基于径向基函数的金融衍生品高阶定价方法

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英文标题：
《A High Order Method for Pricing of Financial Derivatives using Radial
  Basis Function generated Finite Differences》
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作者：
Slobodan Milovanovi\\\'c and Lina von Sydow
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we consider the numerical pricing of financial derivatives using Radial Basis Function generated Finite Differences in space. Such discretization methods have the advantage of not requiring Cartesian grids. Instead, the nodes can be placed with higher density in areas where there is a need for higher accuracy. Still, the discretization matrix is fairly sparse. As a model problem, we consider the pricing of European options in 2D. Since such options have a discontinuity in the first derivative of the payoff function which prohibits high order convergence, we smooth this function using an established technique for Cartesian grids. Numerical experiments show that we acquire a fourth order scheme in space, both for the uniform and the nonuniform node layouts that we use. The high order method with the nonuniform node layout achieves very high accuracy with relatively few nodes. This renders the potential for solving pricing problems in higher spatial dimensions since the computational memory and time demand become much smaller with this method compared to standard techniques.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑使用径向基函数生成的空间有限差分对金融衍生品进行数值定价。这种离散化方法的优点是不需要笛卡尔网格。相反，可以在需要更高精度的区域以更高的密度放置节点。尽管如此，离散化矩阵还是相当稀疏的。作为一个模型问题，我们考虑了二维欧式期权的定价问题。由于这类期权在支付函数的一阶导数中具有不连续性，从而禁止高阶收敛，因此我们使用笛卡尔网格的既定技术对该函数进行平滑处理。数值实验表明，对于我们使用的均匀和非均匀节点布局，我们在空间中获得了一个四阶格式。采用非均匀节点布局的高阶方法可以在节点相对较少的情况下获得非常高的精度。与标准技术相比，这种方法的计算内存和时间需求变得更小，因此有可能在更高的空间维度上解决定价问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：cs.NA is an alias for math.NA. Roughly includes material in ACM Subject Class G.1.
cs.na是Math.na的别名。大致包括ACM学科类G.1的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> A_High_Order_Method_for_Pricing_of_Financial_Derivatives_using_Radial_Basis_Func.pdf (3.23 MB)

2022-6-14 02:07:23 上传

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关键词：金融衍生品 金融衍生 衍生品 Applications Quantitative

使用径向基函数生成有限差分的金融衍生工具定价的高阶方法Lobodan Milovanovi\'c和Lina von Sydow信息技术系尤帕拉大学WEDENABStract在本文中，我们考虑使用径向基函数生成空间有限差分的金融衍生工具的数值定价。这种离散化方法的优点是不需要笛卡尔网格。相反，可以在需要更高精度的区域以更高的密度放置节点。尽管如此，离散化矩阵还是相当稀疏的。作为一个模型问题，我们考虑了二维欧式期权的定价问题。由于此类选项在Payoff函数的一阶导数中存在不连续性，从而禁止高阶收敛，因此我们使用笛卡尔网格的既定技术来平滑该函数。数值实验表明，对于我们使用的均匀和非均匀节点布局，我们在空间中获得了一个四阶格式。采用非均匀节点布局的高阶方法可以在节点相对较少的情况下获得非常高的精度。与标准技术相比，这种方法的计算内存和时间需求变得更小，因此有可能在更高的空间维度上解决定价问题。关键词：金融衍生品定价；径向基函数生成有限差分；高阶方法；平滑初始数据。1简介在本文中，我们关注金融衍生品的数字定价。金融衍生工具是一种合同，其价值取决于基础资产，如股票、利率或商品。金融衍生品的交易在过去几十年中大幅增加，主要是因为有可能对冲标的资产头寸。

金融衍生品的另一个重要特征是杠杆潜力，因为基础资产的微小变动可能导致金融衍生品价值的大幅变动。由于金融衍生品的交易量很大，因此对此类合同的有效和准确定价至关重要。在大多数情况下，没有可用的分析公式，因此有必要使用数值方法来计算合同价格。当金融衍生工具依赖于多个基础资产时，问题就变得多方面了。传统上，为此类金融衍生品定价的唯一方法是使用蒙特卡罗方法对问题的随机微分方程（SDE）公式进行求解。然而，由于其收敛速度较慢，研究界一直致力于推导定价问题偏微分方程（PDE）公式的有效方法。这些方法的主要问题是所谓的维度诅咒——问题中的自由度在维度数量上呈指数增长。PDE公式的数值方法包括自适应有限差分（FD）[15、12、11、16、25]，高阶紧致格式[3、4]，交替方向隐式（ADI）格式[8、6]，径向基函数（RBF）近似[17、10]，径向基函数单位分割（RBF-PU）方法[20、22、21]，以及径向基函数生成的有限差分（RBF-FD）[14、13]。在【24】和【26】中，实施并评估了几种期权定价方法。作为一个数值例子，我们考虑了欧洲二维期权的定价。

期权是一种金融衍生工具，持有人有权但无义务在到期日T时或之前以规定的执行价格K购买（认购期权）或出售（看跌期权）基础资产。我们采用的方法是RBF-FD。它背后的主要思想是将FD（离散化矩阵的稀疏性-与RBF相反）和RBF（无网格-与FD相反）的理想特征结合起来。根据离散化模板中使用的节点数量，这种方法可能具有高阶性。然而，对于许多期权定价问题，支付函数本身或其导数具有不连续性，这限制了数值模拟中获得的收敛顺序。因此，在使用数值方法之前，我们根据[9]平滑Payoff函数。这种平滑将使用的离散化的收敛顺序增加到预期的收敛顺序。在第2节中，我们定义了空间和时间上的离散化，而第3节则涉及我们解决的模型问题，以及节点布局、模板、边界条件和初始数据的平滑。最后，第4节给出了结果，第5.2节得出了结论。我们考虑金融衍生品的定价，其中问题可以用D空间维度和时间的偏微分方程表示ut+Lu=0，u（s，…，sD，0）=g（s，…，sD），（2.1）si≥ 0，i=1，D0≤ t型≤ T、 这里，解决方案u（s，…，sD，T）表示金融衍生工具的价格、tdenotes时间、si、指数为i的基础资产的价值，以及g表示金融衍生工具的支付函数。在许多定价问题中，最初的PDEI是一个最终价值问题，在时间上向后解决。

我们考虑（2.1）中的问题，即在必要时将问题转化为初值问题。在第2.1节和第2.2节中，我们分别定义了（2.1）的空间和时间离散化。2.1径向基函数生成的有限差分在RBF-FD中，位置sc=（sc，sc，…，scD）处的空间运算符Lu in（2.1）近似为m最近节点处解的线性组合k（可能包括sc），k=1，mLu | sc≈mXk=1wku | sk。（2.2）通过强制（2.2）精确计算RBFφ（r）的权重wkφ（ks- sk）。φ（ks- smk）。。。。。。。。。φ（ksm- sk）。φ（ksm- smk）wwm公司=Lφ（ks- sk）| sc。。。Lφ（ks- smk）| sc. （2.3）由RBF插值得出，（2.3）是一个非奇异系统，hencea唯一的权重集wk，k=1，可以计算m。表1列出了RBF的典型选择。对于前四个示例，参数ε∈ R是RBF的形状参数。对于多谐线（PHSs），参数q∈ N、 在本文中，我们遵循[5]、[1]和[13]，并使用PHSs作为基函数，在插值中获得p次多项式。使用该方法，多项式次数（而不是RBF）控制收敛速度，而RBF有助于减少近似误差，并且是获得稳定近似所必需的。φ（r）高斯e-（εr）逆二次1/（1+（εr））多重二次CP1+（εr）逆多重二次1/p1+（εr）多谐样条r2q-1表1：常用RBFφ（r）列表。在（2.4）中，我们用一次单项式扩充（2.3）1秒。sDB 1。。。。。。1 sm。smD1。1 0 0 . . . 0秒。sm0 0。0.....................sD。smD0 0。

0wwmγγ。。。γD=Lφ（ks- sk）| sc。。。Lφ（ks- smk）| scL1 | scLs | sc。。。LsD | sc, （2.4）其中B是（2.3）中的系数矩阵。现在，我们放置N个计算节点sci，i=1，N在我们想要近似解的位置。求解（2.4）得到的每个计算节点的权重按行组合到稀疏微分矩阵xw中∈ RN×N，每行有m个非零元素。这导致（2.1）滴滴涕'u（t）+W'u（t）=0，'u（0）=g，（2.5）的半离散化，其中'u（t）∈ RN×1是时间t的未知量向量，计算节点sci中的u近似值，i=1，N，\'0∈ RN×1是一个只有零的向量，并且'g∈ RN×1是计算节点sci中计算的函数g的向量，i=1，N方程（2.5）在时间上形成了一个线性常微分方程（ODE）系统。在下一节中，我们将描述如何解决它。2.2时间离散化对于（2.5）的时间离散化，我们使用二阶后向微分公式（BDF2）[7]。此时间步方案需要在前两个时间步上求解，因此我们在第一个时间步上使用向后Euler（BDF1）。在所有时间步中都有相同的系数矩阵是很方便的，因此我们使用非等距时间步，如【10】中所述，稍后在【14，13】中使用。这是通过使用长度的Msteps离散时间间隔来实现的t`=t`-t型`-1，其中`=1，M、 我们定义ω`=t型`/t型`-1对于“=2，M并到达“u”- \'\'u=tW'u，（2.6）'u`- β\'\'u`-1+β\'\'u`-2=β\'W\'u\'，`=2，M、 （2.7）其中β`=t`1+ω`1+2ω`，β`=（1+ω`）1+2ω`，β`=ω`1+2ω`。（2.8）我们使用递归条件β`=β计算ω'的值`-1，在所有时间步中保持系数矩阵恒定。

由于时间间隔的长度为T，因此我们选择了初始时间步长tfromMX`=1t`=t=t（1+MX`=2\'Y`=2ω`）。（2.9）最后，我们通过设置“u=”g开始时间积分。从时间离散化，我们得到以下线性方程组，以在每个时间步长A“u=”b“（2.10）中求解，其中A=I-tW，由（2.9）给出，\'b`=β`\'u`-1.-β\'\'u`-2, ` = 2, . . . , M和“b=”u=”g.3模型问题作为一个模型问题，我们考虑在两个基础资产和ut+Lu=0，（3.11）s≥ 0，s≥ 0, 0 ≤ t型≤ T、 withLu公司=σsus+σsus+ ρσssuss+rsus+sus- ru，（3.12）andu（s，s，T）=g（s，s）=（s+s）- K+. （3.13）此处（f（x））+=最大值（f（x），0），r表示市场无风险利率，σ表示资产i的波动率，ρ表示资产之间的相关性。作为s=s=0的闭合场边界条件，我们设定U（0，0，t）=0，0≤ t型≤ T、 （3.14）作为远场边界条件，我们设定（s、s、T）=（s+s）- Ke公司-rt公司, 0≤ t型≤ T、 （3.15）足够大的砂缝。表2给出了使用的参数。r 0.03σ0.15σ0.15ρ1，20.5K 1T 0.2表2：模型问题中使用的参数方程（3.11）是一个应及时向后求解的偏微分方程。为了应用第2.2节中的时间步进方案，我们将（3.11）转化为一个在时间上向前解决的问题。3.1节点布局、模板和边界条件我们考虑均匀和非均匀的节点布局，如图1所示。与基于网格的经典方法（例如，标准FD方法）不同，我们不需要使用矩形域。相反，我们只使用矩形的下三角半部分，这将计算节点的数量减少了两倍，从而显著降低了计算复杂性。引入非均匀节点布局的原因是，我们可以在最感兴趣的地方使用clusternodes，以获得精确的解决方案。

一般来说，我们最感兴趣的是在s+s=2K的邻域中获得精确解，这也是截断误差最大的地方，因为解中存在来自Payoff函数一阶导数不连续性的较大导数。我们开始提出一维中的非均匀节点分布，该分布在[8]中介绍，随后在[14]中用于RBF-FD和期权定价。考虑到非平衡节点x（1）<…<x（i）<…<x（N）由x（i）=弧sinh构成-Kc公司+ （一）- 1)x、 i=1，N、 （3.16）其中c是一个正实常数，它规定了在执行价格K附近节点分布的密度，x=NARCINH公司smax公司- Kc公司- ARCINH公司-Kc公司,并覆盖远场边界。然后，非均匀节点分布sis生成逐点ass（i）=K+c·sinh（x（i）），i=1，N、 （3.17）通过使用（3.16）和（3.17）中的一维节点沿轴和s生成非均匀节点布局，然后沿对角线方向均匀放置内部点。每个对角线上的节点数每对角线增加一个。远场边界位于s+s=smax=8K。图1中用于非均匀节点布局和第4节所示数值实验的密度调节参数为c=0.8。应该注意的是，c值太小最终会导致病态问题。K 2K 8KK2K8Ks（a）统一节点布局。K 2K 8KK2K8Ks（b）非均匀节点布局。图1：2D中的均匀和非均匀计算节点布局。边界条件用于蓝色三角形节点（近场边界条件）和红色方形节点（远场边界条件）。我们还为其中一个X上的节点数引入了符号NSN，即Ns（Ns+1）=N。

（3.18）使用k-D树算法可以有效地确定用于构建模板的最近邻居[2]。在图2中，我们展示了域中不同位置的模板示例。多项式空间的大小为ν=p+Dp！，我们使用它将模板的大小设置为m=5ν，如下所示[5，1，13]。我们的目标是四阶方案，使用p=4和q=5，得到ν=！=因此，我们使用的模板尺寸为m=5·15=75。图2：用于在非均匀节点布局上近似微分运算符的基于最近邻的模板示例。每个显示的模具的中心节点由白色十字标记表示。所有模板的尺寸均相同，m=75。对于边界节点，我们根据节点的位置使用不同的处理方法。对于节点s=s=0（图1中的蓝色三角形），我们从（3.14）中设置了闭合场边界条件。对于节点s+s=8K（图1中的红色方块），我们从（3.15）中设置远场边界条件。对于沿轴的边界节点，即s=0、s>0和s=0、s>0，我们使用第2节中定义的离散化方案求解（3.11）。k-Dtree算法为这些节点生成单面模具。3.2初始数据的平滑由于（3.13）中的初始数据g（s，s）在一阶导数中具有不连续性，因此，无论方案的形式顺序如何，有限差分方案获得的收敛空间顺序都限制为两个。（2.4）中格式的形式空间顺序为p，即当p>2时，由于最终条件中缺乏平滑性，获得的收敛顺序受到限制。在[9]中，引入了对初始数据的平滑处理，将收敛阶恢复到格式的形式阶。

这种方法已成功地用于期权定价问题，例如，【18】和【4】。由于我们的目标是四阶格式，因此我们使用由其傅里叶变换Φ（ω）定义的四阶平滑算子Φ=sin（ω/2）ω/21+sin（ω/2）. （3.19）使用Wolfram Mathematica计算（3.19）的傅里叶逆变换，得出Φ（s）=- （s）- 3） ·新加坡元- 3) - （s+3）·sgn（s+3）+12（s- 2） ·新加坡元- 2） +12（s+2）·sgn（s+2）- 39（s- 1） ·新加坡元- 1) - 39（s+1）·sgn（s+1）+56s·sgn（s）, （3.20）式中，sgn（x）=| x | x。在[9]、[18]和[4]之后，我们得到单节点布局上的平滑最终条件为▄g（s，s）=s3级sZ公司-3.s3级sZ公司-3.sΦssΦssg（s）- s，s- s）dsds.（3.21）由于g（s，s）在计算域的很大一部分是平滑的，我们只需要在距离s+s=2k足够近的节点中计算（3.21），以受平滑的影响。此外，由于对角线上的节点到s+s=2K的距离都相同，因此我们只需要为每个对角线计算一个值▄g（s，s），并将该值用于该对角线上的所有节点。[9]中的理论表明，将最终条件g（s，s）替换为（3.21）中定义的▄g（s，s），可以得到笛卡尔网格的四阶方案，即我们这里称之为统一的节点布局。这里，我们还想将此平滑用于第3.1节中定义的非均匀节点布局。这种布局可以看作是略微倾斜的笛卡尔网格，节点沿对角线等距分布。对于此节点布局，我们将替换s英寸（3.21）带si=k6=cmink=1，。。。，mksci公司- skik，i=1，N、 4数值结果第2节中描述的用于第3节中描述的模型问题的数值方法在Matlab中实现。在所有实验中，我们都是从缩放原始问题开始的，这样smax=1，时间在PDE中向前运行。