股票鲁棒正期望定理的推广

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英文标题：
《A Generalization of the Robust Positive Expectation Theorem for Stock
  Trading via Feedback Control》
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作者：
Atul Deshpande and B. Ross Barmish
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The starting point of this paper is the so-called Robust Positive Expectation (RPE) Theorem, a result which appears in literature in the context of Simultaneous Long-Short stock trading. This theorem states that using a combination of two specially-constructed linear feedback trading controllers, one long and one short, the expected value of the resulting gain-loss function is guaranteed to be robustly positive with respect to a large class of stochastic processes for the stock price. The main result of this paper is a generalization of this theorem. Whereas previous work applies to a single stock, in this paper, we consider a pair of stocks. To this end, we make two assumptions on their expected returns. The first assumption involves price correlation between the two stocks and the second involves a bounded non-zero momentum condition. With known uncertainty bounds on the parameters associated with these assumptions, our new version of the RPE Theorem provides necessary and sufficient conditions on the positive feedback parameter K of the controller under which robust positive expectation is assured. We also demonstrate that our result generalizes the one existing for the single-stock case. Finally, it is noted that our results also can be interpreted in the context of pairs trading.
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中文摘要：
本文的出发点是所谓的稳健正期望（RPE）定理，这是一个出现在文献中的同时进行多空股票交易的结果。该定理表明，使用两个特殊构造的线性反馈交易控制器（一个长控制器和一个短控制器）的组合，所得到的损益函数的期望值对于一大类股票价格随机过程是鲁棒正的。本文的主要结果是对该定理的推广。鉴于之前的工作适用于单个股票，在本文中，我们考虑一对股票。为此，我们对他们的预期回报做出了两个假设。第一个假设涉及两支股票之间的价格相关性，第二个假设涉及有界非零动量条件。在已知与这些假设相关的参数的不确定性界的情况下，我们新版本的RPE定理提供了控制器正反馈参数K的充要条件，在此条件下，鲁棒正期望得到保证。我们还证明了我们的结果推广了单股票情况下的结果。最后，值得注意的是，我们的结果也可以在配对交易的背景下进行解释。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_Generalization_of_the_Robust_Positive_Expectation_Theorem_for_Stock_Trading_vi.pdf (345.43 KB)

2022-6-14 00:41:48 上传

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关键词：Quantitative Applications Econophysics SIMULTANEOUS expectation

通过反馈控制的股票交易鲁棒正期望定理的推广Atul Deshpande和B.Ross BarmishAbstract-本文的出发点是所谓的鲁棒正期望（RPE）定理，这是文献中在同时进行多空股票交易的情况下得出的结果。该定理表明，使用两个特殊构造的线性反馈交易控制器（一个长控制器和一个短控制器）的组合，对于股票价格的一大类随机过程，结果损益函数的期望值保证是鲁棒正的。本文的主要结果是对该定理的推广。鉴于之前的工作适用于单个股票，在本文中，我们考虑一对股票。为此，我们对他们的预期回报做出了两个假设。第一种假设涉及两种股票之间的价格相关性，第二种假设涉及有界非零动量条件。在已知与这些假设相关的参数的不确定性边界的情况下，我们新版本的RPE定理为控制器的正反馈参数K提供了必要和充分的条件，在此条件下，鲁棒正期望得到保证。我们还证明了我们的结果概括了单个股票案例的现有结果。最后，它指出，我们的结果也可以在配对交易的背景下进行解释。一、 引言本文的主要动机是所谓的单只股票同时多空（SLS）交易的鲁棒正期望定理；参见[1]和[2]。

这是一个随机版本的套利定理，最初是在文献[3]中针对连续可微股票价格引入的。它告诉我们，两个控制器的组合，一个用于长期交易，一个用于短期交易，为Aguarante提供了收益-损失函数的预期值对于一系列基础股票价格是稳健的正值，这些基础股票价格是几何布朗运动（GBM），漂移u未知，波动率σ未知。在文献[4]中提出了稳健投资组合平衡策略的情况下，我们在文献[5]和其他相关作者的工作（如[6]）中找到了关于稳健积极预期的最早贡献。与上述情况相反，我们在这里重点关注线性反馈控制框架，这在文献[1]–[3]和[7]–[12]中都有涉及。推动本文的文献主体包括基本股票价格和控制结构的影响因素。例如，在参考文献[9]中，给出了默顿的jumpAtul Deshpande生成的股票价格的稳健性结果。Deshpande是一名研究生，在威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气和计算机工程系攻读博士论文，邮编53706。阿图尔。deshpande@wisc.eduB.Ross Barmish是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的教员，邮编53706。上下快速移动barmish@wisc.edudiffusion模型和参考文献【10】–【12】描述了离散时间情况下SLS控制器的变体。为了结束这项简短的调查，我们注意到上述大多数文献都属于[13]中规定的鲁棒控制范式。与这一研究方向关系不太密切的是参考文献[14]–[20]，与关于鲁棒控制的论文不同，这些参考文献是基于相当具体的股价模型。

例如，在【14】中，股票价格被建模为由有限状态马尔可夫链耦合的GBM过程，而在【15】中，交易信号被建模为基于GBM模型的Ito过程。另一方面，在【16】–【20】中，无论是交易资产还是多个资产之间的关系，都被建模为阿梅恩回复奥恩斯坦-乌伦贝克过程。鉴于SLS文献关注的是单只股票的交易，在本文中，我们考虑了同时交易两只股票的场景。将单一库存理论扩展到两个库存的一个简单方法是为每个库存实施单独的SLS控制器。也就是说，每只股票的强劲正预期收益（RPE）意味着成对交易也有RPE。在本文中，我们研究了一种交易对的不同方法，即控制器的一只手臂在其中一只股票上做多，另一只手臂在另一只股票上做空。这种新的控制结构的动机是希望探索两支股票之间的相关价格行为，而不是单独对待它们。为此，我们对股票动力学做出了一定的假设，即方向相关性和有界动量条件的满足性。让g（N）表示到第N阶段的累积增益或损失，我们描述了一个具有反馈参数K的广义SLS控制器，该控制器是使用已知的不确定性界构造的。我们对两个股票案例的主要结果提供了关于K的必要和充分条件，根据与上述条件相关的参数变化，可以保证条件E[g（N）]>0的稳健满足。我们还展示了这些结果如何将RPE定理推广到单只股票的情形。鉴于我们的公式是针对两个具有相关价格动态的股票，本文为“配对交易”文献提供了一个新的视角。

然而，与本文献不同的是，我们不包括价格逆转的假设，无论是通过依赖于[17]–[20]中奥恩斯坦·纽伦贝克（OrnsteinUhlenbeck）的模型，还是[21]和[22]中关于价差函数的更一般模型。现有结果正在推广：本文的出发点是用于单只股票交易的anSLS控制器的鲁棒正期望定理。事实上，假设股票的价格由离散时间随机图表示。SLS控制器在k=0，1。N、 ρ（k）表示第k周期内的回报；i、 e.，ρ（k）=S（k+1）- S（k）S（k）被视为独立的，具有未知的常数平均u。=E[ρ（k）]，对于k=0，1，2，N- 1、根据上述设置，图1所示的同时多空（SLS）控制器确定k阶段股票的净投资水平I（k）。这是通过将两个线性时间不变量控制器的输出相加来实现的。第一种方法对长期交易使用初始正I（k），第二种方法对短期交易使用初始负I（k）。具体来说，多头头寸I（k）>0表示交易员持有适当数量的股票，并随着S（k）的增加而获利。另一方面，当股价下跌时，空头头寸I（k）<0会导致接近尾数。

We takeI（k）。=I+千克（k）；I（k）。=-我- Kg（k），初始投资I>0，反馈参数k>0，g（k），g（k）是两个控制器的累积增益损失函数，初始值g（0）=g（0）=0。随后，交易员在股票I（k）中的净投资水平为I（k）=I（k）+I（k）=k（g（k）- g（k））。我们得出的稳健正期望结果告诉我们：除了在u=0时得到的退化盈亏平衡情况外，累积增益损失函数g（k）=g（k）+g（k）在期望值上稳健正。也就是说，在不知道u的情况下，满足条件E[g（N）]>0。此外，如现有工作（如[10]）所示，预期的增益损失函数由[g（N）]=IKh（1+Ku）N+（1）明确给出- Ku）N- 2i，由于（1+x）N+（1- x） 对于所有x 6=0和N，N>2≥ 2、由于这一结果是我们当前工作的出发点，为了自成一体的阐述，我们在附录中提供了上述E[g（N）]公式的基本推导。二、两种股票的设置和市场假设在本节中，我们考虑两种股票而不是一种股票，现在描述有效的假设。这些假设不仅针对这两种股票的价格过程，还针对我们经营的市场。股票价格动态：我们考虑股票和随机变化的价格S（k）和S（k），分别为k=0，1，2，N和N>1。股票收益率，由ρi（k）给出=Si（k+1）- 假设i=1，2的Si（k）Si（k）分别独立于k=0，1，2，N- 1，常数表示u=E[ρ（k）]，u=E[ρ（k）]。

假设这些收益之间的关系满足以下条件：方向相关收益假设：我们假设存在一个常数β6=0，即μ=βu，β=（1+ε）β，交易者已知β6=0，ε不确定，已知界限0≤ ε ≤ εmax。注意，上述表示符号β=所有容许ε的符号β，即β的大小存在不确定性，但其符号不存在。有界非零动量假设：假设交易者已知正常数umin和umax，例如umin≤ |u| ≤ umax.备注：以上u上的界限与方向相关回报的假设相结合，得出由0<β|umin给出的u上的界限≤ |u| ≤ （1+εmax）|β|umax。对于两种原料为一种且相同的特殊情况，β≡ 1，εmax=0，该公式简化为文献中描述的单一库存问题的限制版本。理想化市场假设：假设交易在理想化市场条件下进行。也就是说，没有交易成本，如经纪佣金、买卖股票的费用或税费。对于这样一个市场，还假设存在完美的流动性；i、 例如，买卖价格之间没有差距，交易者可以按照当前交易价格购买或出售任何数量的股票，包括部分股票。也就是说，交易者是一个价格接受者，投资的金额足够小，以免影响股票的价格。这些假设与“无摩擦市场”背景下的金融文献中的假设相似，最早可追溯到【23】。杠杆、保证金和利息：实际上，经纪人通常根据账户价值V（k）对投资水平施加限制。例如，交易者可能受到约束| I（k）|+| I（k）|的约束≤ γV（k），其中γ≥ 1消除所谓的杠杆效应，扩大杠杆效应。

在接下来的理论中，我们假设杠杆从来都不是一个激励因素。也就是说，充足的资源可用于各个股票的任何预期投资水平。因此，不存在涉及保证金利息的问题。最后，值得注意的是，没有提到交易账户中闲置现金的普通利息。对此的解释是，本文的结果完全集中于可归因于交易的收益和损失g（k）和g（k）。三、 双股票控制器从股票和S开始，我们现在描述的双股票广义DSLS控制器具有与图1中相同的结构。然而，对于这种更一般的情况，我们将两个股票价格作为控制器的输入，允许不同的初始投资I0,1，I0,2，而不是Iandhave K，Kinstead of K。将I（K）转化为I（K）的线性反馈控制器由I（K）给出I0,1+千克（k）；I（k）。=-I0,2- Kg（k），参数I0、iand Ki由交易者选择，如下所述，g（k）和g（k）是初始值为g（0）=g（0）=0的投资的累积损失函数。参数选择：我们首先选择初始投资参数I>0和反馈参数K>0。然后，根据这两个参数定义的两个控制器的初始投资水平为0,1我I0,2=Iβ和反馈参数sk=KK、 =Kβ。备注：我们观察到，I0、iand Kiabove的选择弥补了这两种股票的不同动量。当β>0时，请注意初始投资满足I（0）>0和I（0）<0。然而，这些数量中的一个或两个的迹象可能在后期k发生变化。因此，尽管最初做多做空S，但我们在后期k的库存可能会有所不同。

对于β<0，可以做出类似的陈述。分析的起点：对第一节中的单股公式进行简单的修改，我们得出的结果是[g（N）]=I0,1Kh（1+Ku）N- 1i+I0,2Kh（1- Ku）N- 1i=IKh（1+Ku）N+（1- Ku（1+ε））N- 2i.=GN（K，u，ε）表示两种库存情况。注意，当εmax=0时，上述公式将减少到单个库存情况下的公式。上面的符号GN（K，u，ε）使K，u和ε的依赖关系显式，这将有助于后续结果的展示和证明。四、 主要结果在接下来的定理中，我们刻画了Kleading集，以满足g（N）关于u和ε的鲁棒正期望，在其各自的边界集内。我们还提供了一个推论，当β=1和εmax时，可以恢复现有的单一股票结果→ 第五节提供了本节结果的所有证明。稳健正期望定理：假设两支股票的收益率具有方向相关性，并且满足有界非零动量条件，相关的不确定性界为0≤ ε ≤ εmax和0<umin≤ |u| ≤ umax.然后，对于N个奇数，K>0的twostock广义SLS控制器保证在所有容许的u和ε下，当且仅当GN（K，umin，εmax）>0时，不满足条件GN（K，u，ε）>0；GN（K，umax，εmax）>0。对于N偶，只有当K＞2N时，才保证鲁棒满足- 1/umin，或K≤ 1/（umin（1+εmax））和gn（K，umin，εmax）>0。备注：如第六节所示，为了准确估计保证满足上述稳健正期望条件的K集，我们可以简单地在K>0的适当大范围内进行参数扫描。与单个股票案例的现有结果不同，一个可能的结果是满足定理要求的K集是空的。

当不确定性边界“太大”时，可能会发生这种情况下面的推论适用于两个股票为同一股票的特殊情况；i、 e.β=1，我们考虑εmax→ 0以恢复单个股票案例的现有结果，如下所示。推论：给定任意K>0，对于εmax适当小，保证满足所有容许u和ε的条件E[g（N）]>0的鲁棒性。五、 理论证明本节可以被试图避免技术细节的读者跳过。回顾GN（K，u，ε）表示固定K，u和ε的E[g（N）]，我们分析的出发点是，当且仅当所有容许对（u，ε）的GN（K，u，ε）>0时，稳健正期望特性才成立。我们首先给出一些符号、初步定义和一些引理，这些将有助于后续的证明。实际上，对于固定θ，我们定义了多项式gθ（ε）。=（1+θ）N+（1- θ（1+ε））N- 2对于ε≥ 注意Gθ（ε）和GN（K，u，ε）的表达式之间的相似性。实际上，当θ=Ku时，Gθ（ε）>0当且仅当GN（K，u，ε）>0。定义（临界不确定度界限）：对于固定θ，临界不确定度界限定义为εc（θ）。=inf{ε>0:Gθ（ε）≤ 0}.备注：给定K和u，数量εc（Ku）告诉我们预期增益GN（K，u，ε）为非正的最小ε。使用约定，即空集上的最小值为+∞, 如果θ<0，由于所有ε>0的Gθ（ε）>0，我们得到εc（θ）=+∞. 此外，当θ=0时，对于所有ε>0，Gθ（ε）=0，因此εc（0）=0。最后，对于θ>0，注意Gθ（ε）的连续性以及Gθ（0）>0确保εc（θ）>0的事实。当θ>0时，下面的引理更充分地刻画了非平凡情况下的函数εc（θ）。符号约定：在遵循的证明中，有很多情况下需要根操作。