金融市场的多重分形分析

在他们的结果中，估计的赫斯特指数hxx、hyyand和Hxy都大于1，这意味着在去除局部趋势之前，它们将指数累加起来。还有其他针对不同类型趋势设计的去趋势方法，如小波变换【648】、奇异值分解【649，650】、混沌奇异值分解【651】、傅立叶变换【6 52-655】、拉普拉斯变换【656，657】、正交V系统平滑【658】、EMD去趋势【65 9-661】、基于ec ho状态网络的数据驱动去趋势【662】等。本质上，任何为趋势检测而设计的方法都可以用于对原始时间序列进行趋势分析。仔细调查应比较原始时间序列和去趋势时间序列之间的多重分形分析结果。据报道，在对具有规则周期或趋势的时间序列进行去趋势化处理时，季节模式化处理方法的性能优于傅立叶滤波法和自适应去趋势化处理方法【663664】。5.4. n非线性和过滤器的影响5.4.1。非线性效应Chen等人以三种方式研究了时间序列的非平稳性对去趋势波动分析结果的影响【665】。第一类非平稳性是通过“切割”过程引入的，该过程从时间序列中移除给定长度的分段，然后缝合以获取剩余部分。切割程序对持久tim e系列（H>0.5）的缩放行为没有任何影响，但可以向上扭曲F（s）函数。secon d型非平稳性是由具有不同属性的段引起的，例如不同的标准差或不同的相关指数。

对于由具有两个不同标准偏差值的段组成的非平稳持续时间序列，其标度行为与具有恒定标准偏差的平稳持续时间序列保持相同。对于非平稳的反持久时间序列，F（s）的标度行为中出现了交叉。对于具有不同局部相关性的非台站时间序列，标度也会发生变化。第三类非平稳性是通过向时间序列中添加具有不同振幅的随机异常值或峰值的可调浓度asp来实现的。相关峰值的去趋势函数表现为fu（s）=k√paspsα，（379），其中kis是常数，p是峰的浓度，α是估计的标度指数。接下来就是×=√paspkb！1/（小时）-α). （380）s的内在标度行为占主导地位>> s×。值得一提的是，一项有趣的工作研究了极端数据丢失如何影响长时间幂律相关和反相关信号的缩放行为【666】。研究发现，持久时间序列的全局扩展对极端数据丢失具有鲁棒性，即使极端数据丢失率高达90%，扩展指数也几乎保持不变。相反，反相关时间序列的全局缩放容易受到极端数据丢失和不相关行为变化的影响，即使极端数据丢失的比例很小。5.4.2. filterschen等人研究了过滤器对DFA的影响【667】。研究滤波器的影响是为了比较原始时间序列X（t）及其转换后的时间序列g（t）=g（X（t））的缩放行为。正如预期的那样，发现线性滤波器g（t）=aX（t）+ado不会改变相关特性。相反，非线性幂律g（t）=aXk（t）和对数g（t）=ln[X（t）+]滤波器的影响强烈依赖于H、k和。

Wang等人研究了线性和非线性滤波器对二项式多重分形测度多重分形分析的影响[668]。对于线性滤波器，g（t）=2X（t）+1，其中a是常数，具有与X（t）相同的多重分形特性。当应用q值和立方滤波器时，MF-PF和MF-DFA表明，滤波后的时间序列g（t）=X（t）和g（t）=X（t）表现出多重分形，其中αmin随着滤波器阶数的增加而变小，αmax随着滤波器阶数的增加而变大。对于对数滤波器g（t）=ln[X（t）+，随着的增加，αmax几乎保持不变，αmindecreases。Song和Shang对线性和非线性滤波器对MF-X-D FA的影响进行了数值研究【669】。他们发现线性滤波器g（t）=aX（t）+AHA对多重分形互相关特性没有影响。相反，非线性滤波器包括非线性多项式滤波器g（t）=aXk（t）、对数滤波器g（t）=ln[X（t）+、指数滤波器g（t）=exp[aX（t）+a]和幂律滤波器g（t）=[X（t）+a]对多重分形交叉相关行为有显著影响。注意，虽然线性滤波器对DFA、MF-D FA和MF-X-DFA没有影响，但由于DMA中的平移不变性被破坏，它们应该会影响DMA、MF-DMA和MF-X-DMA的缩放行为，θ为0.5。结合第4.5节，将指数滤波器应用于长内存过程（例如Hurstprocess）会导致多重分形。换言之，第4.5节的机制可以在研究滤波器对初始时间序列的影响时重新解释，该时间序列是简单的单分形。这种现象在参考文献中很早就被注意到了。[132, 670].5.5. 不同方法的性能5.5.1。

数学模型作为参考，为了比较不同多重分形分析方法的性能，人们通常将其应用于具有已知多重分形性质的数学模型。第一类参考模型是单分形的，如分数布朗运动[3 20]，自回归分数积分滑动平均（RFIMA）过程[101，102]。第二类参考模型是双分形的，如普通L'evy过程[671]、指数截断L'evy过程[672]和幂律尾时间序列[673]（见第7.1.1节）。第三类参考模型具有多重分形性质，包括乘性级联模型、MMAR模型、MSM模型和MRW模型（见第4节）。对于联合多重分形分析，可以使用二元分数布朗运动（BFBMs）[415416419]，双分量ARFIMA过程[140674]，和两个乘法测度[105141]。这些模型可以简单地扩展到多变量时间序列。5.5.2. 性能度量设H（q）、τ（q）和f（α）表示表示给定系统多重分形特性的真函数。对于每个数学模型，如果它是随机的，我们生成K个实现。利用某种多重分形分析方法，我们得到了k次实现的Hk（q）、τk（q）和fk（α）。平均值估计a re^H（q）=KKXk=1^Hk（q），^τ（q）=KKXk=1^τk（q），和^f（α）=KKXk=1^fk（α），（381），其中平均值在固定q下执行。

相应的方差为σ^H（q）=K- 1KXk=1h^Hk（q）-^H（q）i，σ^τ（q）=K- 1KXk=1^τk（q）- ^τ（q）, σ^f（α）=K- 1KXk=1h^fk（α）-^f（α）i，（382），可用于测量估计精度。多重分形分析方法的性能主要通过估计值与真值σ^H（q）=K的绝对偏差来衡量- 1KXk=1h^Hk（q）- H（q）i，σ^τ（q）=K- 1KXk=1^τk（q）- τ（q）, σ^f（α）=K- 1KXk=1h^fk（α）- f（α）i，（383）或相对误差se^H（q）=σ^H（q）H（q），e^τ（q）=σ^τ（q）τ（q），e^f（α）=σ^f（α）。（384）ab溶质偏差或相对误差允许我们确定哪种方法对不同的TQ值表现更好。这些措施可用于估计精度。当然，最简单的方法是测量估计值和理论值之间的差异。为了验证一种方法的总体性能，我们建议st使用平均误差：\'e^H=he^H（q）iq，\'e^τ=he^τ（q）iq，和\'e^f=he^f（α）iq，（385），其中HIQ表示所有q值的平均值。我们认为，绝对偏差的平均值不是衡量方法性能的合适指标。当然还有其他的绩效措施。例如，计算复杂性通常被用作算法性能的衡量标准。然而，现在这并不是一个关键问题。标度范围的宽度也是一个重要的衡量标准，但只能在有足够精度的情况下使用。5.5.3. 时间序列长度（“有限尺寸效应”）可以预计，很短的时间序列可能会产生“错误”的估计，因为估计的多重分形特性通常在较短的时间序列中偏差较大，这与对数泊松二项、对数伽马二项和对数范数二项测量结果一致[556]。

分区函数逼近c h也存在明显的有限尺寸效应[592]。时间序列长度的影响至少可以用数字来量化。Weron对估计的高斯白噪声DFA指数的置信区间进行了数值研究[675]。他发现置信度取决于时间序列的长度N=2nof和标度范围。对于较短的时间序列，置信区间更宽。在95%的置信水平下，置信区间为[0.5- 25.79n-2.33，0.5+29.37 n-2.46]对于s>10，[0.5- 85.63n-2.93，0.5+217.0 n-3.19]对于s>50。（386）已经从数值上获得了10个估计量的类似表达式[676]。5.5.4. pe rfo RMANCE的不完全比较当发明一种新的多重分形分析变体或新方法时，我们强调首先在已知多重分形时间序列上对该方法进行密集测试的重要性，正如Filimonov和Sornette在略有不同的上下文中所强调的（另请参见http://www.er.ethz.ch/media/essays/PNAS.html).事实上，在未知数据集上应用一种新的（因此是“未知的”）方法可能会导致错误的结论，因为这种新的现象通常是由分析方法引入的所有类型的偏差和扭曲导致的。相反，当使用已知的多重分形时间序列时，与理论上已知的多重分形性质的偏差会影响新分析方法引入的特性和偏差。反过来，这使研究人员能够将她的分析技术引入的扭曲与她希望发现的新奇效果分离开来。

良好的科学实践应要求该程序无一例外地执行，以防止文献中可能出现的许多虚假说法。接下来，我们将努力比较时间序列中长期相关性的不同估计量。在几个重要的研究中，比较了包括R/S分析和DFA在内的大约10种估计量，发现（局部）Whittleestimator在准确性和精密度方面表现最好[628678]。当R/S分析和DFA进行比较时，数值证据表明DFA在不同长度的时间序列中表现出更好的准确性和精度【675679】。我们还发现，集中式DMA和DFA能够获得准确的估计值[288289]。然而，如果时间序列中的趋势形式未知，或者有色噪声的长记忆缩放指数大于1，则建议使用DFA【28 7，2 88】。经典多重分形分析方法有许多变体。然而，其中许多材料的性能尚未通过合成试验的数值试验进行验证，因此，它们对上述Filimonov-Sornette临界值持开放态度【677】。大多数比较是在MF-DFA、MF-DMA、WTMM和MF-WL上进行的。Kantelhard t等人使用MF DFAA和WTMM对河流流量和流量时间序列的多重分形特性进行了研究，发现所得结果在误差m argins范围内吻合良好【680】。O’swie,cimka etal公司。使用MF-DFA和WTMM对金融时间序列进行多重分形分析，认为MF-DFA更适合于多重分形行为的全局检测，而WTM M是信号标度特性局部表征的最佳工具【681】。Figlio la等人。

比较了使用MF-DFA和MF-WL对癫痫发作受试者的EEG时间序列进行多重ctal分析的结果，得出结论，这两种方法在估计多重分形特性方面是等效的[682]。然而，这些比较并不是决定性的，因为它们不是从对具有先验已知多重分形特性的时间序列进行的大量数值实验中得出的。同样，对合成时间序列进行广泛测试的重要性再强调也不为过。Kantelhard t等人发现，对于具有加性线性和二次趋势的确定性多重分形二项式度量，WTMM和MF-DFA都能够获得良好的解，MF-DFA在负q值和短序列的精度方面略有优势【139】。O’swie,cimka等人使用分数布朗运动、bifr actal L’evy flights和四种多重分形二项级联比较了MF-DFA和WTMMS的性能【683】。对于分数布朗运动，MF-DFA可以正确识别其单分形，而WTMM常常产生虚假的多重分形。对于b ifractal L'evy flights，这两种方法都会产生虚假的多重分形，MF-DFA的性能相对更好。对于确定性二项测度，MF-DFA可以捕获多重分形谱的右侧部分，但会将左侧部分加宽。相比之下，当采用适当的小波时，WTMM可以很好地捕捉到左侧部分，但不能捕捉到右侧部分。此外，MF-DFA使用不同的detren-Ding多项式获得的多重分形谱几乎相同，而使用不同的小波获得的多重分形谱可能会非常不同。因此，对于确定性二项测度，MF-DFA的均方根值性能相对优于WTMM。MF-DFA在对数gamma和对数Poisson二项测度方面显著优于SWTMM。对于对数正态二项测度，这两种方法的性能相当好。

Mu rguia和Rosu证实，M F-DFA对确定性二项测度的WTMM进行了utperfo验证[684]。Salat等人发现，M F-DFA在确定性二项式测量中输出了MF-PF和WTMM格式【156】。Jaffard et a l.基于lo g-normal乘性随机小波级联s【323】，发现WTMM和MF WL产生相同的多重分形谱【685】。Turiel等人测试了MF-PF、WTMM、梯度模小波投影（GMWP）和梯度直方图（GH）的性能，发现GMWP方法是获得最佳性能的方法之一[255]。Serrano和Figliola基于Cantor集和确定性二项测度比较了MF-d FA和MF WL的性能【261】。他们发现MF-WL为这两个时间序列提供了更准确的估计。Gu和Zhou研究了基于确定性二项测度的MF-DFA和MF-DMA的性能【290】。他们发现，估计的多重分形标度指数tτ（q）和奇异谱f（α）与理论值非常一致。另外，前向和后向MF-DMA方法的性能最好，M F-DFA稍差，尤其是q>0时，而中心MF-DMA方法的性能较差。Xi等人[686]证实了这一结论，他们还发现，与MF-DFA相比，后向和前向MFDMA方法对确定性二项式度量的长度不太敏感，而ce-INTEREDMF DMA是最敏感的。Schumann和Kantelhardt发现，居中的MF-D MA和MF-DFA都可以很好地揭示确定性二项式测量的多重分形性质[291]。Huang等人通过分析分数布朗运动、随机多项指标和多重分形随机游动，比较了MF-HHSA、MF-SF、MF-DFA和MF-WL的性能【317】。

对于分形布朗运动，MF-SF和MF-WL在奇点宽度较窄的情况下提供了更好的估计。对于正在研究的多重分形时间序列，MF-HHSA和MF-DFA方法似乎比MF-SF和MF-WL方法提供更好的奇异谱。Welter和Esquef比较了MF-DFA、MF-DMA和EMD-DAMF在研究分数布朗运动、列维飞行、多重分形随机游动和确定性二项式测量方面的性能【319】。对于FBM过程，所有方法都表现良好，EMD-DAMF的估计比MF-DFA和MF-DMA略精确，但精度较低。对于L'evy工艺，EMD-DAMF在精度和精密度方面优于MF-DFA和MF-DMmethods。对于多重分形随机游动，MF-DFA在精度和精确度方面都表现最佳。MF-DMA和EMD-DAMF具有相似的精度，MF-DMA更精确。对于确定性二项式度量，MF-DFA和MF-DMA输出在精确度和精确度方面均形成EMD-DAMF，并且MF-DMAI比M F-DFA更精确，精确度相似。关于联合分形分析方法性能的比较研究相对较少。蒋和周比较了MF-X-DFA和MF-X-DMA[105]。他们发现，对于二元分数布朗运动和两分量ARFIMA过程，M F-X-DFA和中心MF-X-DMA算法的性能优于前向和后向MF-X-DMA算法。对于二项测度，前向MF-X-DMA算法的性能最好，中心MF-X-DMA算法的性能最差。Xi等人获得了类似（但不相同）的二项式测量结果[687]。Cao和Shi fou发现，对于双组分和混合相关ARFIMA过程，向后和向前MF-X-DMA方法输出以形式为中心的MF-X-DMA、MF-X-DFA和MFDCCAMODWT【688】。