连续时间金融市场模型的解析解

对于all t，thuslimt，随机积分分量的表达式为0→∞E[文本]=限制→∞e-ΘtX=如果Θ的本征值为正，则在pcαc时成立- pfαf<kβ，βpfαf>0。现在让ρ：[0，∞) 7.→ R2×2，ρt=COV【Xt】=E校正矩阵t型- E[文本]E十、t型让t足够大，使得ρt≈ E校正矩阵t型. Thendρt=dE校正矩阵t型= Ed校正矩阵t型== E（dXt）Xt型+ EXt公司dX公司t型+ EdXtdXt型== -ΘE校正矩阵t型dt公司- E校正矩阵t型Θdt+∑∑dt公司==>==> ˙ρ = -Θρ - ρΘ+ ΣΣ通过设置˙ρ=0，并求解得到的代数方程组，得到渐近分布的协方差矩阵。我们通过研究一些极端情况来解释命题2。通过设置qc=0，我们得出了图表绘制者没有影响的动力学，这可能发生在他们的人口Pc为零和/或他们对动量αcis的敏感性为零时。在这种情况下，价格错位是一个简单的一维Alornstein-Uhlenbeck过程，具有渐近方差E[u∞] =σuσu2qf。基本面交易者越强，UTI的渐近方差越低——从长远来看，他们使市场价格更接近其基本面价值。对于图表学家来说，情况正好相反：qc出现在分母中，带有负号，出现在分子中，带有正号，因此它们越强，utis的方差就越大。现在，ssume是一个基准模型，在这个市场上，噪音交易者非常丰富，无论是基本面交易者还是图表绘制者都不会对市场价格产生任何影响。我们可以在模型中通过在（9）中设置β=0来实现这一点。在这种情况下，动量动力学（11）是一个简单的一维Arnstein-Uhlenbeck过程中的aga，E[m*∞] = 0和E（m）*)∞=σnσn2k。我们将此值视为动量的基本方差（或基尔对数回报的基本方差）。

让我们将这个基础值与整个模型的动量方差进行比较：E[m∞]E（m）*)∞ =qfqf+k- qcσfσfσnσn+kqf+k- qc（15）对于我们的解释，我们将假设基本价值的波动率低于市场价格的波动率：σfσf<σnσn（参见Shiller（1981）的例子，他表明市场价格变化的幅度大于作为实际未来股息现值得出的基本价值的变化）。现在假设市场上没有图表师，即qc=0。在这种情况下（15）是一个小于1的数字和一的凸组合，因此它小于一。这意味着基本面交易者的存在减少了Kyear对数回报的方差。当qc>0时，上述比率会增加–事实上，它甚至可以上升到1以上。这意味着图表的存在会增加Kyear日志返回的方差。2.5战略的可行性sWe假设基本面交易人和客户都建立了一个股票的自我融资投资组合，持有一些货币市场账户Bt.Wedenote by Vit，i∈ {f，c}t时间t时其投资组合的价值。在不损失一般性的情况下，我们假设零无风险利率：dBtBt=0。既然两位交易员都持有ZIT∈ {f，c}他们的财富在r isky资产中的比例，我们通过使用自我融资假设得出他们投资组合的动态：dVit=Zitvitdst+1.- 青春痘VitdBtBt=ZitVitdStSt（16）我们假设基本面交易者和图表绘制者的财富具有对数效用函数。我们对很长一段时间内的效用差异感兴趣，其中系统（ut、mt）已达到平稳性。因此，我们使用了一个适当的归一化效用函数∏i=limT→∞E日志ViT- 低g维生素, （17） 从现在起，我们将其解释为代理人投资组合价值在特定时间范围内的平均对数增长。

因为我们知道（ut，mt）的渐近分布, （17） 提供易于分析的结果。提案3。假设（12）定义的市场是稳定的。假设投资者的财富根据（16）演变。那么贸易者财富的平均对数增长率（17）为∏f=C+βpfαfEu∞- βpcαcαfE[u∞m级∞] - αfσnσ氖u∞∏c=c+βpcαcEm级∞- βpfαfαcE[u∞m级∞] - αcσnσ氖m级∞其中C=Zu-σfσf+（1- Z） σnσn证据我们展示了∏f的计算，其g o与∏c类似。首先，从（9）中我们得到了St=est的动力学：dStSt=u-σfσf+σnσn+βZt公司- Z!dt+σndwt从（16）我们得到log Vft的动力学：d日志Vft=ZftdStSt-Zft公司DHSITST通过使用定义（2）、（6）和（7），我们得到日志Vft=克ut，mt，utmt，utdt+Zftσndwt，其中g:R7→ R是一个函数。从这里，通过使用替代期望定律和这样一个事实，我们知道（ut，mt）的渐近分布我们得到∏f=limT→∞E记录VT- 记录VT== 限制→∞TE公司ZTd公司日志Vft型= 限制→∞TE公司ZTEt公司d日志Vft型== 限制→∞TE公司ZTg公司ut，mt，utmt，utdt公司== 限制→∞TZTgE【ut】、E【mt】、E【utmt】、E【ut】dt==极限→∞TZTgE【u】∞], E[米∞], E【u】∞m级∞], E【u】∞]dt==克0，0，E【u】∞m级∞], E【u】∞]命题3帮助我们回答哪种策略在长期运行中“获胜”：这里我们用Et表示条件期望，即[XT | Ft]。=Et[文本]。提案4。这两种策略的长期对数增长差异为：∏f- ∏c=σnσnαcEm级∞- αfEu∞+ （pf- pc）βαfαcE[u∞m级∞] ++ βpfαfEu∞- pcαcEm级∞（18） 证明。命题3的直接结果。我们通过人口比率的影响来解释命题4。虽然我们不应该忘记人口比例会影响到所有存在的运动（18），但似乎∏f- πcis在pf中增加。

虽然人口比率的确切影响更为复杂，需要进一步研究，但目前我们声称（作为一阶近似值），从长远来看，市场上人口较多的交易者都会获胜。3结论在本文中，我们提出了一个由异质代理人组成的金融市场的简单线性随机模型。明确建模的代理是基本面交易者（当风险资产低于基本面价值时买入，高于基本面价值时卖出）和图表师（跟踪动量指标）。做市商收集两种交易员类型的头寸，并相应调整市场价格。此外，还提供了噪声雷达，并提供了市场价格的灵活性。我们通过指数的渐近平稳性以及两个交易者（价格错位和动量）来定义市场稳定性。我们证明了市场的稳定性条件，并计算了市场的渐近行为。我们还提供了两种交易策略的可行性分析公式。我们的初步结果表明，从长远来看，无论哪种交易类型在市场上出现得更多，都能获得更高的回报。参考Beja，A.和Go ldman，M.B.（1980）。论价格不均衡的动态行为。《金融杂志》35.2，第2 35-248页。Brock，W.A.和Hommes，C.H.（1998年）。简单资产定价模型中的异质信念和混沌路径。《经济动力与控制杂志》22.8-9，第1235-1274页。Chiarella，C.、Dieci，R.和Gardini，L.（2006年）。具有异质代理人的金融市场中的资产价格和财富动态。《经济动力与控制杂志》30.9-10，1755-1786页。Chiarella，C.，Dieci，R。，He，X.-Z.和Li，K.（2013）。进化的卡普蒙德异类信仰。《金融年鉴》9.2，第185-21页5。He，X.-Z.和Li，K.（2012）。

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