通过非线性研究揭示股票收益率之间的网络

与RMT的偏差表明，观察到的相关性并不都是由于随机性，因此为了研究股票之间的线性关系，我们构建了关于距离度量的最小生成树图，如下所示：，  ,                （12） 在哪里 是两支股票收益率之间的相关系数. 图6、图7和图8给出了基于关联方法的选举前、选举中和选举后的网络。为了捕捉数据中的非线性，我们使用等式9中给出的距离构建了基于互信息的MST。图9、图10和图11给出了选举前、选举中和选举后基于互信息的网络。我们使用Gephi 0.9.2绘制这些网络。在互信息法的情况下，我们在5%显著性水平上进行假设检验，在互信息为零的假设不能被拒绝的情况下，将一对股票之间的互信息值取为零。为了分析基于互信息的非线性方法与基于相关系数的线性方法的有效性，我们绘制了所有3916对股票的归一化互信息值与相关系数值。两个随机变量之间的归一化互信息 和定义为                 （13） 在哪里 是两个随机变量之间的互信息 是它们各自的熵。图12给出了选举前、选举和选举后三个时间跨度对应的曲线图。

我们观察到，在所有这三种情况下，相关系数的值越大，互信息的值越大，但在很多情况下，相关系数的值越小，互信息的值越大。这表明，基于互信息非线性的非线性方法不仅能够捕捉到强线性关系，同时也捕捉到了基于相关系数的线性方法无法捕捉到的数据中的非线性。此外，有时互信息值的大小比相关值（相关系数）小得多 ). 然而，研究发现，与互信息值大而相关性值小的情况相比，此类情况在所有时间跨度内都较少。我们认为这可能是由于一些随机性，甚至互信息方法也未能捕捉到这些随机性。综上所述，与广泛使用的相关方法相比，互信息方法构建股票网络的效率更高。为了获得更深入的信息，我们研究了利用互信息和相关系数方法得到的股票网络的度、度分布和特征值中心度等中心度度量。度分布在图中，一个节点的度是连接到该节点的链接数。高度节点是图中的重要节点，它们被称为中心节点。与网络中的中心相对应的股票是在信息流入时首先做出响应的股票，随后信息被传输到这些中心周围的股票。我们研究了所有网络中股票的程度分布。

图13给出了不同方法和不同时间跨度下所有股票的度分布。金融部门的股票，如ICICIbank、PNB、Reliance、Yes Bank等，无论采用何种方法和时间跨度，都明显是占主导地位的股票。除金融部门外，信息技术和能源部门的股票很少被发现有高风险。所有学位超过4的股票都被视为大型股。网络中集线器的出现被视为无标度网络的一个特性，即网络的度分布服从幂律分布，具有幂律指数     由于在与网络相对应的度分布中看到的枢纽很少（图13），因此我们有动机检查网络中的无标度特性。在此背景下，我们基于相关系数法和互信息法，分析了选举前、选举中和选举后三个时间段网络中股票度数的概率分布（郭，2018）。如果是梯度分布的概率密度函数，那么我们估计它如下 对一些人来说 称为幂律指数。我们假设最小值为 as 1，并使用极大似然估计方法进行估计. 表4总结了所有12个网络的参数估计。很明显 在选举期间观察到的最小值，与用于构建网络的方法无关。较小的值) 这表明市场正在违反无标度网络，即有大量节点具有更高的度，因此市场在选举期间紧密地连接为一个网络。

而且，在所有时间跨度内， 与相关方法相比，在互信息的情况下是高的。因此，基于互信息的非线性方法再次成为在高频水平上研究印度股市无标度网络的良好选择。特征值中心性测度我们还考虑了特征值中心性测度，以根据信息流和出现在这些股票周围的股票来识别重要股票。对于每个节点，我们定义了一个相对分数，这样，对于一个节点，其与高分数节点的连接对其分数的贡献大于其邻域中所有低分数节点的贡献。得分高的节点被视为中心节点。我们意识到邻接矩阵的谱和拉普拉斯矩阵有助于我们定义这样一个评分系统。图的邻接矩阵是  矩阵，其中 是图形中的节点数 矩阵中的条目为, 如果节点之间存在边 和确实如此 如果没有边缘。邻接矩阵是一个非负矩阵，作为Perron-Frobenius定理的应用，对应于最高特征值的特征向量，也称为Perron特征向量，对于我们正在寻找的scoringsystem是一个很好的选择。表5、6和7给出了得分较高的枢纽、节点及其各自在Perron特征向量中的归一化得分。为了捕获高分股票附近的股票，我们考虑了Fidler向量，即对应于拉普拉斯矩阵第二小特征值的特征向量。该向量用于检测网络中的社区。我们研究了与中心相对应的社区，因为中心是市场中的关键参与者，与市场中的其他股票相比，信息流通过它们的速度很快。

在这三个时间跨度内，金融业公司都成为了中心。在选举期间，金融部门和能源部门的股票成为市场上的主导股票（表6）。在此期间，除了少数股票外，观察到基于Perron向量的分数在股票之间均匀分布，这表明选举期间的市场效应是一致的。从这一分析中，选举等重大事件的影响是显而易见的。此外，选举后，来自不同部门的公司被视为与金融部门公司和能源部门一起推动市场。在分析枢纽周边地区（得分较高的股票）时，我们观察到了部门效应，即枢纽周边的大多数邻居属于相同的部门。结论本文旨在研究印度股票市场中股票之间的互动关系。为此，我们选择30秒作为刻度大小，并研究2014年CNX100中100只股票中的89只股票的行为。我们分析了相关矩阵的谱来研究随机性。从RMT中观察到超过40%的偏差，表明成对相关系数不是随机的。然后，我们将成对相关系数与其各自的互信息进行比较。我们的分析表明，互信息不仅能够很好地捕捉线性关系，而且能够很好地捕捉非线性关系。因此，我们提出，与基于相关系数的网络相比，基于互信息的网络能够在高频水平上捕捉股票之间的真实动态。与相关系数法相比，利用互信息构建的网络具有无标度特性。

此外，根据我们的分析，我们观察到，印度作为一个发展中国家，其股票市场受金融部门的影响很大。还有人指出，全国选举等重大政治事件对股价走势产生了影响。在选举期间，具有较高相关系数的对的数量有所增加。基于我们的分析，我们最终得出结论，基于互信息方法的股票网络能够更有效地在高频水平上捕捉股票市场的动态。未来，我们希望更深入地探索这些网络，并将其用于高频率的投资组合选择。致谢：NBHM赠款参考文献：[1]A.F.Villaverde，J Ross，F Moran和J.R.Banga，MIDER：《具有互信息距离和熵减少的网络推理》，Plos One（2014）[2]A.Kraskov，H.Stogbauer和P.Grassberger，《估计互信息》，物理评论E 69，066138（2004）。[3] C.D.Meyer，《矩阵分析和应用线性代数》，SIAM，ISBN 978-0-89871-454-82000【4】C.J.Cellucci，A.M.Albano和P.E.Rapp，《替代数值算法互信息计算的统计验证》，物理评论E 71（2005）。[5] D.M.Song、M.Tumminello、W.X.Zhou和R.N.Mantegna，《全球股市的演变、相关性结构和基于相关性的图表》，《物理评论E》（2011）[6]H.Chen，Y.Mai和S.P.Li，《中国股市网络集群行为分析》，Physica A（2014）。[7] L.Laloux、P.Cizeau、J.P.Bouchaud和M.Potters，《金融相关矩阵的噪声修饰》，物理。回顾《信件》，第83卷，1999年8月7-16日发行。[8] L.Song、P.Langfelder和S.Horvath，《共表达度量的比较：互信息、相关性和基于模型的指数》，BMC Bioinfomatics（2012）[9]M.J。

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特征3：相关矩阵特征值的经验和理论分布比较摘要 （理论）1.111.111.06 （经验）7.407.688.236.666.947.77与RMT一致的数据（%）58.43%50.56%42.13%大于lambda max的数据（%）6.74%8.99%7.87%小于lambda min的数据（%）34.83%40.45%50.00%表4：估计幂律指数, 对应于12个网络的度分布。相关方法互信息方法选举前2014年1月至2月41.952.02选举后2014年3月至5月41.931.93选举后2014年6月至12月41.932.01表5：基于Perron vector得分的高得分股票，选举期间，即2014年1月至2月，基于Perron vector得分的UBS，2014年1月至2月相关方法互信息名称最大特征名称对应特征向量中的业务部门标准化得分最大特征名称对应特征向量中的业务部门标准化得分CibankFinancial Services 10.85%Concorservices 14.19%YESBANKFINANCIAL Services 6.01%BELINDUSTRIAL Manufacturing 2.80%PNB Financial服务业2.81%后石油能源2.62%工业金融服务业2.50%塔塔汽车公司2.54%LTCONSTRUCTION 2.49%英国金融服务业2.54%信赖能源2.49%ABB工业制造业2.46%水泥和水泥产品2.46%ADANIPorts服务业2.46%英国汽车业2.46%基础设施金融服务业2.46%博世工业制造业2.46%英国消费者商品2.46%CADILAHCPHARMA2.46%Cumminsindustrial manufacturing 2.46%divisilabindustrial manufacturing 2.46%EICHERMOTAUTOMOBILE2.46%EmamildConsumer商品2.46%GSKConConsumer商品2.46%GLAXOENERGY2.46%表6：基于Perron vector得分的选举期间的高分股票，即。

2014年3月至5月UBS根据Perron vector的得分，2014年3月至5月相关方法互信息名称最大特征名称对应特征向量中的业务部门标准化得分最大特征YESBANKFINANCIAL Services对应特征向量中的业务部门标准化得分13.59%PNB Financial Services 9.63%PNB Financial Services 3.13%YESBANKFINANCIAL Services 6.96%RELIANCEENERGY3.06%BankBarodFinancial服务6.36%ICICIBank金融服务2.90%TATASTEELMETALS3.45%TCSIT2.78%RELIANCEENERGY3.18%BHELINDUSTRIAL manufacturing 2.68%BHARTIARTLTELECOM2.68%BHARTIARTLTELECOM2.68%BHELINDUSTRIAL制造业2.67%TATAMOTORSAUTOMOBILE2.68%LTCONSTRUCTION 2.67%TECHMIT2.68%AdaniportsServices 2.58%ASHOKLEYAUTOMOBILE2.58%AUROPHARMAPHARMA2.58%BAJAJ-Automobile2.58%CIPLAPHARMA2.58%COALINDIAMETALS2.58%COLPALCONSUMER Goods 2.58%DLFConstruction 2.58%Havell-Consumer Goods 2.58%IndusindBfFinancial Services 2.58%Kotakbank Financial Services 2.58%LichsFinancial Financial服务业2.58%LTCONSTRUCTION 2.58%M&MAUTOMOBILE2.58%MARUTIAUTOMOBILE2.58%PFC金融服务业2.58%TITANCONSUMER Goods 2.58%MCDOWELL-NCONSUMER Goods 2.58%表7：基于Perron vector得分的选举后高得分股票，即。

2014年6月至12月UBS根据Perron vector的得分，2014年6月至12月相关方法互信息名称最大特征名称对应特征向量中的业务部门标准化得分最大特征名称对应特征向量中的业务部门标准化得分银行金融服务11.78%葛兰素制药15.44%ICICIBANKFINANCIAL Services 4.54%GRASIMCEMENT&CEMENT Products 3.33%TATASTEELMETALS3.74%ABBINDUSTRIAL制造业3.08%RELIANCEENERGY2.82%BAJFINANCEFINANCIAL Services 3.08%Adaniports Services 2.81%BAJAJFINSVFINANCIAL Services 3.08%IDEATELECOM2.67%BELINDUSTRIAL Manufacturing 3.08%LTConstruction 2.67%Infrastelecommunication3.08%Siemens Industrial Manufacturing 2.67%BOSCHLTDAUTOMOBILE3.08%TCSIT2.67%BritanicanConsumer Goods 3.08%TATAMOTORSAUTOMOBILE2.67%CadilahPharmac3.08%Ambujacement&CEMENT产品2.56%COLPALCONSUMER Goods 3.08%ASHOKLEYAUTOMOBILE2.55%CONCORSERVICES3.08%AuropharmaPharmace2.44%Cummins Industrial Manufacturing 3.08%DABURCONSUMER Goods 2.44%EICHERMOTAUTOMOBILE3.08%IBULHSGFINFINANCIAL Services 2.44%EmamildConsumer Goods 3.08%POWERGRIDENERGY2.44%GSKConConsumer Goods 3.08%TATAPOWERENERGY2.44%GODREJCPCONSUMER Goods 3.08%TechMitt2.44%IBULHSGFINFINANCING Services 3.08%TITANCONSUMER商品2.44%MARICOCONSUMER商品3.08%Uplfestrics&Pesticitives 2.44%Oilenergy 3.08%MCDOWELL-NCONSUMER商品2.44%Sit3.08%WIPROIT2.44%PidilindChemicals 3.08%PELPHARMA3.08%Shreecement&CEMENT Products 3.08%Torntpharrma3.08%UBLCONSUMER商品3.08%Figure 1。