具有背景风险的可能性投资模型

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英文标题：
《Possibilistic investment models with background risk》
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作者：
Irina Georgescu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In the study of investment problem, aside from the investment risk the background risk appears. Both the investment risk and the background risk are probabilistically described by random variables. This paper starts from the hypothesis that the two types of risk can be represented both probabilistically (by random variables) and possibilistically (by fuzzy numbers). We will study three models in which the investment risk and the background risk can be: fuzzy numbers, a random variabl-a fuzzy number and a fuzzy number-a random variable. A portfolio problem is formulated for each model and an approximate calculation formula of the optimal solution is proved.
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中文摘要：
在投资问题的研究中，除了投资风险外，还出现了背景风险。投资风险和背景风险都用随机变量进行概率描述。本文从假设这两种类型的风险可以用概率（随机变量）和可能性（模糊数）来表示开始。我们将研究三种模型，其中投资风险和背景风险可以是：模糊数、随机变量（模糊数）和模糊数（随机变量）。对每个模型都建立了一个投资组合问题，并证明了最优解的近似计算公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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PDF下载：
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关键词：投资模型 可能性 Applications Quantitative Mathematical

具有背景风险的可能性投资模型irina GeorgescuAcademy of Economic StudiesPiat,a Romana No 6 R 70167，O ciul Postal 22，Bucharest，Romania电子邮件：irina。georgescu@csie.ase.roAbstractIn在投资问题的研究中，除了投资风险外，还出现了背景风险。投资风险和背景风险都用随机变量进行概率描述。本文从假设这两种类型的风险可以用概率（随机变量）和可能性（模糊数）来表示开始。我们将研究三种模型，其中投资风险和背景风险可以是：模糊数、随机变量（模糊数）和模糊数（随机变量）。每个模型都有一个投资组合问题，并证明了最优解的近似计算公式。关键词：可能性风险厌恶、背景风险、模糊数s1简介背景风险对投资者决策的影响是风险管理文献中经常出现的一个主题（参考文献参见[12]、[18]）。[10]、[11]、[12]、[18]、[19]中研究的模型研究了投资风险和背景风险，它们对最优投资组合选择的影响，最优解的计算等。本文的一个基本假设是，投资风险和背景风险都是随机变量。另一方面，在过去几年中，在扎德可能性理论框架下建立的风险管理模型出现了。可能性分布取代随机变量，通常的概率指标（期望值、方差、协方差）被适当的概率指标取代[1]、[5]、[6]、[8]、[13]。

一类重要的可能性分布由模糊数[7]、[8]表示，这些模型大多基于模糊数。本文提出了一种可能性背景下的背景风险模型方法。在构建模型时，我们将注意到将投资风险和背景风险联系起来的四种方法。投资风险背景风险1概率可能性2可能性可能性3可能性可能性4概率可能性案例1在[12]第68页中处理。本文将研究其他三个案例。对于每一个模型，都将制定一个关于可能预期效用[1 6]或混合预期效用[17]的优化问题，并证明解的最大计算公式。本文的组织结构如下。第2节介绍了模糊数及其运算和指标（[5]、[7]、[8]、[15]）。在第3节多维可能性扩展效用中，回顾了混合预期效用及其一些性质（[16]、[17]）。这两个概念将用于定义第5节中模型的目标函数- 第4节包含一个不含背景风险的两态可能性模型。它是[12]概率模型的可能性类比，代表了下一节中主题的起点。代理人将初始财富投资于ris k——自由资产（债券）和风险资产（股票）之间，应找到能为其带来最大收益的投资组合。该模型的特点是，股票收益率是一个模糊数，而不是[12]中所述的随机变量。建立了一个可能性条件下的投资组合问题，研究了其最优解及其近似计算。在第5节中，该投资模型包含可能的背景风险。

在这里，投资风险和背景风险都是模糊数。投资组合价值将用这两个模糊数表示，模型的目标函数将是[16]意义上的可能性预期。近似值α**最优解的近似值将表示为w.r.t.近似值α*第4节问题的最优解和模糊数的一些可能指标（经验值、方差、协方差）。接下来几节中的投资模型结合了概率论和可能性理论：在第6节中，投资风险是一个模糊数，背景风险是一个随机变量，而在第7节中，投资风险成为一个随机变量，背景风险成为一个模糊数。这两个模型的目标函数被建立为混合预期效用[17]，优化问题的近似解由可能性指标和概率指标的组合表示。在本文的所有模型中，都研究了最优解随投资者风险厌恶程度的变化方式。2模糊数的可能性指标在本节中，我们回顾了[7]、[8]、[5]模糊数的定义、属性及其一些性质。此外，我们还将介绍模糊数的主要指标（期望值、变量和协方差）（见[4]、[6]、[9]、[20]、[23]、[26]）。设X是一组状态。X的模糊子集是函数A:X→ [0, 1]. 如果存在x，则模糊集A是正常的∈ X使得A（X）=1。模糊集A的支持度为supp（A）={x∈ X | A（X）>0}。我们认为X=R。

对于γ∈ [0，1]，R的模糊子集的γ–水平集αγ由αγ定义={x∈ R | A（x）≥ γ} 如果γ>0cl（supp（A）），如果γ=0cl（supp（A））是集supp（A）的拓扑闭包 R、 如果[A]γ是R中任意γ的凸子集，则称模糊集A为模糊凸集∈ [0, 1].定义2.1如果A是正态、模糊凸、连续且有界支撑，则R的模糊子集A称为模糊数。如果A是一个模糊数，[A]γ=[A（γ），A（γ）]表示所有γ∈ [0，1]和[a（0，a（0）]是a的支撑。模糊点是一个模糊数a，支撑有一个元素。设A，B为两个模糊数，λ∈ R、 通过应用Zadeh的扩展原理[25]，我们通过（A+B）（x）=supy+z=xmin（A（y），B（z））（λA）（x）=supλy=xA（y）来定义模糊数A+B和λA，这样，具有真实数的运算扩展到具有模糊数的运算。实数的大多数性质都是为实数保留的。如果[A]γ=[A（γ），A（γ）]，[B]γ=[B（γ），B（γ）]，那么[A+B]γ=[A（γ）+B（γ），A（γ）+B（γ）]，[λA]γ=[λA（γ），λA（γ）]，如果λ≥ 如果λ<0，[λA]γ=[λA（γ），λA（γ）]。如果A，Anare fuzzy数和λ，λn∈ 然后可以考虑模糊数nxi=1λiAi。一个非负单调递增函数f:[0，1]→ 如果R满足正态条件rf（γ）dγ=1，则R为加权函数。我们定义了模糊数a和加权函数f，使得对于llγ，[a]γ=[a（γ），a（γ）]∈ [0, 1].定义2.2【13】A的f加权概率预期值定义为（f，A）=R（A（γ）+A（γ））f（γ）dγ。如果f（γ）=γ的2γ∈ [0，1]那么E（f，A）是[4]中引入的可能性平均值。如果A，…，则在2.3中提出建议，Anare模糊数与λ。

，λn∈ R thenE（f，nXi=1λiAi）=nXi=1λiE（f，Ai）。备注2.4如果A是模糊数，则E（f，A）∈ [a（0），a（0）]=补充（a）。定义2.5【1】，【26】A的f加权可能性方差由v ar（f，A）=R[（A（γ））定义- E（f，A））+（A（γ）- E（f，A））]f（γ）dγ。定义2.6【1】，【26】设A，B为两个模糊数，使得对于任意γ，【A】γ=【A（γ），A（γ）】，【B】γ=【B（γ），B（γ）】∈ [0, 1]. A和B的f加权协方差由cov（f，A，B）=R[（A（γ））-E（f，A））（b（γ）-E（f，B））+（a（γ）-E（f，A））（b（γ）-E（f，B））]f（γ）dγ。对于f（γ）=2γ，γ∈ [0，1]可能性方差和可能性方差的概念出现在[4]中。关于2.7[15]Cov（f，A，B）=R[A（γ）B（γ）+A（γ）B（γ）]f（γ）dγ的建议-E（f，A）E（f，B）推论2.8 V ar（f，A）=R[A（γ）+A（γ）]f（γ）dγ- E（f，A）3多维预期效用在本节中，我们回顾了多维可能性预期效用[16]和混合预期效用[17]的定义和一些性质。让u：Rn→ R是C类的n维效用函数。如果~X=（X，…，Xn）是一个随机向量，那么u（~X）=u（X，…，Xn）是一个随机变量，其期望值M（u（~X））称为~X w.R.t.u的（概率）期望效用。概率期望效用的概率对应物是与可能性向量相关的概率期望效用，加权函数和效用函数。可能性向量的形式为A=（A，…，An），其中每个复合元都是一个模糊数。我们确定了权重函数f和效用函数u:Rn→ R、 设~A=（A，…，An）是一个可能性向量，使得对于任何γ，[Ai]γ=[Ai（γ），bi（γ）]∈ [0，1]和i=1，n、 我们表示~a（γ）=（a（γ），an（γ））和~b（γ）=（b（γ），bn（γ））。当随机变量X出现时，可以推断它被报告到概率空间(Ohm, K、 P）其中Ohm  R

X的预期值将表示为M（X）。本文中的所有效用函数都将具有C类定义3.1[16]A w.r.t.f和u的可能预期效用由（1）E（f，u（~ A））=r[u（~ A（γ））+u（~ b（γ））]f（γ）dγ定义。备注3.2如果n=1，则发现[14]中的一维预期效用定义为：（2）E（f，u（A））=R[u（A（γ））+u（b（γ））]f（γ）dγ。备注3.3设n=1。（i） 如果u：R→ R是E（f，u（A））=E（f，A）时的单位函数。（ii）如果u（x）=（x- E（f，A））表示所有x∈ R然后E（f，u（A））=V ar（f，A）。（iii）如果λ∈ R和u（x）=λ，对于所有x∈ R然后E（f，u（A））=λ。备注3.4设n=2，u（x，y）=（x- E（f，A））（y- E（f，A））表示所有x，y∈ R、 然后E（f，u（A，A））=Cov（f，A，A）。关于3.5[16]的建议设g，h为两个n维效用函数和a，b∈R、 如果u=ag+bh，则E（f，u（~ A））=aE（f，g（~ A））+bE（f，h（~ A））。混合向量的形式为（~ A，~ X）=（A，…，An，X，…，Xm），其中~ A=（A，…，An）是概率向量，~ X=（X，…，Xm）是随机向量。让u：Rn+m→ R是一个效用函数，（~ a，~ X）是一个混合向量。假设γ的[Ai]γ=[Ai（γ），bi（γ）]∈ [0，1]和i=1，n、 对于任何γ∈ [0，1]wedenoteu（~ a（γ），~ X）（ω）=u（a（γ），an（γ），X（ω），Xn（ω）），ω∈ Ohmu（~ b（γ），~ X）（ω）=u（b（γ），bn（γ），X（ω），Xn（ω）），ω∈ Ohm通过这些，我们定义了两个函数u（~ a（γ），~ X）：Ohm → R和u（~ b（γ），~ X）：Ohm →显然是随机向量。定义3.6【17】设（~ A，~ X）为混合向量。（A，~ X）w.r.t.f和u的混合预期效用由（3）E（f，u（~ A，~ X））=r[M（u（~ A（γ），~ X））+M（u（~ b（γ），~ X））]f（γ）dγ定义。混合扩展效用同时推广了可能性期望效用和概率期望效用。关于3.7[17]的建议设g，h为两（m+n）维效用函数anda，b∈ R

如果u=ag+bh，则E（f，u（~ A，~ X））=aE（f，g（~ A，~ X））+bE（f，h（~ A，~ X））。4可能性投资模型【12】第65页介绍了概率投资模型，其中在固定期限内，代理人将财富投资于无风险资产和风险资产。无风险资产被解释为政府债券，风险资产被解释为股票。瑞斯基资产的回报率是一个随机变量。在实际期限结束时，代理人将全部财富进行投资。代理人的问题在于发现资产和股票之间的分配，从而实现最大收益。在本节中，我们将研究[12]模型的可能性版本，该模型基于风险资产回报率是模糊数的假设。设r为债券的无风险回报，x为股票回报的价值。代理人将α投资于s股票和w- α在键中。根据第66页【12】的规定，投资组合的价值（w- α、 α）期末为（w- α） （1+r）+α（1+x）=w（1+r）+α（x- r） =w+α（x- r） 其中，w=w（1+r）是从债券中获得的未来财富。在我们研究的可能性模型中，x是一个模糊数a的值。我们将函数（1）g（α，w，x）=w+α（x- r） 如果模糊数A是股票收益率，那么投资组合的价值（w-α、 α）在每iod的末尾由模糊数g（α，w，A）=w+α（A）描述- r）。我们确定了权重函数f。

我们假设代理具有递增和凹的效用函数u:R→ C类R，[A]γ=[A（γ），A（γ）]，γ∈ [0, 1].我们构造了函数：（2）h（α，w，x）=u（g（α，w，x））=u（w+α（x- r））然后是与投资组合相关的平均收益（w- α、 α）将是与f、A和h相关的可能预期效用：K（α，w）=E（f，h（α，w，A））=R[h（α，w，A（γ））+h（α，w，A（γ））]f（γ）dγ乘以（2）（3）K（α，w）=R[u（g（α，w，A（γ））+u（g（α，w，A（γ））]f（γ）dγ投资者的选择表m*使得（4）K（α*, w） =4.1（i）上的最大αK（α，w）命题函数K（α，w）在α中是凹的。（ii）实数α*是（4）i fff的最佳解决方案K（α*,w）α= 0.证据（i） 通过（3）我们获得K（α，w）α=R[u′（g（α，w，a（γ）））g（α，w，a（γ））α+u′（g（α，w，a（γ）））g（α，w，a（γ））α] f（γ）dγButg（α，w，x）α=x- r、 因此（5）K（α，w）α=R[u′（g（α，w，a（γ）））（a（γ）- r） +u′（g（α，w，a（γ）））（a（γ）-r） ]f（γ）dγ从（5）开始，然后是（6）K（α，w）α=R[u′（g（α，w，a（γ）））（a（γ）-r） +u′（g（α，w，a（γ）））（a（γ）-r） ]f（γ）dγ函数u是凹的，因此u′（g（α，w，a（γ）））≤ 0和u′（g（α，w，a（γ）））≤0，因此（6）表示K（α，w）α≤ 0表示任何α。那么K（α，w）是凹面α。（ii）遵循（i）。以下结果是Mossin（21）定理的可能版本。4.2中的建议假设u′>0且u′<0。（i） 如果E（f，A）=r，则α*= 0。（ii）如果r<E（f，A），则α*> 0.证明。（i） 我们不认为g（0，w，x）=w，因此从（5）可以得出K（0，w）α=R[u′（w）（a（γ））- r） +u′（w）（a（γ）- r） ]f（γ）dγ=u′（w）r[a（γ）+a（γ）- 2r]f（γ）dγ=u′（w）（E（f，A）- r） 如果E（f，A）=r，则K（0，w）α=0，然后根据命题4.1（ii），α*= 0是（4）的最佳解。（ii）荒谬地假设α*≤ 从r<E（f，A）和u′（w）>0，它如下K（0，w）α=u′（w）（E（f，A）-r） >0。由于u′小于0，K（α，w）α在α中减少。相应地，α*≤ 0表示0=K（α*,w）α≥K（0，w）α> 0.

矛盾表明α*> 以下结果建立了最优解α的近似计算公式*问题（4）的。关于4.3α的建议*≈ -u′（w）u′（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r） 证明。我们将一阶泰勒近似写成u′（w+α（x- r） ）在w周围：u′（g（α，w，x））=u′（w+α（x- r） （）≈ u′（w）+α（x- r） u′（w）然后，考虑ACCOUNT（5）K（α，w）α≈R[（u′（w）+α（a（γ））- r） u′（w））（a（γ）- r） ]f（γ）dγ++r[（u′（w）+α（a（γ）- r） u′（w））（a（γ）- r） ]f（γ）dγ，表示i=r[a（γ）+a（γ）- 2r]f（γ）dγI=R[（a（γ））- r） +（a（γ）- r） ]f（γ）dγ如下K（α，w）α≈ u′（w）I+αu′（w）I。我们计算I和I：I=Ra（γ）+a（γ）f（γ）dγ- r=E（f，A）- rI=R[α（γ）+α（γ）- 2r（a（γ）+a（γ））+2r]f（γ）dγ=R[a（γ）+a（γ）]f（γ）dγ- 2rRa（γ）+a（γ）f（γ）dγ+rBy推论2。8，R[a（γ）+a（γ）]f（γ）dγ=V ar（f，a）+E（f，a），thusI=V ar（f，a）+E（f，a）- 2rE（f，A）+r=V ar（f，A）+（E（f，A）- r） 那么K（α，w）α≈ u′（w）（E（f，A）- r） +αu′（w）[V ar（f，A）+（E（f，A）- r） ]考虑到这一关系，方程式的近似解K（α*,w）α=0的形式为α*≈ -u′（w）u′（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r） 。我们都从[2]、[3]、[2]中得到了效用函数u的箭头-普拉特指数：（7）ru（w）=-u′（w）u′（w）对于任何w∈ R、 然后从命题4.3得出（8）α*≈ru（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r） 考虑两个具有一维效用函数u的agent，通常u′>0，u′>0，u′<0，u′<0。我们用r（w）=ru（w）和r（w）=ru（w）表示u和u的Arr-ow-Pratt指数。我们从[12]第14页回忆起，u比u-ffr（w）更厌恶风险≥ r（w）表示任何w∈ R、 推论4.4 Letα*, α*对于效用函数uan和u，是问题（4）的最优解。如果代理ui比uthenα更厌恶风险*≤ α*.证据