多样化、波动性和惊人的阿尔法

在传统金融中，鉴于假设风险与回报之间存在正相关关系，预计较小的股票会有较高的回报，以补偿其增加的风险。这些较小股票的较高预期回报将转化为由这些较小股票组成的投资组合的较高预期回报。对于单期算术回报率来说可能是这样，但作为长期投资者，我们应该关注对数回报率。我们已经在图1中证明，事实上，小盘股的对数回报率并不高，因此，通过lensof随机投资组合理论来看，很明显，小盘股投资组合的观察到的跑赢大市不是因为小盘股本身的长期回报率更高，而是因为投资组合的超额增长率更高。6 The experimentsArnott et al.（2013）测试了1964年至2012年期间，与1000只美国最大股票的资本化加权基准相比，几种天真、未优化的投资组合策略。所有这些策略的回报率都高于基准，大多数策略的夏普比率也更高。众所周知，资本化加权投资组合并没有得到很好的分散，因为有太多的权重集中在最大的股票上。与资本化加权指数相比，所有的naive策略都将更多的注意力转向了小型股。重要的是，这种向小型股票的更大分散不太可能对平均增长构成部分产生太大影响。如图1所示，前1000只股票的增长率大致相同。换句话说，naive策略的优异表现并不是因为规模较小的股票具有更高的长期回报。

然而，更大的多元化可能会增加投资组合的超额增长部分，因为多元化的改善和更高的股票波动性都会增加超额增长。为了了解实际发生的情况，我们对美国1000只最大的股票进行了一次实验，从1964年到2012年，每个月的时间跨度超过一年，与Arnott等人（2013）的实验在精神上非常相似。更准确地说，在每个月初，我们选择最大的1000只美国股票，并使用它们在下一年的一年回报率来计算下面描述的各种策略的回报。在这49年期间的某个月初，共有5384只不同的股票在美国市值排名前1000的股票中。我们没有复制Arnott等人（2013）测试的所有策略，而是选择了5种具有代表性的naive策略。这5种买入并持有策略在每一年期开始时的权重如下：1。资本化加权（CW）：股票权重与其市值成比例。2、等重（EW）：每只股票的重量=1/1000.3。大超权重（LO）：股票权重与其市值的平方成比例。随机加权（RW）：与[0，1]–均匀分布随机变量成比例的权重。逆随机加权（IRW）：与[0，1]–均匀分布随机变量的倒数成比例的权重。所有权重始终规格化为总和为1。资本化加权策略对应于持有市场。在每一年期开始时，等权策略将资本平均分配给当时排名前1000名的公司。Arnott等人（2013年）未对大型超重策略进行测试。

这种策略将比指数更高的比例放在较大的股票中，而将较小的比例放在较小的股票中。该投资组合的多元化程度甚至低于资本化加权投资组合，因此根据我们的论文，我们预计该投资组合的表现会低于市场，也就是说，由于其较低的超额增长部分，其超额回报率为负。随机加权和逆随机加权策略是Arnott等人（2013）中“猴子”和“倒挂”投资组合的版本。为了避免随机抽奖，我们模拟了1000个这样的投资组合，并在下表1中报告了主题值。表中的五列分别对应上述五种策略中的一种。我们展示了每个策略的总对数回报，然后将总回报分解为本文中广泛讨论的两个部分：平均增长部分和超额增长部分。在所有情况下，我们都显示了绝对值以及与上限加权投资组合相比的相对值。最后，要看到这一点，请考虑一个有两支股票的市场，其相对市值为u和ν，其中ν<u和u+ν=1。

然后ν<uν；因此，大规模的过度加权策略将财富的比例uu+ν>uu+u=u+ν=u放入更大的存量中。我们展示了算术绝对和相对回报、算术回报的标准差以及相关的夏普比率。CW（%）EW（%）LO（%）RW（%）IRW（%）总对数回报率9.12 10.98 7.46 10.98 10.46相对于上限加权指数1.86-1.66 1.86 1.34平均增长成分5.57 5.64 5.36 5.65 5.67相对于上限加权指数。07 -.21 .08 .10超额增长成分3.87 5.82 2.19 5.82 5.18相对于上限加权指数1.95-1.68 1.95 1.31总算术回报10.97 13.33 9.15 13.33 13.34相对于上限加权指数2.36-1.82 2.36 2.37标准差17.07 19.14 16.90 19.07 22.35夏普比率。29 .38 .18 .38 .32表1：实验结果总结。在这里，五列对应于文本中描述的以下五种策略：CW=资本化加权，EW=等加权，LO=大超加权，RW=随机加权，IRW=反向随机加权。从1964年到2012年，这些策略逐月应用于最大的1000只美国股票（当时），使用重叠的一年期。在每个时期开始时，权重固定，全年不变。第5节开头描述了平均增长部分和超额增长部分；此外，还提供了算术回报的标准差。通过使用第4节的最后一次显示或附录中的（B.2）直接计算超额增长率。这需要计算排名股票回报的协方差矩阵。或者，可以使用第4节中的第一个显示来计算超额增长部分。如果很难准确计算协方差矩阵，那么这两个估值将大致相同。

读者可以检查，这些计算值的替代方法不会改变表格的定性结论，即过度增长成分解释了日志回报中的大部分差异。对于随机加权和逆随机加权策略，表1仅报告了1000个实验的中值。让我们在这里提供更多的值。获得的平均增长成分值的第10个和第90个百分位分别为5.61和5.68，以及5.05和6.27。相应地，获得的超额增长分量值的第10个和第90个百分位分别为5.81和5.82，以及5.13和5.23。对于夏普比率，获得值的第10个和第90个百分位分别为0.38和0.38，以及0.29和0.35。任何涉及随机权重的典型实验都会提供不同于等权重的平均和超额增长成分。然而，表1报告了许多实验的中值，这些中值结果接近于加权平均值。等权、随机加权和逆随机加权投资组合均优于资本化加权投资组合。另一方面，大规模的过度加权策略表现不佳。这些结果与我们的理解一致，即前三种策略的多元化程度高于指数，而指数的多元化程度较低。重要的是，我们还注意到，策略回报的大部分差异可以通过过度增长部分的差异来解释。

实际上，平均股票增长组成部分的差异幅度要小得多，这与图1中的分析一致，图1中我们证明了平均股票增长率基本相同。7结论Arnott等人（2013）提出的一系列不同策略的表现优于随机投资组合理论的概念。投资组合的对数收益率可以分解为两个要素。Firsterm表示股票对数回报的加权平均数。第二项衡量超额增长，这是投资组合回报的额外组成部分，由多元化带来的好处。该术语仅取决于投资组合组成部分的方差和协方差，对于更多样化的投资组合，该术语更大。从股票收益的排名来看，我们从经验上证明，对数股票收益的加权平均值对所有投资组合的贡献大致相同。不同投资组合之间的差异更大的是超额增长部分，它只取决于股票的方差和协方差。研究了几种不同交易策略的表现，其中一些比资本化加权投资组合更加多样化，另一些则更少多样化，证实了这些见解。一般而言，多元化程度越高的投资组合表现越好，单一多元化程度越低的投资组合表现越好，因为多元化程度越高的投资组合具有更高的超额增长率。这是因为在这些更加多样化的投资组合中，与较小的股票敞口相关的方差更高，而不是因为这些股票本身具有更高的回报。这种较高的超额增长率反过来又会增加投资组合的对数回报。总之，这有助于解释Arnott等人发现的“令人惊讶的”阿尔法。

（2013）在各种策略中，无需援引因素。附录a算术收益率和对数收益率的动态X（t）表示时间t时的股票价格。该价格行为的标准连续时间模型是一个It^o过程，满足DX（t）X（t）=α（t）dt+σ（t）dW（t），其中α（t）是时间t时X的收益率过程，σ（t）>0是方差率过程，W是布朗运动过程。为简单起见，我们假设σ（t）是有界的。对于上述X，It^o法则（见Karatzas和Shreve（1991））意味着d log X（t）=dX（t）X（t）-σ（t）dt=α（t）-σ（t）dt+σ（t）dW（t）=γ（t）dt+σ（t）dW（t）。过程γ（t）=α（t）-σ（t）被称为增长率过程（见Fernholz和Shay（1982））或X的对数回归过程。这解释了第3节中的显示。在温和的规则性条件下，可以表明→∞T对数X（T）-ZTγ（t）dt= 0，a.s.这证实了第2节中的说法，即对数回报率是长期增长的无偏估计值。此外，γ（t）≤ α（t）与对数回归≤ 算术返回。B投资组合回报率和对数回报率-数学在本附录中，我们提供了第3节中陈述的数学公式。假设我们有股票X，X和一个投资组合π，其权重π（t）+···+πn（t）=1，时间t时的值Zπ（t）。然后，根据Markowitz（1952），投资组合回报满足dzπ（t）Zπ（t）=nXi=1πi（t）dXi（t）Xi（t）。投资组合对数收益的类似方程为：isd log Zπ（t）=nXi=1πi（t）d log Xi（t）+γ*π（t）dt，（B.1），其中γ*π（t）表示投资组合的超额增长率（EGR）过程。

更准确地说，如果我们用σπ（t）表示投资组合方差率过程，那么我们就得到了log Zπ（t）=dZπ（t）Zπ（t）-σπ（t）dt=nXi=1πi（t）dXi（t）Xi（t）-σπ（t）dt=nXi=1πi（t）d log Xi（t）+σi（t）dt-σπ（t）dt=nXi=1πi（t）d log Xi（t）+nXi=1πi（t）σi（t）- σπ（t）dt=nXi=1πi（t）d对数Xi（t）+γ*π（t）dt；因此γ*π（t）=nXi=1πi（t）σi（t）- σπ（t）. （B.2）此等式对应于第3节中的最后一次显示。C使用基于arank的股票分析估计预期投资组合对数回报-数学应使用附录B的符号。对于区间[0，T]，（B.1）yieldsportfolio log return=ZTnXi=1πi（T）d log Xi（T）+ZTγ*π（t）dt=Aπ（t）+Γπ（t），其中π（t）=ZTnXi=1πi（t）d log Xi（t）称为平均增长分量，代表投资组合中股票的加权平均增长率，Γπ（t）=ZTγ*π（t）dt被称为过度生长成分。为了从数学上描述用于确定平均增长分量值的基于秩的方法，将rt（i）设为Xi（t）的秩。也就是说，如果i对应于t时资本最大的公司，则rt（i）=1。类似地，如果在时间t时i是k最大的公司，我们有rt（i）=k。此符号允许我们定义基于平均银行的增长率gkover[0，t]bygk=TZTnXi=1{rt（i）=k}d log Xi（t）。（C.1）在稳定系统中，时间平均值等于预期值，因此Ed对数Xi（t）rt（i）=k= gkdt，矿石d对数Xi（t）= Egrt（i）]dt。（C.1）中的定义可直接用于估算gk的值，1964年至2012年期间的估算值如上图1所示。由于这些值似乎大致相同，我们现在假设thatgk=g，然后屈服d对数Xi（t）= gdt。我们现在可以使用这些gk值来估计研究期间的预期平均增长成分。

的确，EAπ（T）= E“ZTnXi=1πi（t）d log Xi（t）#=ZTnXi=1Eπi（t）d对数Xi（t）\'ZTnXi=1Eπi（t）Ed对数Xi（t）（C.2）=ZTnXi=1Eπi（t）gdt，（C.3），其中（C.2）中的近似等式由π为naive这一事实证明，因此，权重πi（t）和权重d log Xi（t）上的返回值应是独立的。如果这是一个由技术娴熟的选股人构建的投资组合，那么我们预计这两个数量之间存在正相关关系。从图1中可以看出，排名股票增长率之间似乎没有太大差异，因此（C.3）意味着，对于所有原始投资组合，投资组合的预期平均增长部分应该大致相同。D数据源CRSP提供了数据表的股价数据和策略的后验数据。为了尽可能接近Arnott等人（2013）的实验设置，我们仅使用1964年至2012年的数据。然而，我们已经用截至2017年的数据对所有结果进行了测试，结果是可靠的。数据集中有两个100%的回报。对于图1和图2的图表，以及为了计算表1中的π，这两个返回值被更改为-95%。否则，相应的日志返回将为-∞ 相应的等级不会有有限的样本平均值和方差。本文的结果对于数字的选择是稳健的-95%；其他选择将导致基本相同的结果。对于一些数据点，由于退市信息不完整，因此缺少申报。我们用不同的输入测试结果，结果稳健。为了计算表1中的夏普比率和必要的超额回报，我们使用了一年期美国国债收益率，可在https://www.federalreserve.gov/pubs/feds/2006/200628/200628abs.html; 另见G¨urkaynak等人（2007年）。参考文献Arnott，R.D.、J.Hsu、V.Kalesnik和P.Tindall（2013）。

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