分数和混合分数CEV模型

12，我们得到：limα→2.-Q2zH；2 +2 - α、 2yH= QN公司利马→2.-2zH- 2.-2.-α- 2yHr2 +2-α+4yH= QN公司利马→2.-E2级-阿尔法- φ（T）1 +2-α- S2级-αe（2-α） Tpφ（T）rφ（T）1 +2-α+ 2S2-αe（2-α） T型= QN“-自然对数东南方+ rT+σT2Hσ√T2H#=QN-dH公司= NdH公司（27）M1/2,1（l）=2e-l/2埃尔- （l+1）√l==> 标高/2（l）-1/2M1/2,1（l）=l埃尔- （l+1）==>l2b级2+标高/2（l）-1/2M1/2,1（l）=b埃尔- 1.==> φ（t）H=1/2=abebt公司- 1.==> kH公司H=1/2=baebT公司- 1.= K主要使用：oliml→0Mκ，ν（l）=0olMκ，Д（l）=-κlMκ，Д（l）+l-1.+ κ + υMκ+1，Д（l）oMκ，κ+1/2（l）+Mκ+1，κ+1/2（l）=Mκ，κ+1/2（l）+lκ+1e-l/2limα→2.-Q2yH；2.- α、 2zH= QN公司利马→2.-2yH-2.-α- 2zHr2.-α+4zH= QN公司利马→2.-S2级-αe（2-α） T型- E2级-阿尔法- φ（T）2.-αpφ（T）rφ（T）2.-α+ 2E2-α= QN“ln东南方+ rT公司-σT2Hσ√T2H#=QNdH公司= 1.- NdH公司（28）替换（26），得到分数Black-Scholes公式[11，12]：CH（S，0）=SNdH公司- Ee公司-rTN公司dH公司然后，在极限情况α下，CEV对Black-Scholes模型的收敛性→ 2，保留在分数方案中。图1绘制了σ等于15%（蓝色）和30%（红色）的CEV分数公式的值，以及考虑到不同的到期日，H={0.5、0.7、0.9}的三个值。实线表示H=1/2的情况，这与经典的CEV定价相对应。半实线和虚线分别使用H=0.7和H=0.9表示定价。分数CEV保留了弹性参数单调递增函数的特性。也是σ和T的上升函数。对于一年以下的到期时间（图1a-1b），如果H移动到1，期权价格会下降。相反，对于T>1（图1c-1d），如果H在区间[1/2,1]内上升，价格会上升。

当α=2时，分数CEV价格转换为分数Black-Scholes价格。4混合分数CEV模型A混合分数布朗运动，定义为标准布朗运动和其他独立分数布朗运动之间的线性组合：Mβ，γ，Ht=βBt+γBHt；β ≥ 0, γ ≥ 0，那么，为了将CEV模型推广到混合分数情况，驱动CEV模型的布朗运动被MH，βt取代：dS=rSdt+σSαdMβ，γ，Ht=rSdt+σSαβdBt+γdBHt（29）很明显，如果（β，γ）=（0，1），我们恢复上一节中研究的分数情况。此外，如果β=1和γ=0，等式（29）描述了经典的CEV模型（第2节）。与前面的情况类似，变换（2）和分数It^o的引理可以表示为：。

（29）to:Cheridito【18】证明了H∈]3/4,1[由Mβ，γ，hT生成的过滤相当于经典布朗运动；即半鞅。1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2α1234567调用值（$）H=0.5H=0.7H=0.9σ=10%H=0.5H=0.7H=0.9σ=30%（a）T=0.251 1.1 1 1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 1.9 2α234566 78910调用值（$）H=0.5H=0.7H=0.9σ=10%H=0.5H=0.7H=0.9σ=30%（b）T=0.51 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2α6810121416182022调用值（$）H=0.5H=0.7H=0.9σ=10%H=0.5H=0.7H=0.9σ=30%（c）T=1.51 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2α8101214182022242628调用值（$）H=0.5H=0.9σ=0.9σ=10%H=0.5H=0.7H=0.9σ=30%（d）T=2图1：σ={10%；30%}和H={0.5；0.7；0.9}的欧洲看涨期权分数CEV公式，以及不同到期日的函数弹性参数，fixing S=E=100，r=5%。dx=（2- α)接收+β+γHt2H-1.(1 - α) σdt+（2- α) σ√x个βdBt+γdBHt由于Bt=B1/2t，上述过程的分数福克-普朗克方程为：颗粒物t型=xh公司β+2γHt2H-1.(2 - α） σxPi-x个(2 - α)接收+β+2γHt2H-1.(1 - α)σP（30）设置：A（τ）=γA（τ）-abβC（τ）=γC（τ）-abβθ=C（τ）A（τ）关系式（30）变为：颗粒物τ=x[α（τ）xP]+x{（2- α） [x- C（τ）]P}（31），其中τA，C由等式给出。

(18)-(20).假设θ=θ=c/a（常数），则通过Feller引理获得（31）的解，其时变系数为：PM（x，τ| x，0）=φ’（τ）xeτxc- a2aexp-（x+xe-τ)φ(τ)I1-c/a公司φ（τ）pe-τxxφ（τ）=-abZτγ2小时s- τb2小时-1.- βe-sds=γa2H+1-τb2Hh2H+1+e-τ(-τ)-嗯，H+1/2(-τ） i+βabe-τ- 1.随后，在混合分馏区域下，STconditional到S的转移概率密度函数由以下公式给出：PM（ST，T | S，0）=（2- α） k2级-αMyw1型-2α2(2-α） e类-y-wI1/（2）-α)(2√yw）为：kM=[φ（T）]-1，（32）yM=kMS2-αer（2-α） T（33）wM=kMS2-αT（34），φ（T）=a2H+1T2Hh2H+1+ebT（bT）-HMH，H+1/2（bT）i+βabe-τ- 1.= γφ（T）+βabe-τ- 1.使用前几节中提供的参数，混合分数CEV框架下t=0时的欧洲看涨期权价格计算公式为：CM（S，0）=SQ2zM；2 +2 - α、 2yM- Ee公司-rT公司1.- Q2yM；2.- α、 2zM（35）式中，zH（t）=kH（t）E2-α.如果（β，γ）=（1，0），则等式（35）变为纯分数CEV情况（等式（26）），如果（β，γ）=（1，0）或（β，γ，H）=（0，1，1/2），则变为经典CEV模型。使用等式中计算的结果。（13） ，（14），（27）和（28）；极限情况下α→ 2，式（35）倾向于：limα→2.-CM（S，0）=SNdM公司- Ee公司-rTN公司dM公司带dm=ln东南方+ rT+βσT+γσT2HσpβT+γT2HdM=ln东南方+ rT公司-βσT-γσT2HσpβT+γT2H，它是混合分数Black-Scholes定价公式（例如，见[24]，β=1，γ=1）；保持CEV和Black-Scholes之间的一致性。图2显示了混合分数CEV模型下欧洲调用的值，将系数β和γ的空气设置为（β，γ）=（1，1）和（β，γ）=（0，1）（分别为蓝色和红色），并使用AIM比较混合分数和纯分数情况。我们考虑两个到期日T=0.5（2a）和T=1.5（2b）以及H∈ {0.5; 0.7; 0.9}. 在这两个子地块中，经典的CEV定价用红色实线表示。

我们可以观察到，混合分数价格高于经典价格和分数价格。与纯分数情况一样，对于T<1，如果H趋于1，价格会下降，而当T>1且H移动到1时，价格会上升。图（3）显示了混合和纯分馏模型的计算成本（以CPU时间衡量）。对于α→ 2、配方变得极其昂贵。然而，就成本而言，经典方法和分数方法之间没有显著差异。5 GreeksFor为了分析定价公式作为模型参数函数的敏感性，我们比较了经典、分数和混合分数CEV模型的希腊语。最常见的敏感性与价格、到期日、波动性和利率有关。我们使用参考文献中给出的结果。