持久易腐的最优投资消费保险

将这些分数代入（3.2），我们得到0=sup（αc，απ，αk，αq）1.- γαβcα1-βk1.-γ+αv1- γβ(1 - γ） uP- ρ -（σP+σP 2）β（1- γ)(1 - β(1 - γ))+ αv（r+（1- β(1 - γ） ）（σP+σP 2）- uP）（1- αk）- Δαk- Дλαq+απ（uS+λη- r- (1 - β(1 - γ） ）σSσP）- αc- γαvαπσS+（σP+σP 2）（1- αk）- απσSσP（1- αk）+αv1- γλ((1 - ηαπ)1-γ- 1) + λ((1 - （`αk- αq））1-γ- 1).（3.3）将一阶条件应用于（3.3）并在一些简单的代数之后，对于σP6=0的情况，我们得到如下最优控制：αv=βαβ（1-γ)-1cα（1-β)(1-γ） k，αk=γσSσPuS+λη- r- γαπσS- (1 - β)(1 - γ） σSσP- ηλ(1 - ηαπ)-γ,αc=β1-β（σP+σP 2）（（1- β)(1 - γ） +γαk）+γαπσSσP+r- uP+δ+`λ（1- `αk+αq）-γαk，αq=最大值（`αk- (1 - φ-γ), 0).（3.4）将（3.4）中给出的最优控制替换为（3.3），我们通过数值解获得风险金融资产的最优控制απ。对于σP=0的情况，（3.4）变为αv=βαβ（1-γ)-1cα（1-β)(1-γ） k，0=uS+λη- r- γαπσS- (1 - β)(1 - γ） σSσP- ηλ(1 - ηαπ)-γ、 αc=β1-β（σP+σP 2）（（1- β)(1 - γ） +γαk）+γαπσSσP+r- uP+δ+`λ（1- `αk+αq）-γαk，αq=最大值（`αk- (1 - φ-γ） ，0），（3.5），可以代入（3.3）来求解αk。在数值求解常数（αc，απ，αk，αq）后，我们得到值函数v（x，p）=1- γαvp-(1-β)(1-γ） x（1-γ） ，（3.6），最优控制为π（t）=απX（t），K（t）=αkX（t）P（t），c（t）=αcX（t）和q（t）=αqX（t），其中X（t）是由（2.14）给出的控制生成的财富过程。剩余的财富随后投资于无风险账户。这里我们假设经济主体的时间偏好参数ρ足够大，以确保所谓的横向性条件成立。

例如，见de Matos和Silva（2014），Theorem1。综上所述，经济机构的最优消费和投资策略包括四个组成部分：易腐商品的消费c（t）、投资于耐用商品的价值P（t）K（t）、投资于耐用商品的保险覆盖水平q（t）和投资于风险资产的财富π（t）。所有这些成分都是总财富X（t）的常数分数。这些结果扩展了de Matos和Silva（2014）获得的结果，包括保险事件的泊松过程模型和耐久性商品的可选保险范围。最佳保险覆盖水平最直接地受到负载系数Д的影响，并且是后者的递减函数。当保险变得昂贵时，代理人将选择不购买任何保险。最优保险覆盖率也受风险规避系数γ的影响：风险规避越大，最优保险覆盖率越高。通过数值实验可以获得更多的见解。我们考虑了以不同参数值组合表示的几个场景，如表1所示。方案（a）是基本方案。场景（b）~（d） 是通过更改多个参数中的一个而对基本场景的扰动。对于每种情况，我们计算最优策略（αc，απ，αk，αq）作为保险负荷的函数。结果如图1所示。从数值结果可以看出，保险负荷主要影响所选的覆盖水平。当Д=1，即不收取风险保费时，保险范围为全部。随着保险量的增加，所有考虑的情况下的保险范围都会减少，尽管递减率不同。保险负荷系数对其他持仓位置几乎没有任何影响。

如情景（b）所示，风险资产价格的负跳导致风险规避导致风险资产持有量减少，对其他持有量没有显著影响。情景（c）中风险资产和耐用商品价格之间的负相关导致两种持有量都显著增加，由于表1：无交易成本数值实验中的参数设置所产生的潜在对冲效应，情景（a）（b）（c）（d）β0.5？γ0.9？2r 0.02？uS0.06？σS0.25？uP0.02？δ0.015？σP0.1？0.1？σP0.2？η0.1？λ0.2？0.5？λ0.01？ρ0.04？负相关。代理人还可以为相同的保险因素提供更多的保险范围。如果代理人如情景（d）中所述更加规避风险，则风险资产和耐久性商品的持有量会减少，保险范围也会增加，这是较高风险规避的直接后果。1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.500.20.40.60.81分数1.1 1.2 1.3 1.4 1.500.20.40.60.81分数（a）（b）1 1.1 1 1.2 1.3 1.4 1.500.20.40.60.81分数1.1 1.2 1.3 1.4 1.500.20.40.60.81分数（c）（d）图1：投资于风险资产、耐用商品、易腐商品和保险范围购买的财富分数，作为不同情景下保险加载系数的函数（a）基本情景；（b） 风险资产价格负跳；（c） 风险资产和耐用商品价格之间的负相关和（d）较高的风险厌恶。4、耐用商品交易成本的解决方案在本节中，我们考虑了一个经济主体的最优消费、资产配置和保险覆盖策略，该经济主体面临的正交易成本与耐用商品的销售价格成比例，假设要将分配改为耐用商品，必须出售整个商品并购买新的商品，例如房子。

我们假设交易成本与交易前耐用商品的总价值成比例，比例系数θ>0。对于交易成本，我们无法找到经济主体最优决策问题的半显式解决方案。相反，我们寻求这个问题的数值解。根据Damgaard et al.（2003），固定交易成本意味着耐用商品的交易次数最多可数。特别是，在任何时候，代理人都会决定消费率、持有风险资产的头寸以及购买的保险范围。此外，代理人根据所有当前信息决定是否交易该耐用货物，如果是，则决定交易后该耐用货物的持有头寸。显然，agent的优化问题是一个随机和脉冲控制相结合的问题。考虑到耐用商品交易的交易成本，状态变量的偿付能力区域变为{（x，k，p）：x>θkp，k≥ 0，p≥ 0}. 换言之，在扣除清算费用后立即清算所有资产后，代理人必须具有偿付能力。偿付能力条件（2.7）修改为X（t-) - ηπ（t-) > θK（t）P（t），X（t-) - （`K（t-)P（t）- 当t>0时，q（t））>θK（t）P（t）（4.1）。换言之，鉴于股市崩盘或保险事件可能发生，代理人必须随时能够出售耐用商品股票并保持偿付能力。与无交易成本的情况类似，代理的价值函数与时间无关。由于交易成本，价值函数现在取决于耐用货物持有量k（0）=k，在不丧失一般性的情况下，我们假设当前时间为t=0。代理商必须根据当前信息决定何时交易耐用商品。

因此，下一次交易耐用品的时间是一个停止时间，用τ表示，τ>0。对于t∈ （0，τ），耐用货物存量由K（t）=K（0）e给出-δt（1- `)N（t）=K（0）e-ξ（t），（4.2），其中ξ（t）=δt- 日志（1- `)N（t），由于耐久性商品按δ贬值，以及保险事件导致`×100%损失，发生率由泊松过程N表示。根据动态规划原理，（2.13）修改为asV（x，k，p）=sup（τ，k（τ），π（τ））EZτe-ρtuc（t），ke-ξ（t）dt+e-ρτVX（τ-) - θke-ξ（τ）P（τ），K（τ），P（τ）,（4.3）式中，π（τ）表示任何限制为（0，τ）且无持久商品交易的可接受策略，K（τ）≥ 0表示在τ之后立即持有耐用货物。经久耐用商品交易后，代理必须具有偿付能力。即X（τ-)-θke-ξ（τ）P（τ）>0。在进行（4.3）的数值解之前，我们首先用以下上界和下界来描述最优值函数：α1- γp-(1-β)(1-γ） （十）- θkp）1-γ≤ V（x，k，p）≤α1 - γp-(1-β)(1-γ） x1-γ、 （4.4）式中，α=αvis由（3.4）或（3.5）给出，α=ββ（1-γ)(1-β)(1-β)(1-γ） rβ（1-γ)ρ+(δ-`λ)(1-β)(1-γ). 这里的上限由无交易成本情况下的值函数给出。下边界对应于Damgaard et al.（2003）和de Matos and Silva（2014）中概述的简单次优策略。此外，根据类似于无交易成本情况下的论点，可以证明V（x，k，p）是度（1）的同质- γ） in（x，k）和β度（1- γ） in（x，p）。通过应用这种同质性，值函数可以简化为v（x，k，p）=k1-γpβ（1-γ） 五xkp公司（4.5）对于属于偿付能力区域的所有（x、k、p）。这里，v（z）=v（z，1，1）和由{z给出的关于z=xkpi的solvencyregion≥ θ}.

如果z=θ，或x=θkp，即代理人的总财富刚好足以支付其耐用商品的清算成本，代理人必须立即清算，以避免破产。这意味着v（θ）=0。通过将（4.5）代入（4.4），变换后的值函数以α1为界- γ（z- θ)1-γ≤ v（z）≤α1 - γz1-γ. （4.6）通过以耐用商品价值K（t）P（t）、转化财富Z（t）=X（t）K（t）P（t）、易腐消费转化率^c（t）=c（t）K（t）P（t）、转化保险覆盖率^q（t）=q（t）K（t）P（t）和转化风险资产持有率^π（t）=π（t）K（t）P（t）来命名。在转换后的模型中，偿付能力条件（4.1）变为Z（t-) - η^π（t-) > θ、 Z（t-) - (` - ^q（t））>θ。（4.7）通过将（4.5）代入（4.3）并经过一些代数运算，我们得到了转换后的值函数pβ（1）的以下优化问题-γ） v（z）=sup（τ，^π（τ））E1- γZτe-ρt-(1-γ） ξ（t）^C（t）β（1-γ） P（t）β（1-γ） dt+e-ρτ-(1-γ） ξ（τ）P（τ）β（1-γ） Mv（Z（τ-))!,（4.8）式中，^π（τ）表示转换控制中的任何容许策略，限制为（0，τ），且干预值函数Mv（z）由Mv（z（τ）给出-)) = （Z（τ-) - θ)1-γM，（4.9），其中M=supZ（τ）≥θZ（τ）γ-1v（Z（τ））。（4.10）这里M是所谓的干预算子，通过选择使后者最大化的最优控制Z（τ），将值函数v映射到（最优）干预值函数Mv。换句话说，干预值函数Mv（Z（τ-)) 代表代理人在当前转换财富Z（τ-). 这里Z（τ）由K（τ）确定，K（τ）是指交易后持有的耐用商品，通过Z（τ）=ke-ξ（τ）（Z（τ-)-θ） K（τ）。表示byz*= arg最大值≥θzγ-1v（z），即交易后立即获得的最佳耐用商品库存为byK*（τ） =ke-ξ（τ）（Z（τ-) - θ） z*.

（4.11）将伊藤公式应用于（4.8），我们得到HJB方程as0=maxnH（z，v，v，v），Mv（z）- v（z）o，（4.12），其中HJB运算符h（z，v，v，v）=sup（π，c，q）n- ρv（z）+L（π，c，q）v（z）+cβ1- γo（4.13），其中β=β（1- γ） ，且发生器（^π，^c，^q）v（z）=v（z）(R)βuP-β(1 -(R)β）σP+v（z）(1 - z） （(R)uP- (1 -β）σP）+π（|uS- (1 -(R)β）σSσP）- ^c- λ^q+v（z）((1 - z） σP+^πσS）+（1- z） σP+λv（z- η^π) - v（z）+ λ(1 - `)1.-γv（z- ` + ^q1- `) - v（z）,（4.14）式中，ρ=ρ+δ（1- γ） ，uP=uP- r- δ、 uS=uS+λη- r、 σP=σP+σP。（4.12）形式的HJB方程以及适当的边界条件由Seydel（2010）表示为HJB拟变分不等式（HJBQVI），其中的解是在粘性解的框架下形成的。不幸的是，上述HJBQVI粘度解的存在性和唯一性超出了本文的范围。感兴趣的读者请参阅Seydel（2010），并参考了HJBQVI粘度解存在唯一性的信息相关概念和证明，该HJBQVI与一类带有跳跃扩散模型的组合随机和脉冲控制问题有关，当前模型是其中的特例。我们假设模型参数使得（4.12）的唯一粘度解存在于塞德尔（2010）的观点中。特别地，我们假设在没有交易成本的情况下，代理的时间偏好参数ρ足够大，可以保证所谓的Transversality条件，由ρ给出≥(R)βuP-β(1 -β）σP（4.15）满足要求。在稍微不同的模型设置下，类似条件见Dammgard（2003）。5.

数值解HJB方程（4.12）~（4.14）可以改写为恭维问题的标准形式，如下所示：-ρv（z）+L（π）*,^c*,^q*)v（z）+^c*β1-γ≤ 0，Mv（z）- v（z）≤ 0,- ρv（z）+L（π）*,^c*,^q*)v（z）+^c*β1-γMv（z）- v（z）= 0，（5.1），其中M v由（4.9）和（^π）给出*, ^c*, ^q*) 通过最大化（4.13）获得。系统（5.1）为隐式非线性互补问题（NLCP），L和Mv均取决于未知函数v。可通过Seydel（2010）提出的停止时间迭代程序获得（5.1）的解，如下所示。另见Chancelier等人（2002年）。价值函数可以首先通过考虑从不交易耐用商品的次优策略来初始化。通过求解HJB方程得到次优值函数- ρv（z）+L（π）*,^c*,^q*)v（z）+^c*β1 - γ=0，（5.2），仅随机控制。通过数值求解（5.2），我们获得了值函数的第一次次次优估计。假设得到了当前估计值Vn，我们用当前估计值Mvn替换未知干预值函数Mv来求解显式NLCP（5.1），从而得到下一个值函数估计值Vn+1。此过程可继续进行，直至收敛。这包括求解算法的“主循环”。请注意，vn表示允许代理在n个未来停止时间交易耐用货物时的值函数。随着允许更多的耐用商品交易，价值函数得到改进，因此vn+1≥ 越南。次优值函数序列（vn）单调收敛于v→ ∞. 算法1概述了主循环。显式NLCP的解决方案，即“内环”，可以通过迭代求解一系列线性互补问题（LCP）来获得。

特别是，给定当前估计vn，最优随机控制^π*, ^c*, ^q*可通过最大化（4.13）获得，从而得到显式生成器L。这可替换为（5.1），从而得到LCP。通过数值求解LCP，更新当前估计VN，并通过最大化（4.13）更新随机控制。这种迭代一直进行到vn收敛。算法2中概述了内部循环。算法1主循环1：设置n=0，为vn2求解（5.2）：设置错误界限em>03：而true do4：计算Mv并设置Mvnin（5.1）5：为vn+1使用算法26：如果kvn+1求解NLCP（5.1）- 娱乐城∞< emthen7:break8:end if9:set n=n+110:end while11:return vnAlgorithm 2内环1:set erorr bound ei>02:set v=u=max（Mvn，vn）3:while true do4:set vlast=v5:solve for^π*, ^c*, ^q*从（4.13）到vlast6：计算L（^π）的离散版本L*,^c*,^q*)7： 使用算法38：if kv求解v的结果LCP（5.3）- 弗拉斯特克∞< eithen9:break10:end if11:end while12:return V离散LCP问题可以使用Cryer（1971）提出的投影连续过松弛（PSOR）程序来解决。另见Hackbusch（1994）；Hilberet等人（2013年）。为了使用粒子群算法求解LCP，我们使用合适的离散格式在正则数值网格上离散v，从而得到离散LCP(R)ρv- 低压-^c*β1-γ≥ 0，v- u≥ 0,(R)ρv- 低压-^c*β1-γ·v- u= 0，（5.3），其中L是通过离散生成器L（^π）获得的矩阵*,^c*,^q*)带currentcontrols，^c*是当前消耗向量，v是未知值函数向量，u=max（Mv，v）是改进的干预值向量，其中理解离散干预算子M。这导致PSOR具有更快收敛速度的等效迭代。

为了演示PSOR过程，我们将（5.3）以一般形式重写为影音- b≥ 0，v- u≥ 0,影音- b>v- u= 0.（5.4）Hilber et al.（2013）表5.1概述了我们采用的PSOR程序，该表作为算法3生成，其中0<ω<2是松弛参数，k=1。。。，Kis是z的空间索引。算法3 PSOR迭代1：设置erorr界限ep>02：而true do3：设置vlast=v4：对于k=1。。。，K do5：w（K）=v（K）+ωA（K，K）b（k）-PjA（k，j）v（j）6： v（k）=最大值（w（k），u（k））7：结束8：如果kv- 弗拉斯特克∞< epthen9：break 10：end if11：end while12：return vIt应注意，为了使上述求解算法可控制表2：数值实验中使用的参数β0.5γ0.9 r 0.02uS0.06σS0.25uP0.02δ0.015σP0.1σP0.2η0.1λ0\'0.5λ0.01ρ0.04θ0.05verge，必须采用合适的离散化方案。在这里，我们采用Barles和Souganidis（1991）提出的有限差分（FD）离散化方案。读者可参考Barles和Souganidis（1991）的详细分析，包括拟议离散格式的收敛结果。为了测试我们的数值算法，我们使用表2中列出的参数进行了一些数值实验。如图2所示，在Д=1.2的情况下，价值函数、干预价值函数和关联无交易区等。随着停止时间迭代次数的增加，值函数的有界单调收敛如图2（a）所示，图2（b）显示了相应M值的收敛，由（4.10）给出。价值函数，尤其是超额价值函数v- 图2（c）和（d）显示了无交易区支持的Mv。显然，无交易区的特征是变换后的状态变量z具有上下界。