随机波动下Libor市场模型的快速标定

此外，如果有人对计算扩展罢工网格的价格感兴趣，则可以将问题重新表述为计算一组总结，其中可以应用Carr和Madan（1999）提出的著名快速傅立叶变换（FFT）方法，如Wu和Zhang（2006）中的方程（5.3）。在我们的研究中，我们使用Heston（1993）开发的classicalmethod作为校准效率比较的基础，因为实际上，我们将考虑有限数量的现金外掉期期权。因此，使用FFT方法进行基准测试超出了本研究的范围，随着FFT和Heston方法计算速度的理论接近，类似的比较结果必须成立，见Wu和Zhang（2006）中的表4，并且鉴于我们与Heston方法相比减少了98%，更多详情请参见第4节。最后，值得一提的是，我们的定价方法和基于RAM Charlier和Edgeworth展开式的smile公式提供了解析近似值，而解析近似值明显取决于货币性，因此避免了任何数值积分的需要，从而避免了FFT方法的任何使用。2.3力矩生成函数我们在这里给出了关于正常波动性框架中力矩生成函数的分析结果，在正常波动性框架中，表征掉期远期利率本身的基础变量是我们的漂移差异设置。

让我们用2.3表示矩母函数ψ状态变量Rm，n（Tm）的矩母函数，由ψ（Rm，n（t），V（t），t）定义；z） =ESezRm，北（Tm）|英尺, z∈ R、 利用上述条件期望是鞅的事实，然后应用It^o的公式并最终确定漂移项，得到所谓的Kolmogorovbackward方程ψt+（κθ- κξV）ψ五+五、ψV+ρλVψ五、x+λVψx=0，（6）带符号ξ≡ξS（t），λ≡n-1Xj=mwj（0）γj（t）ρ=λn-1Xj=mwj（0）kγj（t）kρj（t），终端条件ψ（x，V，Tm；z）=ezx。让我们注意到，这一方程与Wu和Zhang（2006）中的方程不同，因为在正常挥发度框架中，我们直接关注潜在过程Rm，而不是ln（Rm，n+δ）。因此，术语-λVψ将它的引理应用于过程ln（Rm，n+δ）会出现的x在方程（6）中消失。将Heston（1993）改编为我们的上下文，我们得到了一个可分离形式的解，符号为τ=Tm- t、 ψ（x，V，t；z）=eA（τ，z）+B（τ，z）V+zx，（7），其中A.τ=κθB，Bτ=B+(ρλz- κξ）B+λz，（8）边界条件A（0，z）=0，B（0，z）=0。注意，术语λZr替换了数量λ（z- z） 这将出现在对数正态volatiesframework中。

根据Heston（1993），在网格（τj，τj+1）上分段常数函数λ和ρ的假设下，可以得到A和B的解析闭式表达式，符号为τj=Tm-Tm公司-j、 这在实践中是相关的。以下递归反向算法允许计算（8）的A和B解：对于每个j=0。。。，m级- 1，在约定T=0的情况下，（A（τ，z）=A（τj，z）+Aj（τ，z）τ ∈ （τj，τj+1），B（τ，z）=B（τj，z）+Bj（τ，z）τ ∈ （τj，τj+1），其中▄aj和▄bj详见附录5.1.3掉期期权定价和波动率微笑，衍生自Gram Charlier和Edgeworth扩展。我们在本节中给出了DDSV-LMM框架中掉期期权价格的分析近似值，允许扩展标准Bachelier公式，以解释期权微笑。闭合形式依赖于Gram Charlier和Edgeworth在fourth阶，通过考虑偏度和峰度来调整参考高斯分布。在第一步中，我们回顾了Gram-Charlier和Edgeworth展开式的一些背景，并讨论了它们的主要共同特征和差异。然后，基于这些展开式，我们推导出掉期期权价格的解析近似值，以及掉期利率高达fourthorder矩的闭合形式推导。最后，我们开发了smile公式，将隐含波动率与货币水平联系起来。3.1克夏利尔展开式和埃奇沃思展开式某些密度f的克夏利尔级数展开式（A型）定义为f（z）=Д（z）∞Xn=0cnHn（z），其中ν是标准正态密度，（cn）是与f相关的常数，（Hn）是厄米多项式，使得H（z）=1，对于n≥ 1，Hn（z）Д（z）=Д（n）（z）。

（9） 请注意，对于i 6=j，Hermite多项式hi和hj与定义为hF的L（R）中的内积正交，Gi=RRF（z）G（z）Д（z）dz，允许识别以下内容中使用的系数（cn）；校样交给读者。我们在研究中考虑了高达四阶的扩展，以调整待估计分布的偏度和峰度的参考密度，类似于Corrado和Su（1996）以及Necula et al.（2016），其中GramCharlier级数用于调整股票期权价格的Black-Scholes公式。从感兴趣的随机变量X开始，用标准偏差ν，我们考虑标准化随机变量z=X的密度f- E[X]ν。（10） 分别用u=E【Z】和u=E【Z】表示Z的三阶和四阶矩，我们表示g的四阶Gram-Charlier近似可以写成g（Z）=Д（Z）1.-uH（z）+u- 3H（z）. （11） 3.2 Swaption pricingOn另一方面，有几篇论文相当关注Edgeworth型扩张，参见Balieiro Filho和Rosenfeld（2004）。最初，在大多数应用中，Edgeworth展开式用于提供标准化sumSn的近似值=√nPnj=1Xj，其中（Xj）是一个i.i.d.标准化随机变量序列，三阶和四阶矩分别表示为γ=E【X】和γ=E【X】。根据中心极限定理，数量P（Sn≤ x） 向累积分布函数Φ（x）=Rx收敛-∞标准正态分布的ν（y）dy。Edgeworth展开的目的是描述大n的Sn分布。通常考虑二阶Edgeworth展开，这导致使用方程（9）中引入的Hermite多项式进行以下近似：P（Sn≤ x）≈ Φ（x）-γ√nИ（x）H（x）+γ- 324nД（x）H（x）+γ72nД（x）H（x）。请注意，在许多旨在推导pricingformulas的sudies中，没有出现术语n。

Balieiro Filho和Rosenfeld（2004）讨论了这个问题，作者指出，术语n被纳入偏度和峰度系数，并将这些考虑留给读者；我们建议在附录5.2中进一步详细说明这些方面。现在让我们提供基于等式（10）asP（Z）中给出的单个标准化随机变量的近似值≤ z）≈ Φ（z）-uИ（z）H（z）+u- 3Д（z）H（z）+uД（z）H（z）。最后，在差异化后，恢复Edgeworth近似密度asg（z）=g（z）+Д（z）uH（z），（12），其中密度为（11）中引入的克夏尔密度。3.2 Swaption Pricing感兴趣的标准化随机变量为nowZ=Rm，n（Tm）- Rm，n（0）ν，（13），其中ν为掉期利率Rm，n（Tm）的标准偏差。（5）中给出的关联期权的价格现在写esp S（0，K）=BS（0）ES[max（Rm，n（0）+νZ- K、 0）]。（14） 让我们分别表示（11）和（12）中分别考虑的基于克夏利尔或埃奇沃思展开的密度近似值，以及3.2 Swaption Pricingus表示Z的三阶和四阶矩的符号u和u。让我们引入标准货币性zk=K-Rm，n（0）ν；那么（14）中给出的掉期期权价格可以近似为fp S（0，K）=BS（0）Z∞zK（Rm，n（0）+νz- K） g（z）dz=νBS（0）z∞zK（z- zK）g（z）dz。（15） 在下面陈述我们关于掉期期权定价的主要结果之前，让我们回顾一下，通过考虑Z的标准正态分布，可以获得著名的Bachelier价格fp S（0，K），领先的tofP S（0，K）=νBS（0）{ν（zK）- zKΦ(-zK）}，（16）其中，我们回忆起φ和Φ分别表示标准正态密度和累积分布函数。提案1。Gram Charlier掉期期权价格由fP S（0，K）=fP S（0，K）+νBS（0）ν（zK）给出uzK+u- 3（zk- 1), （17） Edgeworth swaption价格为fP S（0，K）=fP S（0，K）+νBS（0）ν（zK）u（zK- 6zK+3）。

（18） 根据牛顿二项式公式，方程式（13）中定义的标准变量Z的三阶和四阶矩如下所示，对于k∈ {3，4}，uk=ESZk公司=νkkXj=0千焦ψ（j）（0）(-Rm，n（0））k-j、 式中ψ（0）（z）≡ ψ（Rm，n（0），V，0；z） ，带V≡ V（0），是方程（7）中以解析形式给出的矩母函数，其导数如下所示：ψ(1)=A（1）m+B（1）mV+Rm，n（0）ψ(0),ψ(2)=A（2）m+B（2）mVψ(0)+(ψ(1))ψ(0),ψ(3)=A（3）m+B（3）mVψ(0)+A（2）m+B（2）mVψ(1)+2ψ(2)ψ(1)ψ(0)-ψ(1)(ψ(0)),ψ(4)=A（4）m+B（4）mVψ(0)+ 2A（3）m+B（3）mVψ(1)+A（2）m+B（2）mVψ(2)+2ψ(3)ψ(1)ψ(0)+ψ(2)ψ(0)-5ψ(2)ψ(1)(ψ(0))+ψ(1)（ψ（0）），（19）其中，附录5.3.3.2掉期期权定价方程（17）和（18）中详细说明了映射和BM及其导数的计算，提出了允许通过考虑掉期远期利率分布的偏度和峰度来调整掉期期权定价Bachelier公式的附加条款。请注意，（18）中右侧的最后一项来自于埃奇沃思展开式中出现的与克夏勒展开式相比的额外数量，见等式（12）。对于这两个公式，可以检查任何偏斜度和峰度与正态分布相同的分布是否为u=u-3=0，使附加项消失。备注2。对于K=Rm，n（0）的at货币（ATM）交换选项，标准货币性zk为空，因此fp S（0，Rm，n（0））=√2πνBS（0）1.-u- 3.,andfP S（0，Rm，n（0））=√2πνBS（0）1.-u- 3.- u.这首先表明，即使是ATM掉期期权，调整后的掉期期权价格也与单身汉估值不匹配。此外，可以注意到，在这种情况下，GramCharlier价格并不取决于掉期利率的偏度，而Edgeworth价格则通过数量u来决定。现在我们陈述命题1的证明。证据1。

让我们首先注意，根据Hermite多项式的性质（9），可以得到H（z）=-z、 H（z）=z- 1，H（z）=-z+3z，H（z）=z- 6z+3。现在，让我们将克夏利尔密度（11）表示为近似价格（15），导致tofP S（0，K）=νBS（0）Z∞zK（z- zK）Д（z）dz- νBS（0）uZ∞zK（z- zK）ν（z）H（z）dz+νBS（0）u- 3Z∞zK（z- zK）Д（z）H（z）dz，其中第一个分量简化为Bachelier公式（16）。对于其他的，仍然需要计算以下形式的量，对于j=3，4，Z∞zK（z- zK）И（z）Hj（z）dz=z∞zKzИ（z）Hj（z）dz- zKZ公司∞zKИ（z）Hj（z）dz，3.3通过Hermite多项式的部分和属性积分得出的微笑公式，见方程（9），第一项写z∞zKzИ（z）Hj（z）dz=-zKHj公司-1（zK）Д（zK）-Z∞zKHj公司-1（z）Д（z）dz。至于第二项，我们通过属性（9）得到，zKZ∞zKИ（z）Hj（z）dz=zKZ∞zKИ（j）（z）dz=-zKИ（j-1） （zK）=-zKHj公司-1（zK）Д（zK）。这最终导致∞zK（z- zK）Д（z）Hj（z）dz=-Z∞zKHj公司-1（z）Д（z）dz=Hj-2（zK）Д（zK），证明了Gram-Charlier价格公式（17）。埃奇沃思价格公式（18）可以通过类似的方式获得。动量生成函数（19）中的导数可以通过（7）的标准微分得到；这在附录5.3.3.3 Smile公式中有详细说明。在一些校准框架中，为了估计DD-SV-LMM的参数，需要最小化的基本目标函数是基于波动率而非价格。在这种情况下，考虑微笑函数可能会有用，而不是用Bachelier公式反转理论价格。我们通过微笑函数定义了一种封闭形式的表达，该表达是由格兰查理尔或埃奇沃思价格转换为隐含的Bachelier波动率而产生的。我们在此详述的为swaptions仪器构建这种微笑函数的方法是Bouchaud和Potters（2003）以及De Leo等人提出的方法的改编。

（2012）forstock隐含波动率。让我们用s（ν，zK）表示应用于波动率ν的加性校正，以恢复隐含的Bachelier波动率，表示ν（zK）=ν+s（ν，zK）。形式上，根据调整后的波动率，（16）中的Bachelier价格现在写为bs（0）h（ν+s（ν，zK）），其中函数h由h（x）=Z给出∞K-Rm，n（0）xxz公司- （K）-Rm，n（0））Д（z）dz。点ν处h的导数可计算为h（ν）=ν（zK），从而得出一阶近似值：h（ν+s（ν，zK））≈ h（ν）+s（ν，zK）ν（zK）。（20） 另一方面，可以将克夏利尔价格和埃奇沃思价格写入方程式（17）和（18），从而得出以下结果。提案2。Gram-Charlier微笑公式由ν（zK）=ν给出1+uzK+u- 3（zk- 1), （21）Edgeworth微笑公式写出ν（zK）=ν（zK）+νu（zK- 6zK+3），（22），其中互换率的三阶和四阶矩u和u在命题1中提及，并在附录5.3中详细说明。备注3。在ATM交换选项的情况下，K=Rm，n（0），那么标准化的货币Zk为空，因此隐含的波动率变为ν（0）=ν1.-u- 3.和ν（0）=ν1.-u- 3.- u.这表明ATM掉期期权ν（0）或ν（0）的波动率与正向利率波动率ν不匹配。此外，请注意，偏度仅与奇沃思展开有关。这些评论与之前关于TATM价格的备注2一致。4数值结果本节详细介绍了从命题1和命题2的展开方法的实现中获得的数值结果，并与Wu和Zhang（2006）中说明的Heston方法进行了比较。我们首先概述了校准设置，包括波动率向量的参数化，以及使用的市场数据。

然后，我们比较了Edgeworth方法和Gram-Charlier方法，最后将我们的方法与基于数值积分的经典Heston方法进行了比较。4.1校准设置在我们的校准框架中，我们考虑波动率向量的分段常数参数化，其区间[Ti，Ti+1）上的值规定为γj（Ti）=βj-i+1g（Tj-Ti）其中g（u）=（bu+a）e-具有非负常数a、b、c和d的cu+d，其中βkar是具有酉欧氏范数的二维向量。至于远期利率和波动率之间的相关结构，我们考虑一个常数参数ρj（t）=ρ，见方程（4）。注意，位移系数δ包含在校准过程中，因此待估计的参数集为{a，b，c，d，κ，θ，, ρ、 δ}这里我们回忆起参数κ，θ和 涉及波动性动力学，见方程式（2）。4.2 Gram Charlier和Edgeworth校准之间的比较为了便于说明，用于校准DD SV LMM的市场数据由ATM和非货币掉期期权的2016年平均利率结构和掉期期权波动率组成。ATM掉期期权的到期日和期限被考虑为{1、…、10、15、20、25、30}。为了避免货币互换期权波动，我们考虑了相同的到期期限范围，并将重点放在10年的参考期限上；罢工（以bps为单位）范围为+/{25、50、100、150、200}。

最后，这相当于考虑一组350个挥发物进行复制。最后，请注意，参数推断要最小化的目标函数计算为市场波动率和理论波动率之间的平方差之和。4.2 Gram Charlier和Edgeworth标定之间的比较在本部分中，我们讨论了Gram Charlier和theEdgeworth展开标定结果之间的主要差异。如命题1和命题2所示，在解析近似中，与Gram Charlier相比，Dgeworth展开会产生一个附加项，该项是Swap速率分布偏度的函数。此外，对于ATM交换选项，Edgeworth展开直到解释了偏度，而它在Gram-Charlier公式中消失，请参见备注2和3。在实践中，图1（分别图2）通过比较5年期ATM（分别远离货币）的经验波动率来说明这一方面。经验波动率通过以下过程获得：第一步，我们对DD-SV-LMM进行校准；然后，将转发速率与校准参数进行区分，并从蒙特卡罗模拟中推导出经验价格；最后，通过反转Bachelier公式，我们提取了经验波动率。与Gram-Charlier方法相比，Edgeworth方法显示出更好的市场数据经验拟合精度。