波动率模型在地球物理和高频金融中的应用

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英文标题：
《Volatility Models Applied to Geophysics and High Frequency Financial
  Market Data》
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作者：
Maria C Mariani, Md Al Masum Bhuiyan, Osei K Tweneboah, Hector
  Gonzalez-Huizar, Ionut Florescu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This work is devoted to the study of modeling geophysical and financial time series. A class of volatility models with time-varying parameters is presented to forecast the volatility of time series in a stationary environment. The modeling of stationary time series with consistent properties facilitates prediction with much certainty. Using the GARCH and stochastic volatility model, we forecast one-step-ahead suggested volatility with +/- 2 standard prediction errors, which is enacted via Maximum Likelihood Estimation. We compare the stochastic volatility model relying on the filtering technique as used in the conditional volatility with the GARCH model. We conclude that the stochastic volatility is a better forecasting tool than GARCH (1, 1), since it is less conditioned by autoregressive past information.
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中文摘要：
这项工作致力于地球物理和金融时间序列建模的研究。提出了一类具有时变参数的波动率模型来预测平稳环境下时间序列的波动率。具有一致性质的平稳时间序列的建模有助于更确定的预测。利用GARCH和随机波动率模型，我们预测了一步领先的建议波动率，标准预测误差为+/-2，这是通过最大似然估计实现的。我们将条件波动率中使用的基于过滤技术的随机波动率模型与GARCH模型进行了比较。我们得出结论，随机波动率是一种比GARCH（1，1）更好的预测工具，因为它不受自回归过去信息的制约。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Volatility_Models_Applied_to_Geophysics_and_High_Frequency_Financial_Market_Data.pdf (3.17 MB)

2022-6-11 12:08:18 上传

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关键词：波动率模型 波动率 econometrics Applications epidemiology

应用于地球物理和高频金融市场数据的波动率模型Maria C.Mariani*, Md Al Masum Bhuiyan+、Osei K.TweneboahHector Gonzalez Huizar§、Ionut FlorescuPAbstracts这项工作致力于地球物理和金融时间序列建模的研究。提出了一类具有时变参数的波动率模型来预测平稳环境下时间序列的波动率。具有一致性的平稳时间序列的建模有助于更确定的预测。利用金融平稳数据的GARCH模型和地球物理平稳数据的随机波动率模型，我们预测了一个提前一步的建议波动率，标准预测误差为±2，这是通过最大似然估计实现的。我们将依赖条件波动率中使用的过滤技术的仓促波动率模型与GARCH模型进行了比较。我们的结论是，随机波动率是一种比GARCH（1,1）更好的预测工具，因为它不受自回归过去信息的制约。关键词：ADF试验；KPSS试验；金融时间序列；地球物理时间序列；GARCH模型；最大似然估计；随机波动模型；地震记录*德克萨斯大学埃尔帕索分校数学科学与计算科学系+德克萨斯大学埃尔帕索分校计算科学项目德克萨斯大学埃尔帕索分校计算科学项目§德克萨斯大学埃尔帕索分校地质科学系。P霍博肯史蒂文斯理工学院商学院。1导言估计时变参数的时间序列预测对于建模波动率的动态演化非常重要。

假设吸引投资者注意力的模型可以潜在地用于预测关键变量，例如，股票市场的回报率、波动率和交易量。需要注意的是，地球物理学中预测方法的发展有助于我们识别产生记录地震信号的震源类型。这类方法通常适用于各种领域，如金融、地球物理和电力系统安全[1]。因此，一种可靠的预测技术，包括相关的时间信息，对于构建风险较小的投资组合或获得更高的收益至关重要。金融时间序列表现出典型的非线性特征，收益率表明其动态性的波动率聚类。在本研究中，我们发展了一种波动率预测方法，其中条件波动率的对数遵循自回归时间序列模型。R、 F.Engle的论文[2]引入了自回归条件异方差（ARCH）模型，将可用收益的条件方差表示为先前观测值的函数。几年后，S.Bollerslev[3]修改了这一概念，并推广了ARCH（GARCH）模型，该模型允许条件方差依赖于之前的条件方差以及之前收益的平方。换句话说，ARCH模型中的系统波动率是由观测值以预先确定的方式驱动的。事实上，在过去几十年中，有人提出了大量的确定性模型来预测金融波动。原因是它们非常简单，有助于解释聚集误差和非线性问题。

在本研究中，我们首先提出了一个连续的时间统计和GARCH（1,1）过程，该过程有助于分析高频金融时间序列。现在人们普遍认为，对一系列地球物理和金融的测量随机地取决于所需的时间。换句话说，连续时间间隔内的数据点数量之间存在相关性。在参考文献[5]和[6]中，作者使用随机模型来描述地球物理和金融数据中一种独特的测量依赖性。据观察，随着时间的推移，数据可能会遵循不同的行为，例如，功率谱的均值回归和波动。这些观察结果与经典的建模基础不同。但时间相关观察的概念表明，当前信息需要根据其过去的行为进行评估。时间序列的这种行为可以有效地预测波动性，并获得一些程式化的事实，即时变波动性、持续性和聚类。时间序列的一个显著特征是确定性模型。e、 GARCH不允许对波动性进行全面的统计描述[7]。当时间序列中存在高波动性时，GARCH（1,1）模型会任意预测波动性，因为它无法捕获数据的高波动性。因此，在这项工作中，我们提出了一种随机模型和过滤技术作为估计参数的方法。因此，我们研究了与采矿爆炸和板内小地震记录相对应的连续时间平稳序列，以使用估计参数预测波动性。这些平稳序列非常有效，能够以适当的方式捕捉时变参数的特征【8】。

我们分别通过计算估计的标准误差和一些强大的检验来确定数据的充分性和平稳性，这将在本文第4节和第5节中讨论。SVmodel的主要困难在于将其拟合到数据中（在随机过程中具有更高的精度），因为其似然估计涉及高维难处理积分的数值积分[9]，其最大化相当复杂。本文的结构如下：第2节描述了预测时间序列波动性的方法。还将讨论估计模型参数的技术。第3节专门介绍数据的背景。我们讨论了金融和地球物理数据属性的一些重要部分。在第4节中，我们进行了分析时间序列平稳性的测试。第5节和第6节提供了将我们的模型应用于数据集时的结果。这些部分还研究了我们的模型在模型参数估计和时间序列波动性预测方面的适用性。最后，第7节给出了结论，并对模型进行了比较。2方法学本节描述了用于预测金融和地球物理学时间序列的波动率模型。我们将讨论一些技术，这些技术将有助于估计拟议模型的参数。2.1滤波方法状态空间模型由m维观测时间序列yt和n维状态向量（可能未观测到）xt之间的关系定义【10】。

观测方程由以下随机过程驱动：yt=Ztxt+t、 （1）其中zt是m×n观测矩阵，xt是n×1的向量，以及tis aGaussian错误项(t型~ N（0，βt））。不可观测向量xt由过渡方程生成，其定义为：xt=Txt-1+δt，（2）其中t是n×n转移矩阵，δt~ i、 内径N（0，ζt）。我们假设这个过程从Eqs的法向量x开始。（1） 和（2），我们根据给定的数据ym={y，…，ym}对潜在的未观测数据xts进行估计。当m=t时，该过程称为过滤。2.2似然近似letД表示嵌入系统矩阵Zt、T、βT和ζT中的状态空间模型参数。这些参数通常未知，但根据数据Y=Y，ym。可能性L（Д）Y）是为参数空间中的每个点赋值的函数 这表明每个值在处理数据时的可能性。然而，可能性与作为未知参数函数的数据的联合概率分布成正比。最大似然估计是指对ν值的估计∈  这最有可能生成观测数据yt的向量【11】。我们可以表示为：^ИMLE=maxД∈L（^1）Y）=最大值∈LY（Д）=最大∈mYt=1f（yt年初至今-1.Д），（3）其中^Д是Д的最大似然估计量。由于naturallogarithm函数在（0，∞), 似然函数的最大值（如果存在）与似然函数的对数的最大值出现在相同的点上。在本文中，我们建议使用对数似然函数，该函数定义为：^ИMLE=maxД∈lnL（ДY）=最大值∈lnLY（Д）=最大∈mXt=1lnf（yt年初至今-1.φ).

（4） 由于这是一个高度非线性和复杂的未知参数函数，我们首先考虑初始状态向量X，并为对数似然函数及其前两个导数建立一组曲线【12】。然后，我们依次使用Newton-Raphson算法[14]，直到对数似然的负性最小化，以获得最大似然估计。2.3 GARCH模型引入广义自回归条件异方差（GARCH）模型[2，3]，以模拟金融数据方差的变化。它是有条件的，因为在这些模型中，后续波动的性质受当前时期信息的制约。异方差是指非恒定波动率。本文中使用的高频金融时间序列的观测值yt可以表示为：yt=σtηt，（5），其中σ是观测值的波动性和{ηt}t∈Nis是一个高斯白噪声序列，与{σt}t无关∈Nand{yt}t∈N、 该方程可解释为状态空间模型的观测方程（见第2.1小节），其中状态方程是状态σt的递推公式：σt=a+ayt-1+bσt-1，（6）其中a、a、b≥ 0，因此对于yt的任何值，σt>0。等式。（5） 和（6）接受平方过程的非高斯ARMA（1,1）模型[13]：yt=a+（a+b）yt-1+φt- bφt-1，（7）式中φt=σt（ηt- 1). 为了计算时间t的方差，我们遵循标准GARCH（m，n）模型，其形式为：σt=a+mXj=1ajyt-j+nXj=1bjσt-j、 （8）如果n=0，则GARCH模型变为ARCH（m）模型。参数a、ai和bj由MLE（第2.2小节）使用lilkelihood函数估计。考虑到正态概率密度函数，等式（4）中的条件似然是由正态（N（0，σt））密度与σt的乘积得到的。

使用估计的参数，我们可以提前一步预测波动率（bσt），即bσt=ba+mXj=1bajyt+1-j+nXj=1bbjbσt+1-j、 （9）我们可以分析残差和平方残差来检验正态性，使用一些统计检验，例如Jarqua-Bera检验【15】、Shapiro-Wilktest检验【16】、Ljung-Box检验【17】和LM-Arch检验【18】。2.4随机波动率模型随机波动率（SV）模型表明，波动率由更新序列驱动，即独立于观测值[19]。它通过一个不可观察的过程导致波动性，该过程允许波动性发生波动。为了建立SV模型，我们使用等式（5）中时间序列的对数平方观测值：logyt=logσt+logηt=> gt=vt+logηt，（10），其中gt=logyt，vt=logσt。该方程被视为观测方程，随机方差vt被认为是一个不可观测的状态过程。考虑到自回归，vt的形式可以表示为：vt=α+αvt-1+ωt，（11），其中ω是方差为σω的高斯白噪声。等式。（10） （11）由Taylor建立随机波动率模型【20】。在本研究中，我们的方法是估计参数α、α、σω，然后从n个数据点预测未来的观测值yn+mf。为了计算观测噪声，我们考虑了两个正态分布的混合，其中一个正态分布以零为中心。因此，我们有：gt=λ+vt+γt，（12），其中λ是对数平方观测值的平均值，γt=Qtzt0- （Qt- 1） zt1，完全满足以下条件：zt0~ i、 内径N（0，σ）zt1~ i、 内径N（φ，σ）Qt~ i、 i.d伯努利（p），其中p是未知混合概率。因此，我们定义了时变概率Pr{Qt=0}=和Pr{Qt=1}=p，其中p+p=1.2.4.1参数估计为了估计参数，我们使用过滤技术，然后是三个步骤，即预测、更新和参数估计。

在第一步中，我们预测未观测到的状态向量ston时间序列观测结果如下：vtt+1=α+αvt-1t+Xj=0ptjKtjηtj，（13）其中预测状态估计器vt-1t=E（vt | y，…，yt-1). 相应的误差协方差矩阵定义为：Utt+1=αUt-1t+σω-Xj=0ptjKtjXtj。（14） 此时，新息协方差为asPt0=Ut-1t+σ和Pt1=Ut-1t+σ，其中Ut-1t=T Ut-1吨-1Tt+σω，U=P，pt=var（ηt）。此外，我们使用卡尔曼滤波器[21]来测量估计精度，其可以显示为：Kt0=αUt-1t/（Ut）-1t+σ）和Kt1=αUt-1t/（Ut）-1t+σ）。（15） 第二步处理更新结果，同时我们有一个新的观测时间t。使用以下关系计算似然函数的预测误差：ηt0=gt- λ - 及物动词-1和ηt1=gt- λ - 及物动词-1吨- φ. （16） 为了估计参数，我们通过评估时变概率（对于t=1，…，m）：pt1=ph（t | t）来完成更新步骤- 1） ph（t | t- 1） +ph（t | t- 1） pt0=1- pt1，其中hj（t | t- 1） 被认为是yt的条件密度，考虑到之前的观测值y，年初至今-1、由于该模型的观测噪声不是完全高斯的，因此在计算上很难获得hj（t | t）的精确值- 1). 因此，我们使用了hj（t | t）的一个很好的近似值- 1） 提供正常密度，即：N（vt-1t+φj，Ptj），对于j=0、1和φ=0。最后，我们通过最大化期望似然来估计参数（Θ=（α，α，σw，σ，φ，σ）），其中最大似然表示为：lnLY（Θ）=mXt=1lnXj=0pjhj（t | t- 1). （17） 3数据集的动态行为在本节中，我们介绍了金融和地球物理学中出现的时间序列的背景。

正是数据的动态行为鼓励我们在本文中应用我们的方法。3.1金融时间序列我们研究以下四家证券交易所的一组高频金融回报（每分钟）：美国银行（BAC）、发现金融服务（Discover）、英特尔半导体制造公司（INTEL）和IAMGOLD公司（IAG）。图1-4为股票市场高频回报的趋势方向或风险管理提供了良好的视角。发生的金融危机在这些数据的大幅飙升中显而易见。我们发现，数据的波动性在短时间内发生了巨大的变化，高波动性的时期有时是相互关联的。这表明波动率本身是非常波动的。股票收益率（每分钟）的波动通常表现为波动性聚类。也就是说，价格的小变动往往伴随着小变动，大变动往往伴随着大变动。volatilyclustering表明，当前信息与不同层次的信息传播高度相关。图1：美国银行证券交易所高频交易观察（perminute）的财务回报。图2：DISCOVER Financial Services证券交易所高频交易观察（perminute）的财务回报。图3：英特尔公司证券交易所高频交易观察（perminute）的财务回报。图4:IAG证券交易所高频交易观察（perminute）的财务回报。3.2地球物理时间序列本研究中使用的时间序列对应于2014年6月26日发生的近期5.2级板内地震后的一组3.0-3.3级地震。