基于径向基函数的金融衍生品高阶定价方法

集成后，解决方案转换回原始问题。使用GMRES【19】求解（2.10）中定义的线性系统，使用nofill将一个完整的LU分解作为预条件。迭代的收敛容差设置为10-作为每次迭代的初始条件，我们使用前一时间步的计算解。数值实验在配备2.3GHz Intel Core i7 CPU和16GB RAM的笔记本电脑上进行。RBF FDweights的计算是使用并行工具箱命令parforwith four Worker并行执行的。在图3中，我们绘制了错误umaxas是^h的函数≡ 1/√N以及模型问题的CPU时间。错误定义为u（s，s）=uc（s，s，0）- u*（s，s，0）|，（4.22），其中uci是计算的解，u*是在非常细的网格上用二阶有限差分法计算的参考溶液。我们使用（4.22）来定义umax=最大值[秒，秒]∈^Ohm美国，（4.23），其中Ohm =K、 K级×K、 K级. 我们用FD表示标准二阶导数[23]。RBF-FD-GS是一种RBF-FD方法，具有高斯RBF，模板尺寸m=25，以及节点密度相关的形状参数，详见【14】。本文提出的方法使用缩写RBF-FD-PHS。此外，我们使用Superscript中的平滑指定来进行初始数据的平滑计算，并使用均匀和非均匀指定节点布局。与所使用的空间离散化无关，我们在所有实验中均采用BDF2，m=Nstime步长。对于RBF-FD方法，NSI定义为（3.18），对于FD，由Ns定义=√N

在这种时间步数下，时间离散化误差在图中不可见。-2.-1.-6.-5.-4.-3^hConvergenceO（^h）RBF FD gsuniformormrbf FD phsnoniformo（^h）RBF FD gsuniformerrbf FD phssmoothedinformormfd RBF FD phssmoothedinformerfd-1时间性能图3：对于Europeancall选项，umaxas是^h和CPU时间（以秒为单位）的函数。在图3中，我们看到，除了使用平滑最终条件的两种方法外，所有方法都表现出二阶收敛性。在这五种二阶方法中，带PHS的RBF-FD对于给定的N显示出最小的误差，非均匀节点布局比使用相同的N的均匀节点布局给出的误差更小。带平滑最终条件的RBF-FD-PHS无论使用均匀还是非均匀节点布局都显示出四倍的空间收敛性（除了非均匀节点布局的小偏差）。当计算时间达到一定的umax、FD对于显示的较大错误具有竞争力。这是有意义的，因为RBF-FD方法必须计算权重wk，k=1，时间步进前m。此外，我们的模型问题具有相当短的成熟时间T=0.2。对于更长的到期时间，FD的表现与RBF方法相比并不一样好，请参见【14，13】。我们还发现，当CPU时间达到一定的umax。这对于RBF FD PHSSmoothedUnuniform尤其如此。尽管该方法有一个计算前阶段，包括权重wk，k=1，…，的计算，m和最终条件的平滑，与其他方法相比，该方法需要更少的CPU时间umax<10-4.0 1 2 3 4 SRBF-FD-PHSuniform0 1 2 3 4 SRBF FD PHS平滑均匀-6.-5.-4.图4:u表示统一节点上的欧洲看涨期权。

^的边界Ohm 用白色虚线标记。0 1 2 3 SRBF-FD-PHS非均匀0 1 2 3 SRBF FD PHS平滑非均匀-6.-5.-4.图5：的热图u表示非均匀节点布局上的欧洲呼叫篮选项。^的边界Ohm 用白色虚线标记。在图4-5中，我们显示了错误的热图（4.22）中使用RBF-FD-PHS方法定义了模型问题。在图4中，我们给出了均匀节点布局的错误，在图5中给出了非均匀节点布局的错误，两个节点布局的N=6105。在两幅图的右侧，我们使用了平滑的最终条件，而左侧的图中使用了原始条件。图4-5中的误差表示为0≤ sj公司≤ 4，j=1，2，以便更好地查看平滑区域周围的误差曲线。所有四个图的色阶都相同。从图4-5中，我们得出结论，最终条件的平滑化与原始最终条件相比，u的幅值较小。此外从平滑最终条件获得的u沿直线s=s+常数有三个最大值。而对于非光滑最终条件，相应的最大值数为1。我们还注意到与均匀布置相比，非均匀布置的u更小。这是因为，对于非均匀节点布局，在解决方案具有较大导数的区域，即在打击价格附近，节点的数量较大。在本节结束时，我们得出结论，在这个特定示例中，对于相同数量的节点，在非均匀网格上使用最终条件的平滑比在均匀网格上不使用平滑的Umax小一个多阶。5结论在本文中，我们实现了一个基于RBF-FD空间离散化和BDF2时间离散化的金融衍生品定价求解器。

作为径向基函数，我们使用PHS，并增加高达p级的单项式。这种空间离散的形式阶数为p，但对于许多定价问题，初始数据的缺乏平滑性限制了数值模拟中获得的实际阶数。然而，通过对初始数据采用平滑技术，保留了离散化的形式化规则。RBF-FD离散化比标准FD具有优势，因此节点不必组织在笛卡尔网格中。另一方面，RBF-FD离散化的优点是，与导致全矩阵的全局RBF近似相比，它们呈现稀疏微分矩阵。因此，RBF-FD有可能给出非均匀节点布局的精确解，同时仍然生成稀疏矩阵。作为一个模型问题，我们考虑在两个基础资产上发行的欧式篮子期权的定价，从而在两个空间维度和时间上产生PDE。通过采用具有更密集节点分布的非均匀节点布局，其中我们最感兴趣的是获得精确解，再加上最终条件的平滑，数值实验表明，对于该模型问题，我们开发的方法在短时间内使用比我们比较的方法更少的节点提供了非常精确的解。当我们想要解决更高维度的问题时，例如，为几个基础资产发行的金融衍生品定价时，我们可以用更少的节点准确地解决问题这一事实变得非常重要。由于自由度的数量在维度的数量（基础资产的数量）上呈指数增长，因此能够在每个维度上使用较少的节点来达到一定的精度，可能会导致解决传统技术无法解决的问题。参考文献【1】V.Bayona、N.Flyer、B.Fornberg和G。

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