金融极值识别的变点方法

σ的值在各个区域中是恒定的，但第二个区域除外，该区域的σ值表示波动性较低。图9报告了每个制度的关键风险值估计值，从5%到0.1%。可以得出与纳斯达克案例相同的结论，CMNPD的输出符合表8：CMNP的ξ、σ、u的后验分布取决于RBS数据。ξξξξξ0.01（-0.08,0.10）0.04（-0.04,0.13）0.37（0.16,0.61）-0.12（-0.31,0.08）-0.01（-0.25,0.32）-0.02（-0.06,0.03）σσσσσσ1.79（1.57,2.03）0.67（0.58,0.76）2.36（1.79,3.10）1.63（1.23,2.09）2.07（1.37,3.09）1.65（1.52,1.78）UUUUUUU-0.008（-0.02,0.0002）0.000（-0.005,0.0006）3.12（2.23,3.82）-0.14（-0.15,0.32）3.00（2.31,3.6）-0.46（-0.48，-0.43）表9：使用CMNPD和NormFit方法。缺口法1制度2制度3制度4制度3制度6制度3%经验5.87 2.30 13.15 4.63 7.40 4.50标准5.16 2.11 11.80 4.40 7.39 4.03CMNPD6.29（5.56,7.19）2.49（2.23,2.83）14.97（11.50,21.30）4.65（3.85,5.99）8.29（6.98,10.61）5.13（4.73,5.55）ES1%经验8.40 3.58 25.45 5.86 10.28 7.52正常值6.68 2.74 15.20 5.15 9.01 5.22CMNPD9.34（7.85,11.45）3.78（3.22,4.56）30.93（19.80,55.32）6.30（4.89,9.03）10.71（9.10,18.80）7.55（6.86,8.37）MNPD和GPD方法。表9进一步总结了我们对5%和1%预期缺口的估计。这些方法与所谓的正态拟合方法进行了比较：正如Chang等人（2011）和Gilli and K¨ellezi（2006）所报告的那样，《巴塞尔协议》正式规定，金融公司使用正态假设估计VaR，然后乘以3的“安全系数”，以考虑尾部的重量。

虽然NormFit估计值在5%的水平上与我们的估计值相当，但他们在1%的水平上高度低估了风险。CMNPD模型通过回溯测试与McNeil和Frey（2000）的GARCH-EVT方法进行比较：我们将时间t+1的实际损失与估计的VaRat时间t进行比较。回溯测试基于一个移动窗口，以便在每个时间t，估计一组新的GARCH（1,1）参数、残差和基于GPD的分位数。表10报告了每种情况下的预期VaRpviolations数量，等于n（1- p） 一个制度中观察到的数量，以及CMNPD和GARCH EVT观察到的违规行为。CMNPD模型在估计高波动率区域（如第2和第3个区域）和非常高分位数场景（VaR0.5%和VaR0.1%）的违规行为方面总是优于GARCH-EVT。因此，CMNPD比GARCH-EVT方法更好地估计非常罕见事件的发生。图9：在每个制度下，RBS VaR的计算范围为5%-0.1%，参考1天的时间范围。表10：使用CMNPDAD GARCH-EVT比较VaR违规与预期违规。风险价值法1制度2制度3制度4制度3制度6制度3评估5%预期42 54 37 13 70 CMNPD 40 43 14 10 GARCH-EVT 41 40 54 7 15 65 Var1%预期8 10 7 2 3 CMNPD 6 12 2 2 GARCH-EVT 8 0.5%预期4 5 1 CMNPD 3 1 1 1 7 GARCH-EVT 8 12 2 15 Var0.1%预期1 0 1 0 0 1 0 0 1 CMNPD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 CARCH-EVT 4 1 65结论SIONS财务文献断言，不仅极端行为可能会在一段时间内发生显著变化，而且这些变化是由对波动性场景产生深刻影响的突然冲击引起的。这项工作提出了极值混合模型的变点推广，能够检测尾部分布中的多个变点。

纳入与制度相关的GPD参数，可以在轻轨和重轨行为之间切换，从而很好地解释金融压力和市场不稳定的时期。由于提出的模型具有半参数性质，因此使用了贝叶斯方法。尽管使用了模糊的先验信息，我们的推理例程恢复了正确的参数值，同时给出了关键参数的不确定性度量，如保留点和变更点位置。由于模型的固有性，可以很容易地进行模型选择，以检测散装混合物成分的数量，最重要的是，检测变化点的数量。我们的方法在金融应用中优于所有静态和动态方法。由于金融市场受到意外和突然变化的严重影响，因此可以使用变化点工具很好地捕捉极端情况，确定波动变化的时期。我们的方法很好地估计了回报水平、VaR和ES度量，使其成为真实数据环境中非常强大的工具。它们在其他领域（如环境和医疗应用）的效果尚待探索。虽然模型选择标准正确确定了变更点的数量，但需要确定具有不同数量变更点的模型。目前，我们正在探索在MCMC例程中估计k（变更点的数量）的方法。最近的提案使用了Chib（1998）的隐藏变化点表示，并结合了Dirichlet过程（如Ko等人，2015）。然而，在我们的环境中，这些都是失败的，因为接受新的变更点位置是基于观察的子集。因为改变点只区分尾部行为，所以这些子集不包含足够的信息来识别它们的位置。

更具前景的是可逆jump-MCMC算法的开发（Green，1995），该算法已成功应用于变化点应用，但并非在极端情况下。参考文献Albert，J.H.和S.Chib（1993）。基于马尔可夫均值和方差漂移的自回归时间序列吉布斯抽样的贝叶斯推断。J、 公共汽车。经济。统计11（1），1-15。Bauwens，L.、J.Carpantier和A.Dufays（2017年）。自回归移动平均隐马尔可夫切换模型。J、 公共汽车。经济。Stat.35（2），162–182。Behrens、C.N.、H.F.Lopes和D.Gamerman（2004年）。具有阈值估计的极端事件贝叶斯分析。统计模型。4 (3), 227–244.Bollerslev，T.（1987）。投机价格和回报率的条件异方差时间序列模型。修订版。经济。Stat.69，542–547。Caldara，D.、C.Fuentes Albero、S.Gilchrist和E.Zakrajˇsek（2016年）。金融和不确定性冲击的宏观经济影响。欧元。经济。修订版。88, 185–207.Carlin，B.P.、A.E.Gelfand和A.F.M.Smith（1992年）。变化点问题的层次贝叶斯分析。J、 R.统计Soc。C 41389–405。Carreau，J.和Y.Bengio（2009年）。不对称厚尾数据的混合帕累托模型：单变量情况。极端情况12（1），53–76。Castellanos，M.E.和S.Cabras（2007年）。广义帕累托分布的默认贝叶斯过程。J、 统计计划。推断137 (2), 473–483.Chang，C.、J.Jim'enez Mart'n、M.McAleer和T.P'erez Amaral（2011年）。巴塞尔协议下的风险管理：VIX期货的风险价值预测。管理财务部。37 (11), 1088–1106.Chib，S.（1998年）。多个变更点模型的估计和比较。J、 经济学。86 (2), 221–241.Davidson，A.C.和R.L.Smith（1990年）。超过高阈值的超标模型。J、 R.统计Soc。B 52393–442。Dey，D.K.、L.Kuo和S.K.Sahu（1995年）。

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如果ξ（s+1）j<0，则σ*从a N（σ（s）j，Vσj）中取样的jis(-ξ（s+1）j（M（s）j-u（s）j），∞).因此，σs+1j=σ*概率为ασjj，其中，如果ξ（s+1）j<0，ασj=min1,π(Θ*|x） fN（σ（s）j，Vσj）(-ξ（s+1）j（M（s）j-u（s）j），∞)π（Θ| x）fN（σ*j、 Vσj）(-ξ（s+1）j（M（s）j-u（s）j），∞),如果ξ（s+1）j>0，ασj=min（1，π（Θ）*|x） fG（σ（s）j |σ*j、 σ*j/Vσj）π（Θ| x）fG（σ*j |σ（s）j，σ（s）2j/Vσj）），Θ*= {Φ（s），u（s），σ*, ξ（s+1），τ（s）}，σ*= {σ（s+1）<j，σ*j、 σ（s）>j}和Θ={Φ（s），u（s），σ（s+1）<j，σ（s）≥j、 ξ（s+1），τ（s）}。采样u：阈值u*jare从a N（u（s）j，Vuj）（a（s+1）j，∞)分布，其中as+1jis是（τ（s）j）中观测值的最小值-1，τ（s）j]如果ξ（s+1）j≥ 0和as+1j=M（s）j+σ（s+1）j/ξ（s+1）jifξ（s+1）j<0。选择截断的下限以满足GPD的样本空间。选择方差Vujis以确保适当的链混合。所以u（s+1）j=u*概率αuj，其中αuj=min1,π(Θ*|x） fN（u（s）j，Vuj）（a（s+1）j，∞)π（Θ| x）fN（u*j、 Vuj）（a（s+1）j，∞),Θ*= {Φ（s），u*, σ（s+1），ξ（s+1），τ（s）}，u*= {u（s+1）<j，u*j、 u（s）>j}和Θ={Φ（s），u（s+1）<j，u（s）≥j、 σ（s+1），ξ（s+1），τ（s）}。采样η：ηz，z的建议核∈ [l] 式中，l是混合物成分的数量，取伽马分布G（η（s）z，η（s）z/Vηz），其中Vηzis用于确保适当的链混合。Soη（s+1）z=η*概率为αηz，其中αηz=min（1，π（Θ*|x） fG（η（s）z |η*z、 η*z/Vηz）π（Θ| x）fG（η*z |η（s）z，η（s）z/Vηz）），Θ*= {u（s），η*, p（s），ψ（s+1），τ（s）}，η*= {η（s+1）<z，η*z、 η（s）>z}和Θ={u（s），η（s+1）<z，η（s）≥z、 p（s），ψ（s+1），τ（s）}。采样u：uz，z的建议内核∈ [l] ，取伽马分布G（u（s）z，u（s）z/Vuz）（u（s+1）<···<u（s+1）z-1<u（s）z<···<u（s）h），其中选择Vuzis以确保适当的链混合。

Sou（s+1）z=u*z的概率为αuz，其中αuz=min1,π(Θ*|x） fG（u（s）z |u*z、 u*z/Vuz）（u（s+1）<···<u*z<···<u（s）h）π（Θ| x）fG（u*z |u（s）z，u（s）z/Vuz）（u（s+1）<···<u（s）z<··<u（s）h）,Θ*= {u*, η（s+1），p（s），ψ（s+1），τ（s）}，u*= {u（s+1）<z，u*z、 u（s）>z}和Θ={u（s+1）<z，u（s）≥z、 η（s+1），p（s），ψ（s+1），τ（s）}。抽样p：权重向量由Dirichlet Dh（Vpp（s），···，Vpp（s）h）提出，其中选择Vpp以确保链混合。所以，p（s+1）=p*概率αp，其中：αp=min1,π(Θ*|x） fD（p（s）| p*)π（Θ| x）fD（p*|p（s））,Θ*= {u（s+1），η（s+1），p*, ψ（s+1），τ（s）}和Θ={u（s+1），η（s+1），p（s），ψ（s+1），τ（s）}。采样τ：每个τj，j的建议转换核∈ [k]- 1] ，由无限制的法线N（τ（s）j，Vτj）（τ（s+1）j）给出-1，τ（s）j+1），其中选择Vτjis a以确保链式混合。所以，τ（s+1）j=τ*概率为ατj，其中ατj=min1,π(Θ*|x） fN（τ（s）j，Vτj）（τ（s+1）j-1，τ（s）j+1）π（Θ| x）fN（τ*j、 Vτj）（τ（s+1）j-1，τ（s）j+1）,Θ*= {Φ（s+1），ψ（s+1），τ*}, τ*= {τ（s+1）<j，τ*j、 τ（s）>j}和Θ={Φ（s+1），ψ（s+1），τ（s+1）<j，τ（s）≥j} 。A、 2 CMNPD CMNPD的步骤与CMGPD的步骤相同，只是现在需要估计正态混合参数的不同，即平均值u={u，…，ul}和方差δ={δ，…，δl}。在这种情况下，Φ={u，δ，p}。在每个步骤中，正常参数更新如下：采样u：uz，z的建议内核∈ [l] ，取伽马分布G（u（s）z，u（s）z/Vuz）（u（s+1）<···<u（s+1）z-1<u（s）z<···<u（s）h），其中选择Vuzis以确保适当的链混合。

Sou（s+1）z=u*z的概率为αuz，其中αuz=min1,π(Θ*|x） fG（u（s）z |u*z、 u*z/Vuz）（u（s+1）<···<u*z<···<u（s）h）π（Θ| x）fG（u*z |u（s）z，u（s）z/Vuz）（u（s+1）<···<u（s）z<··<u（s）h）,Θ*= {u*, δ（s），p（s），ψ（s+1），τ（s）}，u*= {u（s+1）<z，u*z、 u（s）>z}和Θ={u（s+1）<z，u（s）≥z、 δ（s），p（s），ψ（s+1），τ（s）}。采样δ：δz，z的建议核∈ [l] ，取γ分布（δ（s）z，δ（s）z/Vδz），其中选择Vδzis以确保适当的链混合。Soδ（s+1）z=δ*概率为αδz，其中αδz=min（1，π（Θ*|x） fG（δ（s）z |δ*z、 δ*z/Vδz）π（Θ| x）fG（δ*z |δ（s）z，δ（s）z/Vδz）），Θ*= {u（s+1），δ*, p（s），ψ（s+1），τ（s）}，δ*= {δ（s+1）<z，δ*z、 δ（s）>z}和Θ={u（s+1），δ（s+1）<z，δ（s）≥z、 p（s），ψ（s+1），τ（s）}。