波动率模型在地球物理和高频金融中的应用

这些地震发生在亚利桑那州克利夫顿镇附近，那里的一个大型地表铜矿曾引发多起爆炸，构成采石场爆炸活动的一部分。我们选择了一些与地震（M=3.0-3.3）震级相似的爆炸，这些爆炸位于半径10km内的同一区域。我们从距离地震事件150至400km的附近两个地震台站（IU.TUC和IU.ANMO）收集了包含地震波的地震图。数据包含有关日期、时间、经度、纬度、与地震事件的平均距离、平均方位角以及该地区每个地震事件的震级的信息（见表1和表2）。地球物理时间序列的动态行为如图所示。6-9. 在这些图中，我们注意到，只要地震或爆炸持续，频率分量就会从一个间隔变化到另一个间隔。这些序列的平均值似乎稳定，平均震级约为零。这种动态行为说明了震级及其波动性的时间演化。波动性取决于时间，因为它在某一点上很高，但在另一点上很低。波动率聚类反映了其随时间变化的性质，以及数据的均值回归特征。表1：台站信息台站网络经纬度平均距离事件（km）平均方位角（deg）TUC IU 32.3o-110.8o161 76ANMO IU 34.9o-106.5o357 224表2：事件信息事件震级日期时间（UTC）纬度经度地震3.0 2014年7月12日7:12:53 32.58o-109.08o爆炸3.2 1999年12月23日21:15:48 32.65o-109.08oARIZONANEW MEXICOMEXICO100 kmANMOTUC-113-1063731oo图5：地图显示了地震台站IU的位置。图克安度。本研究中使用的ANMO（黄色三角形）。

红色开放圆表示本研究中使用的地震和爆炸所在的区域。地震时间速度比例0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-400-200 200 400 600图6:TUC台站记录的表1中地震的到达阶段。爆炸时间速度比例0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-150-100-50 0 50 100 150图7:TUC站记录的表1中爆炸的到达阶段。图8：安莫台站记录的表1中地震的到达阶段。图9：安莫台站记录的表1中爆炸的到达阶段。4平稳方法在本节中，我们通过使用增强Dickey Fuller（ADF）[22]和Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）测试，测试高频金融数据和地震和爆炸数据产生的地震波的平稳性，来分析时间序列。这两个测试非常强大，能够处理非常复杂的模型。4.1 ADF测试ADF测试假设数据中的动力学具有ARMA结构，则测试时间序列是一个单位的无效假设，而不是它是平稳的。

表3和表4分别显示了这项工作中使用的数据集测试的汇总统计信息。表3：ADF t-statistics test for the Financial dataStocks test statistics P-valueBank of America-14.873 0.01 Discover-13.955 0.01 Intel-21.314 0.01IAG-13.830 0.01表4：ADF t-statistics test for the Physical DataEvents Stuch station ANMO station测试统计P-Values测试统计P-ValueSequence-42.018 0.01-40.509 0.01爆炸-40.831 0.01-38.954 0.01测试解释：H时间序列的单位根。Ha：时间序列没有单位根。这个系列是固定的。t统计量用于计算p值，p值与显著性水平（0.05）进行比较，并表明无效假设是否可接受。由于计算的p值低于显著水平α=0.05，我们拒绝金融和地球物理数据的无效假设HF，并接受替代假设Ha。因此，所研究的数据在时间上是固定的。4.2 KPSS测试KPSS测试用于测试一个无效假设，即一个可观测时间序列相对于单位根的备选方案是平稳的【24】。表5和表6分别显示了该测试结果的汇总统计数据。表5：KPSS金融数据库的t统计检验测试统计P值美国银行0.1733 0.1发现0.1221 0.1内测0.0069 0.1IAG 0.3412 0.1表6：KPSS地球物理数据事件的t统计检验Stuc station ANMO station测试统计P值检验统计P值地震0.0017 0.1 0.0020 0 0 0.1爆炸0.0012 0.1 0.0030 0 0 0.1测试解释：H:时间序列。这个系列是固定的。Ha：时间序列没有单位根。由于计算的p值大于显著水平α=0.05，我们接受所有数据集的零假设。

因此，本文中使用的时间序列是平稳时间序列。在接下来的两个部分中，我们将介绍使用确定性和随机方法分析地球物理和金融产生的时间序列。首先，我们给出了模型应用于数据集时的估计值。为了估计时变参数，我们对时间序列使用了确定性和随机性模型。其目的是比较这两种技术，观察哪种技术适合预测波动率。通过R统计软件模块进行分析。5确定性模型分析我们给出了用GARCH模型获得的高频金融数据的估计参数结果。下图中的红线显示了正态分布的理论概率密度函数，其均值和标准差与财务数据相同。因此，我们在波动率ηt的基础上考虑ARCH正态性假设。the-3-2-1 0 1 2 30.0 0.1 0.2 0.3 0.4 normal pdf and histogramxhistyhist（a）BAC-4-2 0.0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 normal pdf and histogramxhistyhist（b）DISCOVER-2 0 2 40.0.1 0.2 0.3 0.4 normal pdf and histogramxhistyHistyHistyHist（c）INTEL-2 0 2 0 2 0.0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 normal pdf and histogramxHistogramx HistyHist（d）IAG图10：直方图金融时间序列和确定的正态密度。正如GARCH统计数据所示，GARCH模型参数a、a和bof的估计是稳定的（见表7-8）。而且，在大多数情况下，参数的估计标准误差很小。较小的p值（<显著水平）提供了强有力的证据，证明具有特定参数的GARCH（1，1）模型对我们的数据是一个很好的拟合。持久性的波动性水平可以通过这些表中的非负参数A和B来确定。

我们可以看到，约束（a+b）小于1，这与平稳解的存在性一致，并且支持第4节中平稳测试的结果。表11-14分别总结了美国银行、Discover Financial Services、INTEL semiconductor manufacturing company和IAG证券交易所的标准化残差（R）测试。Jarque Bera和Shapiro Wilk正态性检验强烈反对白噪声创新过程η为高斯的零假设。平方残差的LjungBox检验（滞后10、15、20）和LM Arch检验的p值（>0.05）表明，除了ηt的非正态性外，该模型对数据的拟合良好。这是因为在任何合理的显著水平上都不能拒绝零假设。为了便于理解预测概念，我们在图中叠加了一步预测波动率图和±2标准预测误差图。11-14. ±2 bσ的预测波动率显示为原始输出周围的修正线。它直观地显示了预测波动率的值是如何随时间变化的。我们还看到了GARCH（1,1）模型本身在应用于我们的财务数据集时的一些局限性。正高频回报和负高频回报具有相同的影响，因为波动性取决于平方回报。因此，这无助于理解金融时间序列变化的来源，即波动性变化的原因。该模型仅提供了一种描述条件方差行为的机械方法。金融崩溃期间的蓝色虚线（图。