随机波动率的贝叶斯估计方法

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英文标题：
《Approaches Toward the Bayesian Estimation of the Stochastic Volatility
  Model with Leverage》
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作者：
Darjus Hosszejni and Gregor Kastner
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The sampling efficiency of MCMC methods in Bayesian inference for stochastic volatility (SV) models is known to highly depend on the actual parameter values, and the effectiveness of samplers based on different parameterizations varies significantly. We derive novel algorithms for the centered and the non-centered parameterizations of the practically highly relevant SV model with leverage, where the return process and innovations of the volatility process are allowed to correlate. Moreover, based on the idea of ancillarity-sufficiency interweaving (ASIS), we combine the resulting samplers in order to guarantee stable sampling efficiency irrespective of the baseline parameterization.We carry out an extensive comparison to already existing sampling methods for this model using simulated as well as real world data.
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中文摘要：
众所周知，随机波动率（SV）模型贝叶斯推理中MCMC方法的采样效率高度依赖于实际参数值，基于不同参数化的采样器的有效性差异很大。我们推导了具有杠杆作用的实际高度相关SV模型的中心和非中心参数化的新算法，其中允许收益过程和波动过程的创新相关联。此外，基于辅助充分交织（ASIS）的思想，我们将得到的采样器组合在一起，以保证稳定的采样效率，而与基线参数化无关。我们使用模拟数据和真实数据对该模型的现有抽样方法进行了广泛比较。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Approaches_Toward_the_Bayesian_Estimation_of_the_Stochastic_Volatility_Model_wit.pdf (317.42 KB)

2022-6-11 13:11:18 上传

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关键词：贝叶斯估计 波动率 贝叶斯 econometrics Econophysics

利用LeverageDarjus Hosszejni对股票波动率模型进行贝叶斯估计的方法*Gregor Kastner+2019年2月1日，在编辑上做了很小的修改，本文的刊名为：Darjus Hosszejni和Gregor Kastner。杠杆随机波动率模型的贝叶斯估计方法。在Raffaele Argiento、Daniele Durante和Sara Wade的《编辑、贝叶斯统计和新一代——BAYSM 2018精选贡献》，第296卷《斯普林格数学与统计学报》，第75-83页，Cham，2019年。斯普林格。内政部：10.1007/978-3-030-30611-3 8。摘要众所周知，MCMC方法在随机波动率（SV）模型贝叶斯推理中的采样效率高度依赖于实际参数值，基于不同参数化的采样器的效率差异很大。我们推导了具有杠杆作用的实际高度相关SV模型的中心和非中心参数化的新算法，其中允许收益过程和波动过程的创新相关联。此外，基于辅助采样效率交织（ASIS）的思想，我们将得到的采样器组合在一起，以确保稳定的采样效率，而不考虑基线参数化。我们使用模拟数据和真实数据对该模型的现有抽样方法进行了广泛的比较。关键词：辅助效率交织策略（ASIS）、辅助混合抽样、贝叶斯推理、马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）、状态空间模型。*奥地利维也纳经济和商业大学。电子邮件：darjus。hosszejni@wu.ac.at.+奥地利维也纳经济和商业大学。

电子邮件：gregor。kastner@wu.ac.at.1简介和模型规格-短期波动率（SV）模型（Taylor，1982）是一种越来越流行的金融回报数据建模方法。基本SV模型假设对数波动率具有自回归结构，它能够匹配经验上可观察到的收益序列中的低序列自相关，但平方收益序列中的高序列自相关。带杠杆的SV模型（SVL、Harvey和Shephard，1996）通过允许收益率序列和对数波动率序列的增量相互关联，扩展了SV模型。这种相关性模拟了真实世界的一种现象，即收益率与其波动率之间的不对称关系。在中心参数化（C）中，SVL通常表示为asyt=exp（ht/2）εt，ht+1=u+Д（ht- u）+σηt，cor（εt，ηt）=ρ，（1）对于t=1，T，其中εT，ηT~ i、 识别号（0，1）。唯一观察到的变量是~y=（y，…，yT），通常是一些平均的财务回报序列。假设潜在对数方差~h=（h，…，hT）为AR（1）结构，平均u、持久性Д和增加的波动性σ。杠杆效应由ρ表示，根据假设，在基本SVM模型中ρ为零。等效规范称为非中心参数化（NC），可通过替换▄ht=（ht- u）/σ进入（1），从而将u和σ从状态方程移动到观测方程。

由此得出的公式为：yt=exp（（u+σht）/2）εt，~ht+1=Дht+ηt。（2）从文献中选择常见的先验：（Д+1）/2~ β（aИ，bД），（ρ+1）/2~β（aρ，bρ），σ~ γ（ασ，βσ），u~ N（μu，σu），h~ N（u，σ/（1- Д））（Fr–uhwirthSchnatter和Wagner，2010；Kastner和Fr–uhwirthSchnatter，2014；Omori等人，2007）。虽然SV模型可以通过R（R Core Team，2018）包stochvol（Kastner，2016）访问，但它并不能满足杠杆效应的需要，而且据我们所知，SVL没有在自由开放的源代码环境中开箱即用的实现。我们的目标是使用易于使用的MCMC采样器扩展该包，该采样器在各种数据集上都表现良好。为此，我们从实用的角度出发，通过大量的仿真研究，对各种采样算法进行了比较。在这样做的过程中，需要注意的是，stochvol通常用作层次模型（如向量自回归或多元（因子）SV模型）的子样本。因此，为了以类似的方式使用扩展包，不优选自适应算法，因为它们的自适应状态对于在更大的MCMC方案中实现来说可能很麻烦。2估计策略估计h的最新解决方案（Omori et al.，2007）基于将（2）中的观测方程线性化，并对每个时间点分别采用（logεt，ηt）联合定律的十分量双变量高斯混合近似，从而产生一个新的潜变量数组st∈ {1，…，10}，t=1，T，对混合成分进行编码。由此产生的条件高斯状态空间可以轻松写入*t=u+σ▄ht+m（1）st+v（1）stwt，▄ht+1=Д▄ht+p1- ρzt+dtρm（2）st+v（2）stwt,（3） 其中y*t=对数（yt），dt=sgn（yt），wt，zt~ i、 对于t=1，…，i.d.N（0，1）。

，T和m（i）j，v（i）jare模型独立常数，对于i=1、2和j=1，10，Omori等人（2007）定义。设~θ=（Д，ρ，σ，u），和~ s=（s，…，sT）。auxiliarymodel（AUX）的采样算法包括重复以下步骤步骤1：使用逆变换采样绘制~s | ~y、~h、~977;，后验概率计算如Omori et al.（2007）第2.3.2节所述步骤2：通过一个独立的Metropolis Hastings（MH）步骤，利用ν，ρ，σ| ~y，~s坍塌分布的拉普拉斯近似值作为方案，绘制Д，ρ，σ| ~y，~s。验收比的计算包括卡尔曼滤波评估、数值优化和数值差异步骤3：使用高斯模拟平滑绘制u| ~y、~s、Д、ρ、σ，然后绘制~h | ~y、~s、~977;（Carter和Kohn，1994；Fr–uhwirth Schnatter，1994）。这种方法至少会出现三个问题。首先，由于第2步中涉及卡尔曼滤波评估和数值优化部分，因此取样器的执行时间明显比具有更简单建议的方法的运行时间差，例如基于全条件分布采样的MH算法。根据我们的测量，步骤2需要大约80%的总运行时间。其次，对于extremedata集，采样器可能会陷入一种状态，无法在多次迭代中接受新状态。第三，也是最后一点，数值优化步骤对其配置非常敏感，可能会在foundmode返回负的半有限Hessian矩阵。因此，对于参数采样，我们用随机游走MH（RWMH）方法代替步骤2，该方法在不诉诸辅助混合近似的情况下估计（1）或（2）。

对于潜在向量，我们再次使用AUX的高效步骤3作为建议，然后使用MH接受-拒绝步骤来纠正模型（1）和（3）之间的差异。如SV所示（Kastner和Fr–uhwirth Schnatter，2014；McCausland et al.，2011），基于不同参数化的采样器由于依赖结构的改变，在相同数据集上的采样效率可能会有很大差异。为了利用这一现象，辅助效率交织策略（ASIS、Yu和Meng，2011）可以利用C和NC的采样器，因此ASIS可以提供比仅基于单个参数的采样器更高的有效样本量。RWMH采样算法通过重复以下步骤来估计SVL第1步：画~h | ~y、~θ。A候选人~h*建议使用AUX采样器绘制~s | ~y、~h、~977;，然后绘制~h | ~y、~s、~977;，如算法AUX的步骤1和3所述。随后，~小时*接受概率最小1台，pC~h类*| ~y、 ~θpC机~h | ~ y，~ y帕~h | ~ y，~ y帕~h类*| ~y、 ~θ,式中，Pc和pAdenote分别为规范（1）和（3）产生的相应后验概率步骤2：绘制~θ| ~y，~ h。为了避免可能存在问题的概率分布截断，参数向量~θ从(-1, 1)×(-1, 1)×(0, ∞) x R到Rby，应用变换x 7→ 0.5对数（（1+x）/（1- x） ）到Д和ρ，并取σ的对数。然后，在得到的无界空间中，提出了一种简单的四维高斯随机游动。其创新方差矩阵元素在对角线上固定为0.1，在其他地方固定为零如果应用了ASIS，则在步骤2之后，使用σ，u的新值计算▄~h=（▄h，▄，▄hT），然后从▄y，▄~h中提取新值。

最后，为了返回到原始参数化，从~h和σ，u的新值重新计算~h。ASIS是RWMH采样器的自然扩展，用于中心参数化和非中心参数化。然而，对于AUX，不同参数化中的重采样对采样效率有害，原因有二。首先，在第2步中，从独立于~h的折叠分布中提取参数Д、ρ和σ。因此，ASIS在采样效率方面仅提供微不足道的增益。其次，如果将ifASIS应用于AUX，则将重复步骤2中计算最昂贵的部分，从而将执行时间增加约80%。3模拟研究为了评估我们的参数向量估计算法的效率，我们使用数据生成过程（DGP）广泛网格中的SVL模拟数据。a{0，0.5，0.9，0.95，0.99}×上的参数Дtrue，ρtrue，σtruevary{-0.6, -0.3、0、0.3、0.6}×{0.1、0.3、0.5}网格。为了可读性，uTrue设置为-在所有情况下均为9，导致75个不同的参数设置。这一选择涵盖了之前调查的范围（Jacquieret al.，2004；Kastner和Fr–uhwirth Schnatter，2014）。分别在磨合、适应阶段后，从后验分布中获得50000个MCMC图。我们将此练习用于长度为300的十个数据集和长度为3000的十个数据集，前八个采样算法：AUX、Stan-C、Stan-N、JAGS-C、JAGS-N、RWMH-C、RWMHN和RWMH-ASISx5，其中C和N分别表示居中和非居中参数化，而ASISx5表示算法在每次绘制~h后重复ASIS的两个步骤五次，一般来说，我们发现这两个ASIS步骤只需执行一次就可以了。

请注意，尽管由于其适应阶段的原因，它们不能满足我们的需求，但我们将Stan（Carpenter et al.，2017）和JAGS（Plummer，2003）作为基准，所有报告的结果都基于适应结束后的链。我们将整个模拟研究中的先验值确定为aД=20，bД=1.5，aρ=3，bρ=6，ασ=0.5，βσ=0.5，u=-10，且σu=100。先前的超参数Д、σ和u是从之前的研究中选择的（Kastner和Fr–uhwirth Schnatter，2014；Nakajima和Omori，2009），而ρ的信息量较小的先验值是为了改进参数网格极值中Stan-C和AUX的估计过程。然而，由于空间限制，此处未报告的结果表明，当T=300时，与单一周期相比，ρ的后验分布仅受到轻微影响，而当T=3000时，差异几乎不明显。由此产生的12000条MCMC链是在由400个运行R版本3.4.3的Intel E5 2.3 GHz内核组成的计算机集群上计算的。Stan和JAGS模型使用rstan（Carpenter et al.，2017）版本2.17.3和rjags（Plummer，2003）版本4-6进行估算。RWMH采样器和AUX基于我们的计算效率Rcpp（Eddelbuettel和Fran,cois，2011）实施。表1总结了采样器的典型运行时间。效率因子和有效样本量是使用coda（Plummer et al.，2006）软件包计算的，数据分析和可视化是在tidyverse（Wickham，2017）软件包的帮助下完成的。我们通过无效因子（IF）评估不同竞争对手的统计效率，IF是一种综合自相关时间τ的估计器，由τ=1+2P给出∞t=1ρauto（t），其中ρauto（t）表示滞后t处的自相关函数。

ForStan-C Stan-N JAGS-C JAGS-N RWMH RWMH-ASISx5 AUX90–642 59–441 22–31 50–106 6–21 14–29 44–86表1：磨合后50000次抽签的典型执行时间（分钟）（当=3000时）。显示的值对应于所有挂钟时间的第一个和第九个十分位数。当使用JAGS或STAN时，参数化的选择会影响执行时间，因此在这些情况下，C和NC的运行时会分别显示。对于MCMC样本S，此处报告的IFs计算为IFs=nS/ESSS（Kastner和Fr–uhwirth Schnatter，2014），其中nSis代表S的大小，ESSS代表S的有效样本大小，连续不相关样本的大小与S具有相同的蒙特卡洛标准误差。一个好的采样器具有较低的序列相关性，因此目的是提供低IF的样本，或者换句话说，高ESS。在实践中，计算速度对计算效率相当重要。因此，最终评估基于有效抽样率（ESR），定义为ESS除以执行时间。我们注意到，由于实现不一致，将运行时纳入算法评估可能会有问题（Kriegel et al.，2016）；然而，由于我们的目标之一是软件包，我们认为计算速度是我们研究的一个重要部分。3.1折叠与全条件采样Gaux采用了一种众所周知的技术，通过使用折叠分布进行采样Д、ρ和σ，提高MCMCSimulation的统计效率。这意味着一些变量被边缘化，以减少链中的序列依赖性（Liu，1994）。另一方面，ASIS利用了能够重组依赖性的优势。哪种技术在实践中更优越在很大程度上取决于计算方面。

图1显示了RWMH-ASISx5和AUX输出的自相关图，基于选定的数据集，显示了参数u、Д、ρ和σ的自相关图，从而举例说明了问题。图中还显示了执行时间：在两列中，实线的数量表示在0.1秒内绘制的平均样本数。因此，在每个方面，最右侧实线的高度显示了给定参数和采样器的ESR。虽然AUX DecayFast的自相关函数比RWMH-ASISx5的自相关函数快，但后者通过其速度来抵消其缺点。然而，请注意，不同的DGP往往会产生质量不同的图片，因此在AUX和RWMH-ASISx5之间进行选择非常重要。3.2效率概述最小ESR是指对Д、ρ、σ和u的ESR进行的最小值，因此，它测量了发现关节后p（～y）的速度。为了提供WMH- ASISx5AUX俬俬ρσ0 50 100 150 0 50 100 1500.000.250.500.751.000.250.500.751.000.000.250.500.751.000.000.250.500.751.00LagACFAutocorrelograms由RWMH绘制-ASISx5和AUX图1：使用RWMH-ASISx5和AUX的u、Д、ρ和σ的后向绘制的自相关函数，用于说明性示例，其中Дtrue=0.95，ρtrue=-0.3，σtrue=0.3，T=300。线型表示蒙特卡罗模拟的速度：实线数等于0.1秒内绘制的平均样本数。图2显示了每个采样器和策略的最小ESR，以及ρtrue=-0.3和T=3000。考虑到Stan和JAGS是通用概率建模框架，与AUX和我们的RWMH实现相比，它们的性能令人惊讶，因为AUX和RWMH实现是专门为手头的模型开发的。然而，缺乏一种表现最佳的方法是很容易抓人的。