具有背景风险的可能性投资模型

α的近似公式（8）*和α*已应用。推论4.5如果箭头-普拉特指数ru（w）减小，则α*（w） 财富在增加。5可能性背景风险在下文中，我们将研究一个双资产模型，该模型对应于比前一节中更复杂的情况。在模型的初始数据中，除了财富w之外，还承认存在一种可能性类型的“背景风险”。我们的模型将是[12]第68页中模型的可能版本，其中背景风险由一个随机变量描述。在【12】的解释中，背景风险可能与劳动力公司有关。如第4节所述，age nt投资财富赢家债券和股票。债券的收益率是实数r，股票的收益率是模糊数rA。添加由模糊数B表示的背景风险。代理将和α投资于股票和w- α在键中。我们确定了权重函数f。乐图：R→ R是agent的效用函数（C类，递增和凹）。假设对于任何γ，模糊数A和B的等级集的形式为[A]γ=[A（γ），A（γ）]，[B]γ=[B（γ），B（γ）]∈ [0 , 1].我们构造了以下函数：（1）g（α，w，x，y）=w+y+α（x- r） （2）h（α，w，x，y）=u（g（α，w，x，y））=u（w+y+α（x- r） ）函数h（α，w，，..）将被视为二维效用函数（变量为x，y），α，w为参数。然后，模糊数g（α，w，A，B）将是投资组合（w）的值-α、 α）在冲突结束时。

我们还考虑与投资组合相关的可能性预期效用（w- α、 α）：（3）K（α，w）=E（f，h（α，w，A，B）），那么投资者的问题是确定α**其中（4）K（α**, w） =最大αK（α，w）。根据（3）、（2）和定义3.1，我们得到K（α，w）=R[h（α，w，a（γ），b（γ））+h（α，w，a（γ），b（γ））]f（γ）dγ=R[u（g（α，w，a（γ），b（γ））+u（g（α，w，a（γ），b（γ））]f（γ）dγ，从这种形式的K（α，w）中可以立即得到（5）K（α，w）α=Ru′（g（α，w，a（γ），b（γ））（a（γ）- r） f（γ）dγ++Ru′（g（α，w，a（γ），b（γ）））（a（γ）- r） f（γ）dγ（6）K（α，w）α=Ru′（g（α，w，a（γ），b（γ）））（a（γ）- r） f（γ）dγ++Ru′（g（α，w，a（γ），b（γ）））（a（γ）- r） f（γ）dγ乘（5）和（6）我们可以证明：5.1上的命题（i）函数K（α，w）在α中是凹的。（ii）实数α**是（4）i ff的解决方案K（α**,w）α= 0.关于5.2α的建议**≈ α*-Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r） 证明。我们考虑u′（w+y+α（x））的一阶近似-r） ）w周围：u′（g（α，w，x，y））=u′（w+y+α（x- r） （）≈ u′（w）+u′（w）[y+α（x- r） ]f（γ）dγ那么，通过（1）我们可以写K（α，w）α≈R[u′（w）+（b（γ）+α（a（γ））- r） u′（w）]（a（γ）- r） f（γ）dγ+r[u′（w）+（b（γ）+α（a（γ）- r） u′（w）]（a（γ）- r） f（γ）dγ==u′（w）I+u′（w）I+αu′（w）I其中I=r[a（γ）+a（γ）- 2r]f（γ）dγI=R[b（γ）（a（γ））- r） +b（γ）（a（γ）- r） ]f（γ）dγI=r[（a（γ）- r） +（a（γ）- r） ]f（γ）dγ，根据第4.3条的证明，I=E（f，A）- r和I=V ar（f，A）+（E（f，A）- r） 。

我们计算I：I=R[a（γ）b（γ）+a（γ）b（γ）]f（γ）dγ- rRb（γ）+b（γ）f（γ）dγ。根据命题2.7R[a（γ）b（γ）+a（γ）b（γ）]f（γ）dγ=Cov（f，a，b）+E（f，a）E（f，b）thusI=Cov（f，a，b）+E（f，a）E（f，b）-rE（f，B）=Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r） 通过替换I、I和IIin的近似表达式K（α，w）αWegetK（α，w）α≈ u′（w）（E（f，A）- r） +u′（w）[Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r） ]+αu′（w）[V ar（f，A）+（E（f，A）- r） ]通过这最后一个关系，方程的近似解K（α**,w）α=0isα**≈ -u′（w）u′（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r）-Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r） 根据命题4.3α**≈ α*-Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r） 。推论5.3两个代理的Let u，ube一维效用函数。假设u′>0，u′>0，u′<0，u′<0。Letα**, α**是问题（4）的解决方案，如果代理UI比uthenα更厌恶风险**≤ α**.证据采用提案5.2和第4.4条。推论5.4如果u的Arrow–Pratt指数下降，则α**（w） 财富在增加。根据直觉，在股票产生的风险中加入背景风险，应该会使代理人减少对股票的投资，因此α**≤ α*. 以下结果给出了一个必要且有效的条件，使得α**≤ α*.关于5.5α的建议**≤ α*i ffer公司≤Cov（f，A，B）+E（f，A）E（f，B）E（f，B）证明。注意到V ar（f，A）+（E（f，A）- r）≥ 0，根据位置5.2，下一个等效值如下：α**≤ α*i off Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）- r）≥ 0i ff r≤Cov（f，A，B）+E（f，A）E（f，B）E（f，B）6一个具有概率背景风险的可能性模型在本节中，我们将研究一个具有以下初始数据特征的双资产模型：o公司投资收益率为r的财富赢债券和收益率为模糊数A的股票o存在由随机变量YWe fix A加权函数f描述的背景风险。

乐图：R→ R是agent的效用函数（C类，递增和凹）。假设γ的[A]γ=[A（γ），A（γ）]∈ [0, 1]. 我们考虑第5节中定义的函数和hde:g（α，w，x，y）=w+y+α（x- r） ，h（α，w，x，y）=u（g（α，w，x，y））在我们的模型中，优化问题的目标函数将是以下混合d预期效用（对应于混合向量（A，y））：（1）K（α，w）=E（f，h（α，w，A，y）），然后优化问题将是（2）K（α, w） =最大αK（α，w）根据定义3.6，K（α，w）写为（3）K（α，w）=[M（u（g（α，w，a（γ），Y））+M（u（g（α，w，a（γ），Y）））]f（γ）dγ常见计算结果（4）K（α，w）α=R（a（γ）- r） M（u′（g（α，w，a（γ），Y）））f（γ）d（γ）+r（a（γ）- r） M（u′（g（α，w，a（γ），Y）））f（γ）d（γ）（5）K（α，w）α=R（a（γ）- r） M（u′）（g（α，w，a（γ），Y）））f（γ）d（γ）+r（a（γ）- r） M（u′）（g（α，w，a（γ），Y）））f（γ）d（γ）与（4）和（5）可以证明6.1上的命题（i）函数K（α，w）在α中是凹的。（ii）实数α问题（2）的解决方案是否有效K（α,w）α= 0.Letα*是第4节问题（4）和α的解决方案上述问题（2）的解决方案。关于6.2α的建议≈ α*-M（Y）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r） 证明。

使用近似u′（g（α，w，x，y））≈ u′（w）+（y）+α（x-r） ）u′（w）从（4）得到K（α，w）α≈R（a（γ）- r） f（γ）M（u′（w）+u′（w）（Y+α（a（γ））- r） ））dγ+r（a（γ）- r） f（γ）M（u′（w）+u′（w）（Y+α（a（γ））- r） ））dγ=r（a（γ）- r） f（γ）[u′（w）+u′（w）M（Y）+αu′（w）（a（γ）- r） ]dγ+r（a（γ）- r） f（γ）[u′（w）+u′（w）M（Y）+αu′（w）（a（γ）- r） ]dγ表示命题4.3I=r[a（γ）+a（γ）的证明- 2r]f（γ）dγ=E（f，A）- rI=R[（a（γ））- r） +（a（γ）- r） ]f（γ）dγ=V ar（f，A）+（E（f，A）- r） 那么K（α，w）α≈ （u′（w）+u′（w）M（Y））I+αu′（w）I==[u′（w）+u′（w）M（Y）]（E（f，A）- r） +αu′（w）[V ar（f，A）+（E（f，A）- r） ]通过这最后一个关系，方程的最优解K（α,w）α=0是α≈ -u′（w）u′（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r）-M（Y）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r） =α*-M（Y）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r） 推论6.3 Let u，ube两个u′>0，u′>0，u′<0，u′<0和α的一维效用函数, αUAN和u的问题（2）的解。如果代理UI比uthenα更厌恶风险≤ α.证据根据命题6.2和推论4.4。推论6.4如果效用函数f的Arrow–Pratt指数递减为α（w） 财富在增加。证据根据命题6.2和推论4.5。推论6.5α*≤ αi f M（Y）（E（f，A）- r）≤ 0.7具有可能背景风险的概率模型本节讨论的两种资产模型具有以下特点：o代理人将收益率为r的财富赢债券投资于回报率为X的股票o背景风险由模糊数BWe fix A加权函数f表示。乐图：R→ R是agent的效用函数（C类，递增和凹）。假设γ的[B]γ=[B（γ），B（γ）]∈ [0, 1].

我们考虑函数g（α，w，x，y）=w+y+α（x- r） ，h（α，w，x，y）=u（g（α，w，x，y））。h（α，w，，.）是一个二维效用函数，（X，B）是一个混合向量。该模型优化问题的目标函数为以下混合期望效用：（1）K（α，w）=E（f，h（α，w，X，B））与投资组合相关的优化问题（w- α、 α）为（2）K（α▽, w） =最大αK（α，w）根据定义3.6，K（α，w）具有以下表达式K（α，w）=R[M（h（α，w，X，b（γ））+M（h（α，w，X，b（γ））]f（γ）dγ=R[M（u（g（α，w，X，b（γ））+M（u（g（α，w，X，b（γ））]f（γ）dγ从该等式立即得出：（3）K（α，w）α=RM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]f（γ）dγ++RM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]f（γ）dγ（4）K（α，w）α=RM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]f（γ）dγ++RM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） [f（γ）dγ考虑到（3），（4）和u是凹的，我们可以很容易地证明7.1上的命题（i）函数K（α，w）在α中是凹的。（ii）实数α▽是（2）i ff的解决方案K（α▽,w）α= 0.关于7.2解α的近似值的建议▽问题（2）由（5）α给出▽≈ -u′（w）u′（w）M（X）- rM[（X-r） ]-E（f，B）（M（X）-r） M[（X-r） 】。证据这里我们将使用近似值u′（g（α，w，x，y））≈ u′（w）+（y）+（x- r） α）u′（w）。

ThenM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]≈≈ M[u′（w）（X- r） +u′′（w）b（γ）（X）- r） +αu′（w）（X- r） ]==u′（w）（M（X）- r） +u′（w）b（γ）（M（X）- r） +αu′（w）M[（X- r） ]和类似的LYM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]≈≈ u′（w）（M（X）- r） +u′（w）b（γ）（M（X）- r） +αu′（w）M[（X- r） ]由（4）得出K（α，w）α≈ u′（w）（M（X）- r） +u′（w）（M（X）- r） Rb（γ）+b（γ）f（γ）dγ++αu′（w）M[（X- r） ]综上所述K（α，w）α≈ u′（w）（M（X）-r） +u′（w）E（f，B）（M（X）-r） αu′（w）M[（X- r） ]然后方程K（α▽,w）α=0具有近似解α▽≈ -u′（w）u′（w）M（X）- rM[（X-r） ]-E（f，B）（M（X）-r） M[（X-r） 】。备注7.3使用箭头–Pratt指数ru（w），（5）可写为（6）α▽=ru（宽）M（X）- rM[（X-r） ]-E（f，B）（M（X）-r） M[（X-r） 】。推论7.4设u，ube两个u′>0，u′>0，u′<0，u′<0和α的一维效用函数▽, α▽uan和u问题（2）的解。如果agent ui比uthenα更具风险规避性▽≤ α▽.8结论本文提出了三种具有两个风险成分的投资模型：投资风险（股票）和背景风险（劳动收入）。投资风险和背景风险可以是随机变量的概率性，也可以是模糊数的可能性。[1 2]中的概率方法假设两种类型的风险都是随机变量。本文的模型涵盖了其他三种可能性。第一个模型是完全可能的：两种类型的风险都是模糊数。优化问题是根据[16]的可能性预期效用的概念来表述的。其他两种模型是混合的：一种是概率型（随机变量），另一种是可能性型（模糊数）。这里的优化问题是由[17]的混合期望效用的概念来表述的。对于这三种模型，都给出了最优解的近似计算公式。

这些用投资者效用函数的箭头-普拉特指数[3]、[21]和一些可能性或概率指标（预期值、方差、协方差）表示。这些保证了计算效率，但由于近似而产生的误差评估仍然是一个公开的问题。最后，将这些模型应用于重要的实际情况仍然是未来可能研究的主题。这将导致四种投资模式的比较，这可能会向投资者建议使用其中一种模式。参考文献【1】S.S.Appadoo，A.Thavenewaran，《模糊数的可能矩生成函数及其应用》，《模糊集合与系统的进展》，第6卷，第1期，第33-62期，2010年6月【2】K.J.Arrow，《风险承受理论的方方面面》，赫尔辛基：Yri¨oJahnssonin S¨A¨ati¨o，19 65【3】K.J.Arrow，《风险承受理论论文》，荷兰北部，阿姆斯特丹，1970年【4】C.Carlsson，R.Full'er，关于模糊数的可能性均值和方差，模糊集系统。，122，200 1，31 5–326【5】C.C arlsson，R.Full'er，《决策可能性》，Springer，2011【6】C.Carlss on，R.Full'er，P.Majlender，O n可能性相关性，FuzzySets系统。，155，200 5，42 5–445【7】D.Dubois，H.Prade，《模糊y集与系统：理论与应用》，学术出版社，纽约，1980【8】D.Dubois，H.Prade，《可能性理论》，Plenum出版社，纽约，1988【9】D.Dubois，H.Prade，《模糊数的平均值》，模糊集系统。，，198 7，27 9–300【10】N.Doherty，H.Schlesinger，《不完全市场中的最优保险》，J.政治经济学，91，198 3，1045–1051【11】L.Eeckhoudt，C.Gollier，H.Schlesinger，《背景风险和风险承担行为的变化》，计量经济学，641996，683–690【12】L.Eeckhoudt，C.Gollier，H.Schlesinger，《风险下的经济和金融决策》，普林斯顿大学预科，2005【13】R。

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