股票鲁棒正期望定理的推广

为了避免非唯一或复数根引起的歧义，以下符号约定有效：如果X>0为实数，N为正整数，则X1/N取X的唯一正N次根。对于X<0且N为奇数，我们取X1/N=-|X | 1/n通过对正变量情况的定义获得。即使在续集中从未遇到过这种情况，我们也会对N的X<0进行定义。当我们考虑X1/N形式的表达式时，也有一些情况-m对于整数m。在这种情况下，该数量定义为Y1/N，其中Y=X1-mN，并以符合上述公约的方式进行评估。引理1（临界不确定度）：给定θ>0，则εc（θ）=+∞ N偶数，θ>2N- 1.1.-(2-（1+θ）N）Nθ- 1否则。证明：对于N偶数和θ>21/N- 1，sinceGθ（ε）≥ （1+θ）N- 2对于所有ε>0，可以得出ε的集合，其中Gθ（ε）≤ 0为空。因此，εc（θ）=+∞. 对于Nodd或偶数的所有其他θ>0，εc（θ）必须是方程Gθ（ε）=0的最小有限ε>0。很容易发现εc（θ）=1-2.- （1+θ）NNθ- 定义：为了便于证明以下引理，我们定义了正θ6=21/N集上的函数f（θ）- 1 asf（θ）=2.- （1+θ）NN- 1+θ（1+θ）N-1.2.- （1+θ）NN-此外，在续集中，我们还使用了θ6=21/N的导数- 1、计算得出bef（θ）=2（N- 1） θ（1+θ）N-2h2- （1+θ）NiN-引理2（单调性）：对于0<θ<21/N- 1，函数εc（θ）随导数εc（θ）=f（θ）/θ单调增加。证明：在区间0<θ<21/N内- 1，直接计算得出εc（θ），如上所示。为了完成预测，有必要证明f（θ）>0。

由于f（0）=0，且f（θ）>0在区间内，通过检查，得出区间内所有θ的f（θ）>0。引理3（极大值）：对于N奇数和θ>21/N- 1，函数εc（θ）有一个唯一的稳定点，在这里它达到最大值，其导数εc（θ）=f（θ）/θ。证明：对于N奇数和θ>21/N- 1，我们表明εc（θ）最初增大，随后达到最大值，并随着θ的继续增大而减小。为此，可以证明εc（θ）最初为正，之后为零，之后为负。θ>21/N时- 1，直接计算得出εc（θ），如上所示。事实上，现在可以证明它的分子f（θ）在上述的分子筛中起作用。实际上，对于θ>21/N-1，当θ接近21/N时，f（θ）趋于一致- 1从上方。然而，当f（θ）在所有θ>21/N时为负时，它会单调地减小- 最后，f（θ）最终变为负值的事实是自limθ起立即发生的→+∞f（θ）=-因此，εc（θ），当θ>21/N时，最初为正值- 1，减小到过零并变为负值，这反过来意味着εc（θ）增大到最大值，然后随着θ增大到整数而减小。这就完成了证明。鲁棒正期望定理的证明：为了证明必要性，我们假设所有可容许的u和ε的GN（K，u，ε）>0，并考虑两种情况。对于N为奇数的情况，所要求的必要条件gn（K，umin，εmax）>0；GN（K，umax，εmax）>0与（umin，εmax）和（umax，εmax）都是允许的对这一事实非常相似。对于N为偶数的情况，第二个必要条件GN（K，umin，εmax）>0立即使用与N奇数相同的参数。

为了完成必要性的证明，我们假设K≤ （21/N- 1） /um且必须显示K≤umin（1+εmax）。事实上，如果k>umin（1+εmax），则很容易验证gnK、 umin，Kumin- 1.=IKh（1+Kumin）N- 2i≤ 0，这与假定的GN正性（K，u，ε）相矛盾。为了确定有效性，我们假设反馈增益K>0满足定理中的条件，并且必须证明对于所有容许的u和ε，GN（K，u，ε）>0。为此，我们选择一个任意可容许对（u，ε），并将分析分为三种情况：情况1（u<0）：在这种情况下，无论N是偶数还是奇数，由于GN（K，u，ε）的事实，条件GN（K，u，ε）>0都很容易满足≥IKh（1- K |u|）N+（1+K |u|）N- 2i>0，单次stockresult的最后一个不等式；见第一节和附录。情况2（u>0，N奇数）：假设满足定理要求GN（K，umin，εmax）>0和GN（K，umax，εmax）>0，并注意GN公司/ε<0，对于ε≤ εmax，我们得到GN（K，umin，ε）>0和GN（K，umax，ε）>0。利用这一事实，结合临界不确定度界εc（θ）的定义，我们得到εmax<min{εc（Kumin），εc（Kumax）}。调用引理2，我们看到当0<θ<21/N时，εc（θ）增加- 从引理3开始，εc（θ）在θ>21/N时达到唯一最大值后单调减小- 因此，无论该最大点的位置如何，考虑θ=Kumin和θ=Kumax，我们得到εc（Ku）≥ min{εc（Kumin），εc（Kumax）}对于所有umin≤ u≤ umax。因此，对于任意氯离子u，εmax<εc（Ku），这意味着GN（K，u，ε）>0。情况3（u>0，N偶数）：我们考虑的第一个子类是Whink>（21/N- 1） uminholds。

为了证明GN（K，u，ε）>0，我们首先注意到，上述严格不等式以及u和N的正性，甚至意味着GN（K，u，ε）≥IKh（1+Ku）N- 2i>0。对于带有K的第二个子类≤1/N-1umin，K≤umin（1+εmax）和GN（K，umin，εmax）>0，则为2- （1+Kumin）N≥ 0; 1.- Kumin（1+ε）≥ 0和2- （1+Kumin）N<（1- Kumin（1+ε））N因此，h2- （1+Kumin）NiN<1- Kumin（1+εmax），重新排列和使用引理1后，εmax<1-2.- （1+Kumin）NNKumin- 1=εc（Kumin）。现在，在子类别中，u>（21/N-1） /K，我们有gn（K，u，ε）≥IKh（1+Ku）N- 2i>0。在其他子类别中，umin≤ u≤ （21/N- 1） /K，从引理2中，我们知道εc（Kumin）≤ εc（Ku）。因此，εmax<εc（Ku），这意味着对于这对（u，ε），我们的GN（K，u，ε）>0。推论证明：给定K>0，可以证明对于εmaxsf足够小的情况下，RPE定理的要求得到满足。对于N奇数，这是因为GN（K，umin，εmax）和GN（K，umax，εmax）是εmax，GN（K，umin，0）>0和GN（K，umax，0）>0的连续函数。也就是说，存在一个δo>0，使得对于εmax<δo，GN（K，umin，εmax）>0；GN（K，umax，εmax）>0。对于N偶数和εmax适当小，条件1/N- 1.≤1+εmax很容易被认为是满足的。现在，与n奇数的情况一样，对于εmax适当小，我们再次得出gn（K，umin，εmax）>0。因此，存在δe>0，使得εmax<δe时，满足N的充分条件。VI。说明性示例本节演示了两个库存控制器的构造和使用，用于以几何布朗运动（GBM）为基础价格过程的玩具示例。对于第一批股票，我们用于日常更新的离散时间GBM由（k+1）描述- S（k）S（k）=u+σw（k），其中u是漂移，σ是波动率，w（k）是独立的标准正态随机变量。

为了说明鲁棒正期望定理的应用，我们从不确定性边界umin=0.00055和umax=0.002开始。假设上述每一时间步代表每日回报，则这些界限分别对应于25%和65%的年化变化。此外，假设这两种股票与名义β=1和不确定性界εmax=0.8具有方向相关性；i、 e.，1≤ β ≤ 1.8. 因此，第二只股票的离散时间GBM由不确定性漂移u=（1+ε）u和波动率σasS（k+1）=（1+（1+ε）u+σw（k））S（k）描述，w（k）为独立随机变量，每个都具有标准正态分布。这里需要注意的是，交易者并不知道基础股价的走势。即，u的符号未知；只有|u|上的边界可用。在接下来的分析中，我们取N=125，在给出每日更新方程的情况下，它表示大约六个月的交易。控制器设计：从初始投资I=10000美元开始，我们寻求找到一个合适的K>0，满足RPE定理的要求。自N isodd以来，我们处理的不等式gn（K，umin，εmax）>0；GN（K，umax，εmax）>0。对于给定的不确定性界，我们得到了条件（1+0.00055K）+（1- 0.00099K）>2；（1+0.002K）+（1- 0.0036K）>2对于稳健的积极预期是必要且充分的。当K>0时进行参数扫描，当且仅当6.33<K<1250时，满足上述不等式。一些实际考虑因素：在本小节中，我们继续分析上述示例，将一些实际考虑因素引入到TheOrem未涵盖的模拟中。回顾第二节中关于杠杆的讨论，我们现在取γ=2，使用K=25，并假设初始账户值V（0）=10000美元。

然后，为了保持不符合杠杆约束，当第三节中的控制器遇到| I（k）|+| I（k）|>γV（k）时，使用公式Ii（k）=Ii（k）| I（k）|+| I（k）|γV（k）缩小两项投资；i=1，2。样本路径上的控制器性能：对于我们的模拟，我们使用σ=σ=。0094，且容许GBM漂移参数u=-0.0017，ε=0.6。这对应于两个库存之间的β=1.6，漂移u=0.0027。首先，我们说明了两种股票价格中每一种的单个样本路径的控制器性能；如图2所示，我们观察到在交易期内，沙的价格下降了约17.5%，沙的价格下降了25%。图3显示了控制器的性能。我们看到，在交易期间，最初的10000美元总回报率为74%。同样值得注意的是，大部分收益都出现在70至100阶段之间的交易期。这是股价下跌幅度最大的时期。聚合多个样本路径上的统计信息：现在，我们不再进行单样本路径分析，而是考虑整个GBM进程家族的性能。现在我们计算收益X=V（N）- V（0）/V（0）使用一百万条采样路径，其中u和ε在各自的容许范围内使用均匀分布选择。图4显示了X的经验估计概率密度函数。控制器的平均回报率约为30.2%，美国回报率约为22.7%，概率为20 40 60 80 100 120 140阶段0.65美元0.7美元0.75美元0.8美元0.85美元0.9美元0.95美元1美元1.05股票价格1股票2 IG。2、沿一条样本路径的模拟价格0 20 40 60 80 100 120 140阶段9000美元10000美元11000美元12000美元13000美元14000美元15000美元16000美元17000美元18000美元账户价值V（k）图3。图2-1中场景的控制器增益-损耗函数返回x00.511.522.533.54fX（x）图4。

收益的概率分布为0.69。有趣的是，统计数据表明，即使增加了杠杆约束，g（N）的预期值也为正。最值得注意的是，即使在无法确定的情况下，我们也观察到，控制者限制了损失。例如，99.99%的不可验证样本路径显示的损失限制在初始账户价值的10%以下。七、结论本文的主要结果是针对具有有界非零动量的两个方向相关股票的交易，提出了一种新的鲁棒正期望（RPE）定理。给定不确定度界umin、umax和εmax，该定理提供了关于K的必要和充分条件，在该条件下，保证了稳健的正预期交易增益E[g（N）]。如果定理的条件导致没有满足RPEcondition的正K，我们认为这对是不可交易的。这反映了一个事实，即不确定性边界太大，无法实现鲁棒性保证。作为未来研究的一种方式，一个合理的步骤是使用历史数据对我们新的双股票控制器进行回溯测试，并将其性能与传统的成对交易算法进行比较。还值得注意的是，新控制器两臂的投资水平I（k）和I（k）是独立的。潜在的研究方向包括开发投资水平交叉耦合的新控制器；每个控制器取决于另一个控制器的性能。另一个有趣的研究方向是将本文提出的理论概括为一篮子两个以上的方向相关股票。附录这里，我们得到了在单个股票上运行的anSLS控制器的E[g（N）]表达式。给定价格过程S（k）在k=0，1，2，3。

，N，具有独立的返回值ρ（k），其中常量平均u=E[ρ（k）]，从SLS控制器I（k）开始。=I+千克（k），I（k）。=-我- 第I节中描述的Kg（k），用更新方程gi（k+1）=gi（k）+Ii（k）ρ（k）表示I=1，2和g（0）=g（0）=0，代替Ii（k），g（k+1）=（1+kρ（k））g（k）+Iρ（k）；g（k+1）=（1- Kρ（K））g（K）- Iρ（k）。当ρ（k）和gi（k）相互独立时，取这两个方程中的期望，我们得到[g（k+1）]=（1+ku）E[g（k）]+Iu；E[g（k+1）]=（1- Ku）E【g（K）】- Iu。由于上面的每个方程都有一个简单的标量状态空间形式x（k+1）=ax（k）+bu（k），初始条件为零，常量输入u（k）=Iu，因此简单的计算会导致toE[g（N）]=IK（1+Ku）N- 1.;E[g（N）]=IK(1 - Ku）N- 1..现在，将上述两种溶液相加，我们得到[g（N）]=IKh（1+Ku）N+（1- Ku）N- 2i。参考文献【1】B.R.Barmish和J.A.Primbs，“关于理想布朗运动股票市场中通过线性反馈的套利可能性”，《IEEE决策与控制会议论文集》，第2889–2894页，奥兰多，2011年。[2] B.R.Barmish和J.A.Primbs，“关于通过无模型反馈控制器进行股票交易的新范式”，IEEE Transactionson Automatic Control，AC-61，第662–6762016页。[3] B.R.Barmish，“基于反馈控制的股票交易策略的性能限制”，《美国控制会议论文集》，第3874-3879页，旧金山，2011年。[4] T.M.Cover，“通用投资组合”，数学金融，第1卷，第1-29页，1991年。[5] N.G.Dokuchaev和A.V.Savkin，“具有不可观测参数的市场的有界风险策略”，《保险：数学与经济学》，第243-254页，第30卷，第2期，2002年。[6] N.G.Dokuchaev，《动态投资组合策略：不完全信息的定量方法和经验规则》，斯普林格科学与商业媒体，2012年。[7] B.R.Barmish和J.A。

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