-1（1/2），a和h（p）=最小值{1，p1-β} ，然后gCoDg，h[Y | X]=medCoESα，β[Y | X]。下一个示例说明了失真风险贡献测量值从定义3.7中上升。示例3.9。在示例3.3的设置下，删除条件r.v的独立副本。[Y | X>Dg[X]]，对于i=1，k、 然后，CoDgg，h【Y | X】=E【eYgk:k】- E[eY▄gk:k]，其中Eygk:kandeY▄gk:kare为Eg的最大阶统计量，eYgkandeY▄g，分别为eYgk。在下一个定理中，我们给出了定义3.1、3.4和3.7中引入的三类CoD风险测度和失真风险贡献测度的一些有用表达式和性质。定理3.10。Let（U，V）~ C其中C是H的copula。如果F是连续且严格递增的，且H是左连续的，则CODG，H[Y | X]=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p），（1），其中ug=F（Dg[X]），h（p）=1- h（1- p） 对于p∈ [0，1]，d FV | U>U（v）=v-C（u，v）1-ufor（u，v）∈ (0, 1).项目。因为F是连续且严格递增的，（U，V）~ C、 护理边缘一致，P（U>ug）=P（X>Dg[X]）。然后，[Y | X>Dg[X]]的d.f可以写为fy | X>Dg[X]（Y）=P（Y≤ y | X>Dg[X]=P（y≤ y、 X>Dg[X]）P（X>Dg[X]）=P（y≤ y）- P（Y≤ y、 X个≤ Dg【X】）1- P（X≤ Dg[X]=G（y）- C（F（Dg[X]），G（y））1- F（Dg[X]）=FV | U>ug（G（y）），这反过来意味着F-1Y | X>Dg[X]（p）=G-1（F-1V | U>ug（p）），通过使用事件{FY | X>Dg[X]（y）的论证≥ p} 相当于{FV | U>ug（G（y））≥ p} ，对于anyp∈ (0, 1).

因此，通过应用Fubini定理和变量变化（见定理6 inDhaene et al.，2012），可以验证tCoDg，h[Y | X]=-Z-∞1.- h（1- FY | X>Dg[X]（y））dy+Z+∞h（1- FY | X>Dg[X]（y））dy=ZF-1Y | X>Dg[X]（1- p） dh（p）=ZF-1Y | X>Dg[X]（p）dh（p）=ZG-1（F-1V | U>ug（p））dh（p）。因此，证明成立。备注3.11。考虑到定理m 3的设置。定义广义上逆G-1+（p）=sup{x∈ R | G（x）≤ p} 和F-1+V | U>ug（p）=sup{x∈ R | FV | U>ug（x）≤ p} 带sup = -∞ 通过协商。自事件{FY | X>Dg[X]（y）起≤ p} 等于{FV | U>ug（G（y））≤ p} ，我们有F-1+Y | X>Dg[X]（p）=G-1+（F-1+V | U>ug（p）），对于p∈ (0, 1). 如果现在，在定理3.10的设置下，我们是右连续的，而不是左连续的，那么，通过应用定理4 inDhaene et al.（2012），表达式（1）可以修改为asCoDg，h[Y | X]=ZG-1+（F-1+V | U>ug（p））dh（p）。请注意，FV | U>ug（v）=v-C（ug，v）1-ug。如果G是连续且严格递增的，并且v-C（u，v）是连续的，并且在v中严格递增∈ [0，1]对于任何u∈ （0，1）（wh i ch意味着FV | U>ugis连续且严格增加），我们有G-1+（p）=G-1（p）和F-1+V | U>ug（p）=F-1V | U>ug（p），这意味着理论3.10中的畸变函数可以是左连续的，也可以是右连续的（假设F是连续的，且d严格递增）。然后，通过应用Dhaene et al.（2012）的定理7，h也可以假设为任何一般畸变函数，即左连续和右连续畸变函数的凸组合。推论3.12。

在定理3.10的设置下，（i）如果g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=1（1-β、 1]（p），thenCoDg，h[Y | X]=CoVaRα，β[Y | X]=G-1（F-1V | U>α（β）），这是由nGirardi和Ergün（2013）定义的；（ii）如果g（p）=1（1-α、 1]（p）和h（p）=最小值{1，p1-β} ，thenCoDg，h[Y | X]=CoESα，β[Y | X]=1- βZβG-1（F-1V | U>α（p））dp，这是由nMainik和Schaanning（2014）定义的。根据定理3.10，我们得到以下结果。定理3.13。Let（U，V）~ C其中C是H的copula。如果F是连续且严格递增的，且H是左连续的，则CoDg，h【Y | X】=ZhG-1（F-1V | U>ug（p））- G-1（p）idh（p），（2）gCoDg，h[Y | X]=ZhG-1（F-1V | U>ug（p））- G-1（F-1V | U>Ug（p））idh（p），（3）其中ug=F（Dg[X]），Ug=F（Dg[X]），h（p）=1-h（1-p） 对于p∈ [0，1]，且FV | U>U（v）=v-C（u，v）1-ufor（u，v）∈ ( 0, 1).4随机序和CoD风险度量在续集中，我们总是假设X和X′的d.f′是连续的且严格递增的，并且Y和Y′的畸变函数是连续的，以避免不必要的技术讨论。我们注意到，如果Y和Y的d.f\'s连续且严格增加，并且v- C（u，v）和v- C′（u，v）在v中连续且严格增加∈ [0，1]对于任何u∈ （0，1），然后，根据Remark3.11，我们的所有结果都可以推广到Y和Y′的畸变函数为右连续或一般的情况，即左连续和右连续畸变函数的凸组合（参见Daene et al.，2012年的定理7）。4.1 Ri s ks Y和Y′具有相同的分布。本小节考虑了两个二元随机向量（X，Y）和（X′，Y′）的CoD风险度量的有效条件，其中Y和Y′具有共同的d.f.。下一个定理指出，CoD风险度量保持了由以下条件引起的排序：” 通过应用于Y和Y′的畸变函数。定理4.1。