高管股票期权行权，包括有关

因此，我们的模型为实证文献中的测试提供了理论支持，以证明所谓的内部练习。我们的分析使我们能够描述运动场景，并指出变化点可以诱导完全知情的代理进行运动，但当然不一定是部分知情的代理，因为变化点不可见。我们在第7节中对此进行了说明，在第7节中，我们提供了各种运动场景的模拟，并显示具有完整信息的代理在运动时机方面具有相当大的优势。运动曲面x*（t，y）；t型∈ [0，T]，y∈ [0，1]用于具有部分信息的代理，并保留x*（t） ，x*（t） ；t型∈ [0，T]对于全信息情况进行了计算，并显示与前面章节中的理论结果一致。练习策略中显示的信息优势反映在代理人对其选择的相应ESO价值观中。我们证明，拥有完整信息的代理人对其ESO的额外价值在数量上非常重要。对于拥有完整信息而非仅部分信息的代理而言，早期锻炼价值占欧洲价值的比例可能会大很多倍。在表2中，我们还报告了随着库存参数u、u、σ和λ的变化，ESO值的比较静态。两种代理的ESO值都会随着不良状态下预期回报的大小u的增加而减少，或者向下跳跃的可能性更大。然而，漂移变化点5的早期行使价值也会增加，这表明，当变化点后的预期回报率更差，或进入不良状态的可能性更大时，期权行使的计时能力更有价值。

当期权行权包含在模型中时，我们也会报告ESO值，并注意到，正如预期的那样，两个代理的早期行权值都会下降，而信息完整的代理的优势仍然存在。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了这两种信息情景下的模型和最优停止问题，并执行了一个过滤程序来推导与股价过滤相关的模型动力学。在第3节和第4节中，我们分别分析了全部和部分信息问题。第5节简要讨论了行权期对行权的影响。在第6节中，我们构造并描述了求解两个最优停止问题的数值方法，包括收敛结果。我们将第7节中的有限差异法应用于绩效模拟，以比较代理人的行权模式，分析行权后回报，并提供ESO估值。具有漂移变化点的股票价格我们建立了一个股票价格模型，其漂移将在随机时间（一个变化点）跳到一个较低的值。目标是调查观察变化点的完全知情代理人和必须从股价观察中过滤变化点的部分知情代理人之间ESO行使策略的差异。特别是，我们试图探索完全知情的代理人是否可以在锻炼策略中利用其额外信息。设置是一个完整的概率空间(Ohm, F、 P）配备过滤器F：=（Ft）t∈T通过F的所有Pnull集满足右连续性和增强的通常假设。对于某些T<∞. 过滤F有时被称为背景过滤。

它代表了一个完全知情的代理可以进行的大规模过滤，并且假设所有流程都将在以下内容中进行调整。设W表示标准（P，F）-布朗运动。Letθ∈ R+是一个非负随机时间，与W无关，初始分布为P[θ=0]=：y∈ [0，1）和随后的分布p[θ>t |θ>0]=e-λt，λ≥ 0，t∈ T、 因此，条件是事件{ω∈ Ohm : θ(ω) > 0} ≡ {θ>0}，θ与参数λ呈指数分布。通过（2.1）Yt定义单跳c\'adl\'ag过程Y：={t≥θ} ，t∈ T、 因此Y={θ=0}，E[Y]=Y。我们可以（并且确实）将F作为P-增广ofFW，Y，由对（W，Y）生成的过滤。Karatzas和Shreve【30，命题2.7.7】认为，这种过滤确实是右连续的，因为（W，Y）是一个强马尔可夫过程。我们将Y与（P，F）-鞅M（Y）（补偿跳跃过程）联系起来，定义为（2.2）M（Y）t：=Yt- Y- λZt（1- Ys）ds，t∈ T、 具有常数波动率σ>0的股票价格过程X具有依赖于过程Y的漂移。我们得到了两个实常数u>u，使得漂移值在变化点从u下降到较低的值u。用（2.3）η定义常数η>0：=u- uσ.关于（P，F）的股价动态由（2.4）dXt=（u）给出- σηYt）Xtdt+σXtdWt。6 VICKY HENDERSON、KAMIL KLAD\'IVKO、MICHAEL MONOYIOS和CHRISTOPH REISINGERThus，股票的漂移过程u（Y）由（2.5）u（Yt）得出：=u- σηYt=u（1- Yt）+uYt=u，on{t<θ}={Yt=0}，u，on{t≥ θ} ={Yt=1}，t∈ T、 特别注意，对于y=0，变化点θ几乎肯定是严格正的，而股票的演变几乎肯定是从更高的漂移值u开始的。我们假设给出了常数y、u、u、σ、λ的值。最后，还有一个支付固定利率r的现金账户≥ 0

股息也可以包括在内，关于如何对其进行建模，有几种可能性，但我们不这样做是为了含蓄性。例如，通过将漂移重新解释为股息净额，可以将固定股息收益率包括在轻微调整中。我们可以将股票价格演变写为（2.6）dXt=σXtdξt，其中ξ是（2.7）ξt=σztdxsx给出的波动率标度回报过程=uσt型- ηZtYsds+Wt=：Zthsds+Wt，t∈ T、 工艺h由（2.8）ht定义：=μσ- ηYt，t∈ T、 所以h和W是独立的。过程ξ将用作第2.2节滤波算法中的观察过程。确定观察过滤BF=（bFt）t∈Tas股票价格产生的过滤的P-增强（相当于（2.7）中的过程ξ）：bFt：=σ（FXt∪ N） ，t∈ T、 其中FXt：=σ（Xs：0≤ s≤ t） ，N表示F的P-null集 此外，正如我们将在备注2.3中证明的那样，过滤bf是正确连续的。X上的经理股票期权（ESO）是一种带有K点的美式看涨期权≥ 0和到期日T，因此有payoff（Xt-K） +如果在t行使∈ T、 我们假设ESO持有人收到行权的现金支付。在这种情况下，我们考虑了两个代理人，他们中的每一个都被授予了X上的ESO时间零点，并且有权获得不同的过滤，但在其他方面是相同的。实际上，持有此类ESO的员工被禁止交易公司股票X（见Carpenter[9]和《证券交易法》第16c节），这激发了我们的假设，即没有代理人交易股票。第一个代理拥有完整信息。他知道所有模型参数的值，并且可以完全访问背景过滤F，因此特别可以观察布朗运动W和单跳过程Y。第二个代理具有部分信息。

她还知道常数模型参数的值，并观察股价X，但不观察单跳过程Y。因此，部分知情代理人的过滤即为观察过滤。代理人之间唯一的区别是，部分知情的代理人不知道流程Y的价值，她将从股价观察中过滤流程Y。我们假设股票波动率是常数，尤其不依赖于单跳过程Y。如果我们允许波动过程依赖于Y，那么通过连续的股价观察，部分知情的代理可以从股票二次变化的增长率推断Y的值。这将消除代理之间的差异，从而取消我们构建模型的意图，其中，这是对（X，bY）的强马尔可夫性质的结果，其中是Y givenbF的过滤估计。漂移变化点为7的股票期权经纪人在股票表现方面有明显不同的信息。原则上，可以放宽恒定波动率假设，以允许波动率依赖于Y，但代价是需要一个更复杂的代理间差异信息模型。例如，部分知情代理可以被渲染为u、u值的识别者，因此这些值可以建模（例如）为随机变量，这些值将从价格观察中过滤。这将对ESO最优停止问题的可处理性产生重大影响，我们的恒定波动性模型是最简单的模型，可以利用变化点上的不同信息来设想。2.1. ESO最优停止问题。我们假设每个代理在其各自过滤的停止时间内，将最大化实际措施P下ESOPOOF的贴现预期。

由于缺乏交易机会，ESOPayoff构成了一个完全不可回避的主张，因此代理人每个人都面临一个纯粹的行使决策。在这种情况下，为了简单起见，我们采用最直接的目标。该目标用于Monoyios和Ng【40】，其中考虑了内部信息的ESO估值。在没有经典对冲机会的情况下考虑美式期权的作品中也出现了这种情况，有时被称为纯买方头寸：代理人持有美式期权的多头头寸，但由于（比如）流动性或交易成本的原因，不会对冲这种头寸（例如，见Ekstrom和Vannest al[20]）。如果我们允许代理人交易其他证券，可以设想通过考虑基于效用的估值和对冲增加风险规避，从而产生组合的最优停止和控制问题。Eung和Sircar【35、36】和Grasselli和Henderson【27】使用经典效用，以及Eung、Sircar和Zariphopoulou【37】使用正向效用，对恒定漂移模型考虑了此类ESO问题。这些工作采用给定的值函数所需的正则性。Monoyios[39]考虑了在随机参数框架下基于效用的欧洲非交易资产债权估价，其中交易资产和非交易资产都是几何布朗运动，未观察到的恒定裂缝被建模为高斯随机变量。然后，过滤会产生一个随机参数基风险模型，该模型的可处理性明显低于其常数参数对应模型。由于我们的两个信息模型都有随机参数，因此通过基于arisk厌恶效用的方法对其进行严格处理，包括在需要时验证规律性，这是一个有待未来研究的开放问题。

因此，我们在这里的贡献是在随机参数框架中使用我们的风险中性目标，对完全和部分信息ESO问题进行完全严格的自由边界PDE处理。我们的模型中没有风险规避，这为我们的分析提供了所需的可处理性，并且与风险规避相反，我们将重点放在代理人行使和估价决策的信息方面。对于t∈ [0，T]，让Tt，Tdenote值为[T，T]的F-停止时间集，让btt，Tdenote值为相应的F-停止时间集。对于任何此类开始时间t∈ [0，T]，完全知情代理人的ESO价值过程是V，一个由（2.9）Vt定义的F适应过程：=ess supτ∈Tt，TEhe-r（τ-t） （Xτ- K）+Fti，t∈ [0，T]。我们将其称为（2.9）完全信息问题。类似地，部分知情代理人的ESO价值过程为U，anbF适应过程由（2.10）Ut定义：=ess supτ∈bTt，TEhe-r（τ-t） （Xτ- K）+bFti，t∈ [0，T]。我们称之为（2.10）部分信息问题。8 VICKY HENDERSON、KAMIL KLAD\'IVKO、MICHAEL MONOYIOS和CHRISTOPH Reisingernatually，（2.9）和（2.10）之间的显著区别在于定义了停车时间和基本上限。对于完整信息问题（2.9），股票动态将为（2.4）。对于部分信息问题（2.10），我们必须推导观测过滤下的模型动力学。这在下面的第2.2节中完成。公司ESO的接收人通常在合同中被限制在行权期内行使其期权，[0，tv]，因此停止时间可能在区间内[tv，T]，例如，见Carpenter等人[11]。

稍后，在第5节中，我们将概述如何修改问题以纳入行权，在第7.3节中，我们将展示行权onESO价值的影响。备注2.1（形式上等同于随机股息无套利估值）。最优停止问题（2.9）和（2.10），在物理度量P下，用随机的库存漂移u（·）表示，当然正式映射到鞅度量Q下的问题，其中库存漂移为r-δ（·），对于一些随机股息收益率δ（·），通过u（·）=r与u（·）相关-δ(·). 因此，我们得到的结果适用于具有随机股息收益率的经典无套利估值。我们设置的场景中，对数布朗运动的漂移值会将一个随机时间转换为一个新的值，这与所谓的“维纳过程的最快检测”问题有着明显的相似性，这一问题有着悠久的历史，在第VIof Peskir和Shiryaev【41】章中进行了讨论（有关涉及扩散过程的最新示例，请参见Gapeev和Shiryaev【26）】。这些问题与我们的不同之处在于，我们的目标函数将是ESO的预期贴现支付，因此，检测变化点的错误将通过ESO行使决策的棱镜传递。相比之下，经典的变化点检测问题有一些明确的目标函数，它直接惩罚检测延迟或假警报（在变化点未被正确还原为已发生的情况下）。2.2. 观察过滤下的动力学。将信号过程设为（2.1）中的Y，并将观察过程设为（2.7）中的ξ，由ξ生成的增强过滤等于增强股票价格过滤bf。引入符号bφt：=E[φt | bFt]，t∈ T、 对于任何工艺φ。

特别是，我们对Y的过滤估计感兴趣，由BYT定义：=E【Yt | bFt】，t∈ T、 标准过滤程序给出了与观察过滤bf相关的股价动态，以及by的动态，从而得出以下引理。我们提供完整性的简短证明。引理2.2（观察过滤动力学）。关于观察过滤bf，股价如下（2.11）dXt=（u- σηbYt）Xtdt+σXtdcWt，其中cw是创新过程，由（2.12）cWt给出：=ξt-Ztbhsds=ξt-uσt+ηZtbYsds，t∈ T、 与（2.8）类似，bht:=σ- ηbYt，t∈ T、 andcW是（P，bF）-布朗运动。过滤后的processbY的动力学由（2.13）dbYt=λ（1）给出-bYt）dt- ηbYt（1-bYt）dcWt，bY=E[Y]=Y∈ [0，1）.漂移变化点证明的ESO。我们使用创新方法进行过滤，如罗杰斯和威廉姆斯（Rogers and Williams）[45]，第VI.8章或贝恩和克里斯（Bain and Crisan）[2]，第3章所述。根据[45]中的定理VI.8.4，（2.12）定义的创新过程cw是一个（P，bF）布朗运动。在股票价格SDE（2.6）中使用（2.12），则收益率（2.11）。还有待证明（2.13）。对于任何有界、可测量的测试函数f，写入ft≡ f（Yt），t∈ T、 为简洁起见。定义流程（Gft）t∈T、 满足EhRt | Gfs | dsi<∞ 对于所有t∈ T、 这样m（f）T：=英尺- f-ZtGfsds，t∈ T、 是一个（P，F）-鞅。在h，W独立的情况下，我们得到了（Kushner-Stratonovich）基本滤波方程（例如，参见文献[2]中的定理3.30）（2.14）bft=bf+ZtcGfsds+Ztdfshs-bfsbhs公司dcWs，t∈ T、 取f（y）=y。

然后鞅M（f）=M（Y），如（2.2）所定义，因此Gf=λ（1-Y）过滤方程（2.14）读数为（2.15）bYt=Y+λZt（1-bYs）ds+Zt（dYshs-bYsbhs）dcWs，t∈ T、 我们使用的是by=E[Y]=Y.现在，（2.16）dYtht=EhYtuσ- ηYtbFti公司=uσ比亚迪- ηE【Yt | bFt】=uσ- ηbYt，t∈ T、 最后一个等式是Y=Y的结果。另一方面，（2.17）bYtbht=bYtEhuσ- ηYtbFti公司=uσ比亚迪- η比亚迪, t型∈ T、 使用（2.15）中的（2.16）和（2.17），则得出（2.13）的积分形式。备注2.3（观察过滤的右连续性）。注意，（2.13）中的BY是[0，1]中吸收状态为BY=1的BF自适应扩散。还要注意的是，由于股票价格的观察结果足以说明具体情况，因此观察过滤也是二维差异产生的过滤的P-增强（X，by）。然后，Karatzas和Shreve[30，命题2.7.7]保证BF是正确连续的，因为它是由强马尔可夫过程（X，by）生成的增强过滤。3、完整信息ESO问题在本节中，我们关注（2.9）中定义的完整信息问题。将（连续）奖励过程R定义为折扣支付过程：（3.1）Rt：=e-rt（Xt- K） +，t∈ T、 假设奖励过程满足（3.2）E“支持∈[0，T]Rt#<∞.贴现全信息ESO价值过程iseV，由（3.3）eVt得出：=e-rtVt=ess支持∈Tt，TE【Rτ| Ft】，t∈ T、 10如Karatzasand Shreve【31，附录D】所述，连续时间过程的VICKY HENDERSON、KAMIL KLAD\'IVKO、MICHAEL MONOYIOS和CHRISTOPH Reisinger经典最优停止理论将问题（3.3）的解决方案描述如下。首先，根据[31，命题D.2]，eV是一个（P，F）-超鞅。