具有长记忆的分数阶差分古诺寡头博弈

（5.18）证明系统的稳定性、分岔和混沌（3.13）。设参数ν=0.99，α1=0.45，α2=0.12，b=6，d=4.1，c1=0.2，c2=0.3。n个无界Nash平衡点E=（0.4836，q2=0.4726），trJ=-2.3101<0，det J=0.67378>0。根据定理4，我们可以得到（trJ）- 4 det J=2.6415>0，-trJ公司-√det J=2.0079>0，且ν=0.99>对数√（trJ）-4详图J-trJ=0.9765，即系统（3.13）在无界Nash平衡点E处是局部渐近稳定的，如图1所示。为了分析具有分数阶rν的长记忆系统（3.13）的分岔和混沌，我们改变了长记忆参数，分数阶ν∈ （0，1），其余参数为α1=0.45，α2=0.12，b=6，d=4.1，c1=0。2，c2=0.3，起点（q（0），q（0））=（0.3，0.3），如图2所示。该图包括表1输出的双曲线图和K的散点图，K是相关系数q的中值。为了获得图2，长记忆参数ν在0到1之间变化，增量为0.002。在删除500个瞬态数据点后，使用100个数据点绘制qis的分岔图。K是在删除500个瞬态数据点后，使用3000个数据点计算得出的。分叉图显示了长记忆参数ν从0到1变化时，表1输出的可能长期值。K的散点图说明了系统（3）中发生混沌的可能性。

13） 对应于ν的不同值∈ (0, 1).图2：具有变化ν的系统（5.18）的坚定1的输出分岔（蓝色）和K（红色）∈ (0, 1).0-1混沌检验的准则[100–110]表明，有界轨道在（p，s）中-平面或K≈ 0平均系统（3.13）是正则的，类布朗轨迹即（p，s）中的s-平面或K≈ 1表示系统（3.13）混乱。因此，当ν<0.4，即当K≈ 显然，系统（3.13）显示分岔图与K的散点图非常吻合。对于图2，设ν=0.2，这导致K=0.9752。我们可以知道系统（3.13）是混沌的，如图3所示。为了生成图3，我们将其迭代3500次，并使用前300个数据点绘制双寡头输出时间序列，如图3（a）-（b）所示。我们还创建了它的相位图（如图3（c）所示），并在丢弃500个瞬态数据点后，使用最后3,00个数据点计算了它的中值相关系数，并在新坐标s（p，s）中绘制了它的轨迹，如图3（d）所示。从图3中，我们可以发现它们的时间序列是不规则和混沌的，它们的输出相位图是一个奇怪的混沌吸引子，它们的轨迹是（p，s）-平面是类布朗的。6结论我们提出了一个显示长记忆效应的非线性分馏l阶离散古诺双寡头博弈模型。我们用线性逼近的方法讨论了它的纳什均衡和局部稳定性，然后用0-1检验算法对它的相图、分岔图和混沌吸引子进行了数值说明。分析古诺双寡头遗传算法的方法可以应用于其他科学领域。

分数阶微分微积分仍然存在一些悬而未决的问题，例如分岔的定性分析理论和高效的punov算法。0 50 100 150 200 250 300n-0.10.10.20.30.40.50.60.7（a）企业1产出的时间序列。0 50 100 150 200 250 300n0.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.7（b）表2输出的时间序列-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7q0.10.20.30.40.50.60.7（c）双寡头输出的相位图-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2p-2-1（d）翻译成分的动力学（p，s）。图3：系统（5.18）中的混沌（q（0），q（0））=（0.1，0.3）。确认本工作得到山东省自然科学基金（批准号：ZR2016FM26）和国家社会科学基金（批准号：16FJY008）的资助。参考文献【1】A.Cournot，Recherc hes sur les principes math’ematiques de la th’eorie des richesses par Au gustinCournot。chez L.Hachette；1838.[2]J.纳什。非合作游戏，安。数学54(2)(1951)286-295.[3] 《博弈论与经济行为》，普林斯顿大学出版社，1944。[4] Han等，基于博弈论和自回归模型的无线传感器网络入侵检测模型。知会Sci。476(2019) 491-504.[5] M.Shareh，H.Navidi，H.Javadi，M.HosseinZadeh，基于进化博弈模型的P2P文件共享网络中的事件处理系统。知会Sci。470(2019)94-108.[6] K.Lalropia，V.Gupta，基于随机博弈和马尔可夫过程的网络物理攻击建模。Reliab公司。工程系统。安全181(2019)28-37.[7] S.Khaliq等人，《特设认知无线电网络中的PUE攻击防御：平均场游戏方法》，电信。系统。70 (1) (2019)123-140.[8] M.Ranjbar、M.Kheradmandi、A.Pirayesh，《应对电力系统智能物理攻击的旋转储备优化分配游戏框架》。

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