非线性市场中美式期权的无套利定价

有关这些属性的详细说明，请参见定义2.2–2.6。为简洁起见，我们写下（p，ν，τ）∈ （AO）如果三重态（p，Д，τ）满足条件（AO）；类似约定将适用于定义2.1中引入的其他条件。如果属性（SH）满足三元组（p，Д，τ），那么我们说发行人在τ出现时的超边缘。注意，根据可选截面定理，条件（SH）适用于一对（p，ν）∈ R×ψ（x+p，A）和所有τ∈ T当且仅当（p，Д）不等式Vt（x+p，Д）+Xht≥ Vbt（x）对每个t有效∈ [0，T]。这一简单的观察正好证明了以下一对（p，Д）的属性定义（SH）。定义2.2。我们说一对（p，ν）∈ R×ψ（x+p，A）满意度（SH）（brie fly，（p，ν）∈ （SH））如果不等式Vt（x+p，ν）+Xht≥ Vbt（x）每t保持一次∈ [0，T]。然后（p，Д）被称为扩展市场Mp（Ca）中的Anisuer超边缘策略。三元组（p，Д，τ）的性质（AO）被称为发行人在时间τ的严格超边缘（或发行人的评级机会）。定义2.3。我们说一对（p，ν）∈ 如果三重态（p，Д，τ）符合每个τ的条件（AO），则R×ψ（x+p，A）满足条件（AO）∈ T然后我们还说（p，ν）在扩展市场Mp（Ca）中创造了Anisuer的套利机会。以下引理是定义2.3的直接结果。引理2.1。如果一对（p，Д）∈ R×ψ（x+p，A）是这样的：Vt（x+p，ν）+Xht>Vbt（x），对于每个时间点∈ [0，T]，然后（p，Д）全融资（AO），因此发行人的套利机会出现在扩展市场Mp（Ca）中。我们认为，如果（p，Д，τ）满足条件（NA），则在τ时（p，Д）不会产生发行人的套利。我初步发现，如果一个三元组（p，Д，τ）不能满足（NA），那么它将充满（AO），因此发行人的评级机会将在发行人策略的时间τ出现（p，Д）。

按照惯例，我们从此设置inf = ∞ 和sup = -∞. 请注意，上标f代表公平，i代表发行人。6 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义2.4。我们认为，pf，i（x，Ca）是发行人对CAI的公平价格，如果p=pf，i（x，Ca），则Mp（Ca）中不会出现发行人的任意机会（p，ν）。因此，发行人的公平价格设定为：i（x）：=p∈ R | φ ∈ ψ（x+p，A） τ ∈ T：（p，Д，τ）∈ （不适用）发行人公平价格的上界由PF给出，i（x，Ca）：=supp∈ R | p是发行人对Ca的公平价格= sup Hf，i（x）。（2） 如果equalitypf，i（x，Ca）=max Hf，i（x）保持不变（即每当pf，i（x，Ca）∈ Hf，i（x）），thenpf，i（x，Ca）表示为bpf，i（x，Ca），并称为发行人对Ca的最大公平价格。为了减少记法，变量（x，Ca）有时会被抑制，因此我们将写epf，i，pf，i，bpf，i等，而不是pf，i（x，Ca），pf，i（x，Ca），bpf，i（x，Ca）等。假设2。前向单调性性质成立：对于所有x，p∈ R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和p′>p（分别为p′<p），存在交易策略Д′∈ ψ（x+p′，A）使得vt（x+p′，Д′）≥ Vt（x+p，Д）（分别为Vt（x+p′，Д′）≤ Vt（x+p，Д））每t∈ [0，T]。引理2。2、满足假设2.1。如果p∈ Hf，i（x），那么对于任何p′<p，我们都有p′∈ Hf，i（x）。因此，如果Hf，i（x）6=, 那么Hf，i（x）=(-∞,pf，i]=(-∞, bpf，我]为了某些事，我∈ R或Hf，i（x）=(-∞, pf，i）其中pf，i∈ R∪ {∞}.证据我们用矛盾来争论。如果Hf，i（x）=, thenpf，i=-∞. 现在让我们考虑一下Hf，i（x）6=. 假设p∈ Hf、i（x）和数字p′＜p不是发行人的公平价格。那么就有了Д′∈ ψ（x+p′，A），使得每个τ的（p′，Д′，τ）满填充（AO）∈ T因此，根据假设2.1，存在∈ ψ（x+p，A），使得三重态（p，Д，τ）符合每个τ的（AO）∈ T

这显然与p属于Hf，i（x）的假设相矛盾，因此我们得出结论，断言的属性是有效的。有界收益条件（BGε）规定，发行人与三元组（p，Д，τ）相关的收益从上方以ε为界。这导致发行人的超额成本的以下定义，收益微乎其微。定义2.5。我们说p∈ R是发行人的超边际成本，CaifforEvery^1的收益微乎其微∈ ψ（x+p，A），使条件（SH）满足（p，Д）∈ R×ψ（x+p，A），对于每一个ε>0，存在一个τε∈ T使得Vτε（x+p，Д）+Xhτε≤ Vbτε（x）+ε。由Hn，i（x）表示的具有可忽略增益的allissuer超边际成本集合，即Hn，i（x）：=p∈ R | （p，Д）∈ R×ψ（x+p，A）满足（SH）  > 0  τε∈ T：（p，Д，τε）∈ （BGε）.备注2.1。请注意，发行人的超边际成本（收益可忽略不计）不一定是唯一的。例如，假设一对（p，ν）∈ R×ψ（x+p，A）满足（SH），因此Vτ（x+p，ν）+Xhτ≥Vbτ（x）表示所有τ∈ T和VT-（x+p，Д）+XhT-= VbT公司-（x） 。可以假设存在一个δ>0，使得对于每个Д′∈ R×ψ（x+p+δ，A），使得（p，ν′）∈ （SH），我们有VT-（x+p，Д）+XhT-= 及物动词-（x+p+δ，Д′）+XhT-= VbT公司-（x） 和VT（x+p+δ，Д′）+XhT>VT（x+p，Д）+XhT。很明显，p和p+δ都是发行人的超额成本，收益微乎其微。最后，让我们介绍与定义2.1中介绍的盈亏平衡条件（BE）相关的停止时间。定义2.6。如果条件（BE）满足（p，Д，τ）∈ R×ψ（x+p，A）×T，然后是停止时间τ∈ T称为发行人对该对的盈亏平衡时间（p，^1）∈ R×ψ（x+p，A）。请注意，即使对（p，Д）固定，通常也无法确保发行人盈亏平衡时间τ的唯一性。

显然，任何发行人的盈亏平衡时间都可以正式归类为可供Cabut持有人使用的行权时间之一，正如我们将在下文中所述，发行人对美式期权7的非线性定价盈亏平衡时间不太可能也是持有人的合理行权时间。这是因为持有人在导致发行人收支平衡或禁止发行人套利机会的停止时间行权实际上并不总是有利的。首先，持有人通常不知道发行人的交易策略。其次，持有人应该理性地对待自己的支付和对冲能力。持有人的合理行使时间可以典型地与持有人盈亏平衡时间的特定实例相一致，这在定义2.8中介绍。最早发行人的盈亏平衡时间稍后将表示为τ*,i、 而对于最早持有人的合理行使时间，我们将使用符号τ*,h、 2.2.2持有人的公平价格Let us现在分析Ca持有人的公平定价问题。我们假设他拥有交易前初始财富x∈ R和他的计算是指基准财富过程vb（x）。回想一下，我们写的是V（x- p、 ψ）：=V（x- p、 ψ，-A） 当没有混淆的危险时。定义2.7。我们说（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×T满足：（AO′）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ≥ Vbτ（x）和PVτ（x- p、 ψ）- Xhτ>Vbτ（x）> 0，（SH′）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ≥ Vbτ（x），（BL′ε）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ≥ Vbτ（x）- ε、 （BE′）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ=Vbτ（x），（NA′）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ=Vbτ（x）或PVτ（x- p、 ψ）- Xhτ<Vbτ（x）> 属性（AO′）（分别，（SH′）被称为持有者的严格超边缘（分别，超边缘）条件。请注意，有界损失性质（BL′ε）意味着持有人的损失从下方有界于-ε.

条件（BE′）导致以下定义。定义2.8。如果等式Vτ′（x- p、 ψ）- Xhτ′=Vbτ′（x）保持，然后是停止时间τ′∈ 这被称为这一对的持有者盈亏平衡时间（p，ψ）∈ R×ψ（x- p-A） 。持有人套利机会的概念反映了一个事实，即持有人有权行使美国合同，即方便地选择合同结算和终止的停止时间τ。具体而言，持有人在Mp（Ca）中的套利机会为a套利（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×T满足条件（AO′）。对于三重态（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×T，我们说在时间τif（p，ψ，τ）ful fills（NA′）时（p，ψ）不会产生持有人套利。很容易看出三重态（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×t当且仅当满足（NA′）时，才满足（AO′）。定义2.9。我们说，pf，h（x，Ca）是CAI的持有人公平价格，如果p=pf，h（x，Ca），则扩展市场Mp（Ca）中不会出现持有人的任意机会（p，ψ，τ）。因此，持有人公平价格集等于hf，h（x）：=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （NA′）持有者公平价格的下界由pf给出，h（x，Ca）：=infp∈ R | p是Ca的持有人公平价格= inf Hf，h（x）。（3） 如果等式pf，h（x，Ca）=min Hf，h（x）成立，则pf，h（x，Ca）表示为pf，h（x，Ca），并称为持有人的最小公平价格，约为引理2.3。满足假设2.1- A、 如果p∈ Hf，h（x），那么对于任何p′>p，我们都有p′∈ Hf，h（x）。因此，如果Hf，h（x）6=, 然后Hf，h（x）=[pf，h，∞) = [pf，h，∞) orHf，h（x）=（pf，h，∞).8 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义2.10。我们说p∈ 如果每ε>0存在一对（ψ，τ），则R是具有可忽略损失的持有人成本∈ ψ（x- p-A） ×T，使得Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ≥ Vbτ（x）- ε.

用Hn，h（x）表示的CAI可忽略损失的所有持有人成本集，即Hn，h（x）：=p∈ R |  > 0  (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （BL′ε）.2.3超边际成本（严格的）超边际策略的概念以及发行人和持有人的相关成本是相当标准的。对于发行人，它们分别基于条件（SH）和（AO），而对于持有人，它们分别取决于条件（SH′）和（AO′）。这意味着对于发行人，我们需要施加一些对每个τ都有效的条件∈ T，而对于holderit，有必要假设某些τ满足类似条件∈ T2.3.1发行人超边际成本首先引入发行人严格超边际成本下限的概念。定义2.11。pa给出的发行人针对CAI的严格超额成本的下界，i（x，Ca）：=inf Ha，i（x），其中Ha，i（x）：=p∈ R: φ ∈ ψ（x+p，A）：（p，Д）∈ （AO）.如果等式pa，i（x，Ca）=min Ha，i（x）成立，则表示为pa，i（x，Ca），并称为发行人对Ca的最小超边际成本。很容易看出，Ha，i（x）是Hf，i（x）的补充，因此，根据引理2.2，等式pa，i（x，Ca）=pf，i（x，Ca）在假设2.1下满足。更准确地说，我们处理以下备选方案：eitherHf，i（x）=(-∞, bpf，i]和Ha，i（x）=（pa，i，∞) （4） orHf，i（x）=(-∞,pf，i）和Ha，i（x）=[pa，i，∞). （5） 定义2.12。ps给出的发行人对CAI的超边际成本下限，i（x，Ca）：=inf Hs，i（x），其中Hs，i（x）：=p∈ R: φ ∈ ψ（x+p，A）：（p，Д）∈ （上海）.如果等式ps，i（x，Ca）=min Hs，i（x）成立，则ps，i（x，Ca）表示为ps，i（x，Ca），并称为发行人对Ca的最小超额成本。很明显，Ha，i（x） Hs，i（x），因此ps，i（x，Ca）≤ pa，i（x，Ca）。通常，它可能发生在ps，i（x，Ca）<pa，i（x，Ca）=pf，i（x，Ca）时。

为了避免这种有问题的情况，我们引入了假设2.2，这确保了ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca），因此ps，i（x，Ca）=pf，i（x，Ca）。显然，假设2.2比假设2.1强。假设2.2。前向严格单调性性质成立：对于所有x，p∈ R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和p′>p（分别为p′<p），存在交易策略Д′∈ ψ（x+p′，A），使得每t∈ [0，T]。引理2.4。如果满足假设2.2，则等式ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）成立，且USPF，i（x，Ca）=ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）。美式期权的非线性定价证明。首先假设Hs，i（x）6= 或者，等效地，ps，i（x，Ca）<∞ （回想一下 = ∞). 由于假设2.2成立，很明显，对于任意的p∈ Hs，i（x）和任何ε>0时，存在一个策略Д′∈ ψ（x+p+ε），使得条件（AO）由对（p+ε，Д′）满足。因此，p+ε属于Ha，i（x），因此p+ε≥ pa，i（x，Ca）。从p的任意性∈ Hs，i（x）和ε>0，我们推断ps，i（x，Ca）≥ pa，i（x，Ca）。从定义2.12后的讨论中，我们得到ps，i（x，Ca）≤ pa，i（x，Ca），因此ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）。回顾Pf，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）（见定义2.11后的评论），我们得出结论，如果Hs，i（x）6=. 现在我们假设Hs，i（x）= 所以Ha，i（x）=同样，由于Ha，i（x） Hs，i（x）。那么，一方面，ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）=∞ 另一方面，pf，i（x，Ca）=∞, 由于Hf，i（x）=R是Ha，i（x）的补码。因此，在这种情况下，也可以满足所评估的等式。2.3.2持有人的超边缘成本请让我们检查持有人的严格超边缘成本。定义2.13。

PA给出的CAI持有人严格超边际成本的上界，h（x，Ca）：=sup Ha，h（x），其中Ha，h（x）：=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （AO′）.如果等式pa，h（x，Ca）=max Ha，h（x）成立，则pa，h（x，Ca）表示为bpa，h（x，Ca），并称为持有者对Ca的最大严格超边缘成本。很容易看出，Ha，h（x）是Hf，h（x）的补充。因此，我们从引理2.3中推断，在假设2.1和eitherHa，h（x）=pf，h（x，Ca）下，等式是满足的(-∞, pa，c）和Hf，h（x）=[pf，h，∞) （6） orHa，h（x）=(-∞, bpa，c]和Hf，h（x）=（pf，h，∞). （7） 与发行人类似，我们还为持有人引入了超级边缘策略的概念。定义2.14。Caequalsps的持有人超边际成本上限，h（x，Ca）：=sup Hs，h（x），其中Hs，h（x）：=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （SH′）.如果等式ps，h（x，Ca）=max Hs，h（x）成立，则ps，h（x，Ca）表示为bps，h（x，Ca），并称为持有人对Ca的最大超边缘成本。很明显，Ha，h（x） Hs，h（x）和不等式，h（x，Ca）≥ pa，h（x，Ca）有效。此外，假设2.2确保等式成立。引理2.5。如果假设2.2满足-A、 然后等式ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）成立，因此pf，h（x，Ca）=ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）。证据首先假设Hs，h（x）6= 或者，等效地，thatps，h（x，Ca）>-∞. 假设2.2下，对于任何p∈ Hs，h（x）和ε>0，存在一对（Д′，τ）∈ ψ（x-（p-ε） ）等（p-ε、 ν′，τ）满足条件（AO′），即p-ε ∈ Ha，h（x），因此p-ε ≤ pa，h（x，Ca）。辛塞普∈ Hs，h（x）和ε>0是任意的，我们得出结论，ps，h（x，Ca）≤ pa，h（x，Ca）。不等式，h（x，Ca）≤ pa，h（x，Ca）总是满足的，因此ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）=pf，h（x，Ca），其中最后一个等式在假设2.1下成立。

现在我们假设Hs，h（x）=.那么，一方面，ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）=-∞ 自Ha起，h（x） Hs，h（x），另一方面，pf，h（x，Ca）=-∞ 由于Hf，h（x）是Ha，h（x）的补充。因此，资产质量在这种情况下也是有效的。10 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski2.4单边可接受价格下一个目标是分析以下问题：在何种假设下，美国合同的适当定义复制成本也是发行人（分别为持有人）的最大（分别为最小）公平价格。对这个问题的回答将引导我们了解由交易对手计算的单方面可接受价格这一至关重要的概念。2.4.1发行人的可接受价格我们现在将研究发行人复制合同的概念。在此之后，我们在假设2.2下工作，因此，根据引理2.4，我们得到thatpf，i（x，Ca）=ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）。（8） 定义2.15。pr给出的发卡机构对CAI的复制成本下限，i（x，Ca）：=inf Hr，i（x），其中Hr，i（x）：=p∈ R | (φ, τ) ∈ ψ（x+p，A）×T：（p，ν）∈ （SH）&（p，Д，τ）∈ （BE）.如果等式pr，i（x，Ca）=min Hr，i（x）成立，则pr，i（x，Ca）表示为pr，i（x，Ca），并称为发行人对Ca的最小复制成本。请注意，在定义2.15中，我们关注的是特定发行人的超边缘化战略，该战略存在一个盈亏平衡时间，我们不会对发行人可用的其他交易战略的财富流程施加任何限制。因此，原则上，对于p∈ Hr，i（x），可能存在另一对，比如（p，ψ），这是发行人严格的超边缘策略。这意味着发行人的复制成本不是发行人对Ca的公平价格。

为了消除定义2.15的这一缺陷，在下一个定义中，我们还对所有发行人的交易策略施加了与定义2.16相关的无套利条件（NA）。pf，r，i（x，Ca）给出的发卡机构公平复制成本的下限：=inf Hf，r，i（x），其中Hf，r，i（x）：=p∈ R | (φ, τ) ∈ ψ（x+p，A）×T：（p，ν）∈ （SH）&（p，Д，τ）∈ （BE）； φ′∈ ψ（x+p，A） τ′∈ T：（p，Д′，τ′）∈ （不适用）.如果等式pf，r，i（x，Ca）=最小Hf，r，i（x）成立，则pf，r，i（x，Ca）表示为pf，r，i（x，Ca），并称为Ca定义2.17的发卡机构最小公平复制成本。如果集合Hf，r，i（x）是一个单态，则其唯一元素表示为pi（x，Ca），并称为发行人的可接受价格。显然，如果pi（x，Ca）定义得很好，那么它与pf，r，i（x，Ca）一致。让我们研究定义2.1中引入的条件之间的一些有用关系。引理2.6。（i） 如果（p，Д）满足（SH）且（p，Д，τ）满足（NA），则（BE）对（p，Д，τ）有效。（ii）如果（p，Д）不能满足（SH），则存在τ∈ T使得（p，Д，τ）满足（NA）。（iii）以下条件是等效的：（a）对于满足（SH）的任何（p，Д），存在τ∈ T使得（p，Д，τ）满足（BE），（b）对于任何（p，Д），存在τ∈ T使得（p，Д，τ）满足（NA）。证据（i） 该声明几乎是条件（SH）、（NA）和（BE）定义的直接结果。实际上，假设一对（p，Д）满足（SH）和一个三重态（p，Д，τ）符合（NA）。显然，不等式P（Vτ（x+P，ν）+Xhτ<Vbτ（x））>0不能成立，因此（P，Д，τ）必须满足（BE）。美式期权的非线性定价11（ii）我们知道，如果一对（p，Д）满足（AO），那么它将充满（SH），因此如果（p，Д）不满足（SH），那么条件（AO）就不满足。