信贷指数时间序列分析的霍克斯过程：随机性如何

现在可以使用任何非线性启发式算法来最小化L*t（β）导致最大似然估计为：min（u，α，β）Lt（u，α，β）=min（β）min（u，α）Lt（u，α，β）（7）我们将拟合方法总结如下：算法1两阶段Hawkes似然优化（2SHLO）从Nelder-Mead方法每一步的平均到达时间β开始，直到L的每一个所需计算的收敛Do*t（βi）从随机（u，α）开始使用加速梯度下降优化Lt（u，α，βi）检索得到的L*t（βi）结束前移后移（β，u*(β), α*（β） ）3.3优度强度为λ的点过程的补偿函数∧定义为 t型≥ 0，∧（t）=Rtλ（s | Ft）ds。为了评估我们估计的拟合优度，我们使用残差点过程分析定理，如【5】所述：如果我们称m=min（u，α，β）Lt（u，α，β），以下不等式适用于所有（u，α，β）：m≤ Lt（u*(β), α*(β), β) ≤ Lt（u，α，β）3.2紧随其后，取不等式每侧（u，α，β）的最小值。Bahamou，A.、Doumergue，M.、Donnat，P.转换序列{t*k} ={∧（tk）}是单位速率泊松过程的实现，当且仅当原始序列{tk}是由λ定义的点过程的实现。通过使用QQ图和密度函数的比较，将转换后的估计时间与标准泊松过程进行比较，可以检验拟合优度。4结果-2SHLO在实践中，我们一直在Python 3中运行我们的实验，依靠tick【16】Library for Hawkes process simulations、AGD optimization和分析工具。

2SHLOis还受益于著名的scipy Scientic软件包。为了提供拟合方法计算性能的概念，我们提到，平均而言，拟合训练长度为t=10000的二维指数霍克斯过程需要4.69秒。4.1在模拟数据上验证2SHLO性能以生成霍克斯过程，有几种方法可用（如[2]所总结），或者基于细化，时间变化或聚类算法。我们在此使用了tick函数进行模拟，该模拟基于（Ogata，1981，p.25，算法2）[11]中描述的细化算法。为了验证fitting算法的性能，我们在模拟的2D Hawkes时间戳上运行了一系列100次模拟和fitting程序，使用不同的结束时间T，以具有不同的训练大小，并使用以下模拟参数：u=0.10.2α =0.5 0.000.4 0.3β =0.3 0.000.2 0.2图3证实，对于增加训练集中的N个节拍数，估计参数收敛到其真正的最优值。这让人放心，当霍克斯过程得到很好的描述，并且确实能够渐近地恢复最佳参数时。4.2校准“中频”信贷衍生品交易的单变量霍克斯过程我们在2017年1月15日至2017年12月15日期间，对三个指数ITXEB、ITXe和ITXEX上报告的交易数据进行了一维霍克斯过程的修改。修改包括在两天之间的间隙中施加零强度值和交易日期间的标准指数核格式，以说明隔夜没有交易活动。因此，对模型进行了轻微修改，并在附录部分进行了详细描述。通过丢弃不反映市场信号的交易（如用于信用指数时间序列分析的滚动和切换交易Shawkes过程）来清理交易数据图。3.

用2SHLOon模拟数据集训练的二维指数Hawkes过程的估计参数，其长度随尾递增。在做出这种建模选择之前，我们尝试了一个更为复杂的模型，该模型解释了C.G.Bowsher的工作中所述的隔夜溢出效应，其中作者根据前一交易日结束时强度的随机部分的水平来递归定义强度，从而随时间延长了交易日的影响。拟合过程导致溢出效应的零参数估计，从而促使选择上述模型修正。为了验证我们估计值的“普遍性”，我们在2018年1月15日至2018年7月15日的样本外时期，使用估计参数测试了霍克斯模型的优度。该模型很好地拟合了3个指数时间序列（见图4），表明每个序列都有稳定的内在参数，这些参数表征了交易到达时间的模式。估计u-1估计α估计β-1表2的TXEB 22 min 0.62 20 minITXEX 24 min 0.60 23 minITXES 58 min 0.65 36。期内（2017-01-15至2017-12-15）ITXEB、ITXES和ITXEX的估计参数4.3衡量交易量的影响在考虑信贷指数的交易量分布时，明确列出了交易量集群。例如，对于指数itxeb，可以区分三个仓位：“小”交易、“中”交易和“大”交易（见图5）。Bahamou，A.、Doumergue，M.、Donnat，P.图4。

霍克斯过程以2017年数据为基础，并以2018年数据为基础对每个指标进行测试。采用多变量霍克斯过程模型，通过考虑3个计数过程，按交易量大小划分交易，对交易量影响进行建模。通过使用与上一节相同的模型来考虑隔夜差距，根据2018年数据训练的拟合算法得出以下参数估计值（u和β以分钟表示-1) :u=α =0.40 0.07 0.570.00 0.53 0.210.00 0.16 0.59β=12 21 5371 18 1253 14 34在图5中可视化对应于α值的分支比率，可以对已确定的模型进行一些直观的解释，因为它表明大额交易是纯粹的自激过程，它们对触发小额交易有重大影响，我们还注意到，所有交易类别都有一个不可忽视的自激成分。4.4衡量交易指数之间的交叉作用我们再次采用了具有零强度隔夜模型的多变量霍克斯过程来研究指数交易时间之间的交叉作用。根据2017年数据训练的拟合算法得出以下参数估计值（u和β以分钟表示-1) :u=α =0.44 0.25 0.200.23 0.37 0.180.07 0.08 0.45β=23 9 2114 13 3139 17 25信贷指数时间序列分析的霍克斯过程图。5、一周交易期内的交易规模分布2018-05-21:2018-05-25（左；3个交易量bin系列中的3D指数Hawkes的邻接矩阵（αi，j）（针对指数itxeb）。从图6中我们可以注意到，itxes指数受其他指数的影响最小，这些指数具有非常低的交叉激励分量和较高的自激分量，这是由于其流动性较低而预期的。

我们还注意到，与一维模型相比，该多元模型的所有指数的估计基线都更大，这可以解释为，我们通过包含更多关于其他指数影响的信息，减少了到达时间的“泊松”行为。图6：。2017年1月15日至2017年12月15日期间，3个指数系列（itxeb、itxes、itxex）上的3D指数Hawkes的邻接矩阵（αi，j）。结论通过点过程分析，Hawkes过程可以相对简单和易懂地表示具有自激励和相互激励的时间相关事件。含2SHLO；作为一种基于最大似然的混合凸和非凸优化算法，我们能够快速且正确地拟合指数核多元Hawkes过程。该算法已应用于信用衍生品交易数据，这是一个尚未开发的此类过程的“中频”市场。我们能够强调三个指数Bahamou，A.，Doumergue，M.，Donnat，P.交易的自我兴奋，并测量交易量的影响。在相同的框架下，我们还能够量化指数之间的交叉影响。下一步，我们将在高维数据集上测试2SHLO的表现，例如从预测的角度研究价格和交易量的影响以及信贷衍生品的市场出价/ASK动态。参考文献1。Amaral，L.，Papanicolaou，A.：使用霍克斯流程的大订单的价格影响。摘自：纽约大学Tandon研究论文第2874042号（2017）2。Bacry，E.、Mastromatteo，I.、Muzy，J.F.：霍克斯金融过程。《市场微观结构与流动性》，第01卷（2015）3。Bacry，E.，Muzy，J.F.：价格和交易高频动态的霍克斯模型。《定量金融》，第14卷，第1147–1166页（2013）4。Bowsher，C。

G、 ：连续时间证券市场事件建模：基于强度的多变量点过程模型。摘自：Nu ffield Economics工作文件（2003）5。Daley，D.J.，Vere Jones，D.：《点过程理论导论》，第2卷。斯普林格（1988）6。Hawkes，A.G.：一些自激和互激点过程的光谱。摘自：Biometrika，第58卷，第83-90页（1971年）7。Hawkes，A.G.：一些相互激励的点过程的点谱。摘自：英国皇家统计学会期刊。B辑（方法学），第33卷，第438–443页（1971年）8。Laub，P.、Taimre，T.、Pollett，P.：霍克斯过程。In:arXiv预印本XIV:1507.02822（2015）9。Mohler，G.O.、Short，M.B.、Brantingham，P.J.、Schoenberg，F.P.、Tita，G.E.：犯罪的自激励点过程建模。摘自：《美国统计协会杂志》（Journal of the American StatisticalAssociation），第106卷，第100–108页（2011）10。Ogata，Y.，平稳点过程最大似然估计的渐近行为。《统计数学研究所年鉴》，第30卷，第243-261页（1978年）11。Ogata，Y.，关于点过程的Lewis模拟方法，IEEE信息理论交易，第27卷，第23-31页（1981）12。Ogata，Y.：地震发生的统计模型和点过程的残差分析。摘自：《美国统计协会杂志》，第83卷，第9-27页（1988年）13。Rambaldi，M.、Bacry，E.、Lillo，F.：《量在订单动态中的作用：多变量霍克斯过程分析》。摘自：量化金融（2016）14。Rizoiu，M.、Lee，Y.、Mishra，S.、Xie，L.：关于社交媒体中霍克斯事件流程的教程。《多媒体研究前沿》，第191–218页（2017）15。Toke，I.M.，《霍克斯流程与金融应用简介》（2011）http://lamp.ecp.fr/MAS/fiQuant/ioane_files/HawkesCourseSlides.pdf16.

Bacry E.、Bompaire M.、Gaffas S.、Poulsen S.、Tick：用于统计学习的Python库，特别强调依赖时间的建模。https://x-datainitiative.github.io/tick/#Hawkes信贷指数时间序列分析过程附录：霍克斯过程公式5.1单变量Bowsher-Hawkes过程模型定义：如【4】所述，单变量Bowsher过程的强度根据（d- 1） 第个交易日以及d日发生的事件的影响。因此，有必要执行以下数据转换：实际半线被划分为与不同交易日相对应的长度间隔。此分区写为：（0，∞) = (0, τ] ∪ (τ, τ] ∪ · · · ∪ （τd1，τd）[。

.因此，该模型由（标量）随机强度定义：t型≥ 0，λ（t）=u+eλ（t），从而：t型∈]τd-1，τd]eλ（t）=πeλ（τd-1） e类-ρ（t-τd-1） +Z[τd-1，t）αe-β（t-u） dN（u），其中使用的参数为：–]τd-1，τd]是确定天数的区间d–u是基线强度–π是溢出邻接系数–ρ是溢出衰减–α是自激邻接系数–β是自激衰减–dN是过程差异对数似然：单变量点过程的负对数似然定义为：LT（λ）=-ZTlogλ（t）dNi（t）-ZTλ（t）dt！计算Hawkes-Bowsher模型中的负对数似然得出以下闭合形式：LT（λ）=uT+Xd∈天数πeλ（τd-1)(1 - e-ρ（τd-τd-1） ）+αXt∈]τd-1，τd]（1- e-ρ（t-τd-1)) -Xtilogλ（ti）Bahamou，A.，Doumergue，M.，Donnat，P.拟合程序：由于强度的递归定义，计算对数似然的每个参数的梯度的任务是一项非常严格的任务，而且我们只有5个参数（u，π，ρ，α，β），我们选择使用L-BFGS-B算法来最小化LT（λ），该算法在拟合模拟数据时提供了令人满意的性能。数据模拟：我们使用细化算法模拟以下算法描述的人工数据：算法2 thinning1模拟。给定如上所述的Bowsher-Hawkes过程2。设置当前时间T=0，事件计数器i=13。

而我≤ N（a）设置泊松强度λ的上限*= λ（T）。（b） 样本到达时间：绘制u~ U（0，1）和letτ=-ln（u）λ*（如中所述）。（c） 更新当前时间：T=T+τ。（d） 绘制s~ U（0，1）。（e） 如果s≤λ（T）λ*, 接受当前样本：设Ti=T，i=i+1。否则拒绝样品，返回步骤（a）。5.2日差多变量指数霍克斯过程模型定义：日差多变量指数霍克斯过程的强度定义与[6]中描述的标准多变量指数霍克斯过程模型相同，如下所示：我∈ [1 . . .

D] ，λi（t）=ui+DXj=1Zφij（t- s） dNj（s）式中：–D是节点数–ui是基线强度–φij是核–dNjare过程与核的指数参数化不同：φij（t）=αijβijexp(-βijt）1t>0–αij是信贷指数时间序列分析的kernelHawkes过程的邻接度–βij是Kernel的衰减，其修正包括将强度视为连续两天之间的空函数，以考虑日间隔：连续两天之间的t，λi（t）=0对数似然：多变量点过程的负对数似然定义为：Lt（λ）：=-MXi=1Ztlogλi（τ）dNi（τ）-Ztλi（τ）dτ.计算日差多元指数霍克斯过程模型中的负对数似然得出以下闭合形式：Lt（λ）：=D* δMXm=1um+MXm=1MXn=1αmnXd∈daysXtni日∈d天（1- e-βmn（τd-tni））-MXm=1Xtmilog（um+MXn=1αmnβmnRmn（i））和Rmn（i）使用OGATA递归公式定义：Rmn（i）=X{k：tnk<tmi}e-βmn（tmi-tnk）=e-βmn（tmi-tmi公司-1） Rmn（一）- 1） +X{k:tmi-1.≤tnk<tmi}e-βmn（tmi-tnk）式中：–D是数据中的天数–δ是一天的长度–ui是基线强度–αij是邻接系数–βij是衰减系数–τD是确定天数最后一次的时间dBahamou，A.，Doumergue，M.，Donnat，P。拟合过程：为了验证该模型，我们使用本文中描述的算法，凸优化部分使用投影牛顿下降法，非凸优化步骤使用内尔德-米德法。