分数和混合分数CEV模型

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英文标题：
《The fractional and mixed-fractional CEV model》
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作者：
Axel A. Araneda
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The continuous observation of the financial markets has identified some stylized facts which challenge the conventional assumptions, promoting the born of new approaches. On the one hand, the long-range dependence has been faced replacing the traditional Gauss-Wiener process (Brownian motion), characterized by stationary independent increments, by a fractional version. On the other hand, the CEV model addresses the Leverage effect and smile-skew phenomena, efficiently. In this paper, these two insights are merging and both the fractional and mixed-fractional extensions for the CEV model, are developed. Using the fractional versions of both the Ito\'s calculus and the Fokker-Planck equation, the transition probability density function of the asset price is obtained as the solution of a non-stationary Feller process with time-varying coefficients, getting an analytical valuation formula for a European Call option. Besides, the Greeks are computed and compared with the standard case.
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中文摘要：
对金融市场的持续观察发现了一些挑战传统假设的程式化事实，促进了新方法的诞生。一方面，长期依赖性已被分数形式的高斯-维纳过程（布朗运动）所取代，该过程以平稳的独立增量为特征。另一方面，CEV模型有效地解决了杠杆效应和微笑扭曲现象。在本文中，这两种观点正在融合，并开发了CEV模型的分数扩展和混合分数扩展。利用伊藤微积分和福克-普朗克方程的分数形式，将资产价格的转移概率密度函数作为具有时变系数的非平稳Feller过程的解，得到了欧式看涨期权的解析估值公式。此外，还计算了希腊语，并与标准情况进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：cev Mathematical Conventional Quantitative coefficients

分数和混合分数CEV模型Axel A.Araneda*法兰克福高等研究所60438法兰克福，德国。本版本：2019年6月1日摘要对金融市场的持续观察发现了一些挑战传统假设的“程式化事实”，促进了新方法的诞生。一方面，长期依赖性已被分数形式的高斯-维纳过程（布朗运动）所取代，该过程以平稳的独立增量为特征。另一方面，CEV模型有效地解决了杠杆效应和微笑扭曲现象。在本文中，这两种观点正在融合，并开发了CEV模型的分数和混合分数扩展。利用It^os微积分和Fooker-Planck方程的分数形式，得到了资产价格的转移概率密度函数，作为具有时变系数的非平稳Feller过程的解，得到了欧式看涨期权的分析计算公式。此外，还计算了希腊语，并与标准情况进行了比较。关键词：fBM、mfBm、CEV、分数Fokker-Planck、分数It^os微积分、Feller过程1简介金融数学中最重要的见解之一是Black-Scholes模型[1]，其中，几何布朗运动（GBM）将资产价格的回报描述为一个规则的扩散过程，并得出一个普通欧式期权的分析公式。然而，金融市场中的一些“程式化事实”与Black-Scholes模型中使用的假设不一致。其中一个发现是长期依赖性[2-5]，这激发了基于分数布朗运动[8-10]的Black-Scholes模型分形版本的创造。

Hu&Oskendal【11】和Necula【12】利用Wick It^oCalculation【13，14】得出了适用于普通Black-Scholes案例的欧式看涨期权的分析公式。尽管如此，在分数框架中，套利的可能性并没有被完全忽略[15-17]。针对这一事实，Cheridito[18]引入了混合分数布朗运动（参见参考文献[19，20]中的更多数学细节）。这种模型确保了不存在套利机会[21，22]，也可以获得Europeantype合同的定价公式[23，24]。另一方面，回到原始Black-Scholes模型的缺点，同质性假设与其他经验事实不一致，因为波动率微笑倾斜[25-28]和杠杆效应[29-32]。前者是指隐含波动率模式随期权执行价格的变化。后者被理解为波动性与价格之间的反比关系。在这种情况下，一个非常流行的公式是Cox开发的恒定方差弹性（CEV）模型【33，34】，该模型面临异方差和杠杆效应，将波动率建模为资产价格水平的函数。该模型还处理了歪斜微笑现象[35，36]。尽管CEV模型只考虑了比BlackScholes模型多的一个参数（弹性），但后者在价格和期权定价性能方面都优于CEV模型【38–41】。使用CEV模型的另一个优点是，欧洲香草期权存在一个封闭式公式。

考克斯最初的工作是根据不完全伽马函数的总和来推导看涨期权价格，但后来施罗德（Schroder）[42]根据*电子邮件：araneda@fias。法兰克福大学。de，电话：+49 69 798 47501a。k、 持久性、“记忆效应”或“约瑟夫效应”参见【37】，了解CEV下参数估计问题的详细信息。非中心χ分布。请参见参考文献。[45–47]了解CEV模型在不同环境中的最新成功应用。鉴于前面的陈述，本文的目的是将局部波动率方法与分数阶微积分相结合，将经典布朗运动下的CEV模型推广到分数阶混合情况。先前文献[48]中已经讨论了分数CEV情况，提出了标准互补伽马分布函数的欧洲Call公式，类似于考克斯的结果，但没有明确评估附加项。这一次，对于分数CEV，欧洲看涨期权价格是根据非中心卡方分布和M-Whittaker函数，遵循Schroder方案，并使用Feller扩散问题的时变系数版本，通过简洁而明确的方式得出的。此外，同样地，还研究了混合分数CEV模型的定价公式。此外，还证明了分数阶CEVpricing与分数阶Black-Scholes情形的收敛性。此外，还计算了模型的希腊语，并与标准CEV情况进行了比较。论文大纲如下。首先，重新审视了CEV模型。随后，对分数扩展进行了分析，推导出了欧式看涨期权的定价公式。在此基础上，提出了一种混合分馏结构，得到了相应的欧式看涨期权定价公式。接下来，进行希腊人的计算和分析。

最后给出了主要结论。2 CEV模型在风险中性度量下，在恒定方差弹性模型下，资产价格S遵循下一个随机微分方程：dS=rSdt+σSαdBt（1），其中r、σ和α是模型的常数参数，σ>0和α∈ [0，2[.bt是标准布朗运动，因此dBt~ N（0，dt）。在极限情况下，当α→ 2、CEV转化为Black-Scholes模型。应用变量的以下变化：x（S，t）=S2-α（2），通过It^o引理，等式（1）变成：dx=（2- α)rx+（1- α) σdt+（2- α) σ√xdBtLet P（xT，T | x，0），转移概率函数，用于控制x从x（0）=xto x（T）=xT和T>0的演化。然后，P根据福克-普朗克方程演化：Pt型=xh（2- α） σxPi-x个(2 - α)rx+（1- α) σP（3） 式（3）可由著名的费勒引理（49）求解，下一步总结为：费勒引理。设u=u（x，t），a，b，c常数，a>0，t>0。抛物线方程的解Schroeder公式中非中心卡方分布的计算非常不稳定，并且对于接近零的弹性来说是必要的。为了减少计算时间并解决美式期权问题，已经为CEV模型开发了几种分析近似和数值方法，参见调查[43，44]。ut型=x[axu]-x[（bx+c）u]条件tou（x，0）=δ（x- x） 由u（x，t | x，0）=ba（ebt）给出- 1)xe公司-btx公司c- a2aexp“-bx+xebta（ebt- 1） #I1-c/a公司2ba（1- e-bt）pe-btxx公司其中，Ik（x）是第一类k阶证明的修正贝塞尔函数。请参见参考文献。

[49, 50].如果我们设置a=（2-α） σ/2，b=r（2- α） 和c=（2- α) (1 - α) σ/2; 根据Feller引理，从x（0）=xto x（T）=xT的转移概率分布由以下公式给出：P（xT，T | x，0）=2rσ（2- α)er（2-α） T型- 1.xTxe公司-r（2-α） T型-2(2-α） exp“-2r级x+xer（2-α） T型σ(2 - α)er（2-α） T型- 1.#×I1/（2）-α） “4rσ（2- α)1.- e-r（2-α） T型体育课-r（2-α） Txx#（4）回到原始变量和重新排序项，给定ST的密度等于[42]：P（ST，T | S，0）=P（xT，T | x，0）xT公司ST=（2- α） k2级-αyw1型-2α2(2-α） e类-y-wI1/（2）-α)(2√yw）（5）式中：k=2rσ（2- α)er（2-α） T型- 1., （6） y=kS2-αer（2-α） T，（7）w=kS2-αT.（8）之后，到期日为T，行权价格为E的时间T=0的看涨期权的价值由费曼-卡克公式计算：C（S，0）=E-rTZ公司∞-∞最大{ST- E、 0}P（ST，T | S，0）dST=E-rTZ公司∞E（ST- E） P（ST，T | S，0）dST=E-rTZ公司∞z工作时间：2.-α- E(2 - α） k2级-αyw1型-2α2(2-α） e类-y-w×I1/（2）-α)(2√yw）2.- αkw1-α-2.-αdw=e-rTZ公司∞z工作时间：2.-αyw公司2(2-α） e类-y-wI1/（2）-α)(2√yw）dw-e-rTZ∞zE公司yw公司2(2-α） e类-y-wI1/（2）-α)(2√yw）dw=C- C（9），其中z=kE2-α.

正如Schroder[42]所指出的那样，两个积分的参数都是非中心卡方分布的PDF，具有ν自由度和非中心参数λ，用χν（λ）表示，定义为：Pχν（λ）（l）=xλν -2e类-（x+λ）/2Iν√xλ= f（l；ν，λ）（10）回到定价方程，第一个积分为：C=e-rTZ公司∞zk公司-2.-α（wy）2（2-α） e类-y-wI1/（2）-α)(2√yw）dw=e-rTZ公司∞zyk公司2.-α（w/y）2（2-α） e类-y-wI1/（2）-α)(2√yw）dw=e-rTZ公司∞zSerT公司（w/y）2（2）-α） e类-y-wI1/（2）-α)(2√yw）dw=SZ∞z（2w/2y）2（2-α） e类-（2y+2 w）/2I2+2-αp（2y）（2w）dw=SZ∞采埃孚2w，2+2- α、 2年dw=SZ∞采埃孚2w，2+2- α、 2年dw而第二个：C=Ee-rTZ公司∞z2y2w2(2-α） e类-（2年）-2w）/2I2+2-αp（2y）（2y）dw=Ee-rTZ公司∞采埃孚2年，2+2- α、 2瓦dw称Q为χν（λ）：Z的互补分布函数∞mf（l；ν，λ）dl=Q（m，ν，λ），并使用以下恒等式[42]：Z∞mf（2l；2ν，2λ）dλ=1- Q（2l；2ν）- 2，2m）调用公式可以写成：C（S，0）=SQ2z；2 +2 - α、 2年- Ee公司-rT公司1.- Q2年；2.- α、 2z（11） 如前所述，Black-Scholes模型可以被视为CEV模型的极限情况，当→ 为了观察（11）中给出的解对Black-Scholes情形的收敛性，我们将根据中心极限定理[51]对互补分布函数Q使用以下结果：Q（m，ν，λ）≈ QNm公司- （ν+λ）p2（ν+2λ）！，asν→ ∞ （12） 其中QN（·）是标准正态互补密度函数。因此，当α→ 2，计算为：利马→2.-Q2z；2 +2 - α、 2年= QN公司利马→2.-2z- 2.-2.-α- 2年2 +2-α+4y= QN公司利马→2.-2rE2-α- 2rS2-αerT（2-α)+ σ(3 - α)erT（2-α)- 1.qσ（2- α)erT（2-α)- 1.×q4rS2-αerT（2-α)+ σ(3 - α)erT（2-α)- 1.= QN“-自然对数东南方+r+σTσ√t#=QN(-d） （13）对于正规函数的对称性，我们有：QN(-d1）=N（d）为N（·）标准正常累积密度。方程的第二Q函数的微积分。

（11） ，当自由度趋于一致时，为：利马→2.-Q2年；2.- α、 2z= QN公司利马→2.-2年-2.-α- 2xr2.-α+4x= QN公司利马→2.-2rS2-αerT（2-α)- 2rE2-α- 2σerT（2-α)- 1.qσ（2- α)erT（2-α)- 1.×q4rE2-α+ σerT（2-α)- 1.= QN“ln东南方+r-σTσ√t#=QN（d）（14），对于反累积函数和互补函数之间的恒等式：1- QN（d2）=N（d）之后，在极限α处→ 2、CEV模型的欧洲看涨期权定价收敛于：利马→2.-C（S，0）=SN（d）- Ee公司-rTN（d），这是文献[1]中提供的经典Black-Scholes公式。3分数CEV模型现在，为了解决CEV环境下的“约瑟夫效应”，等式（1）的标准布朗运动由分数转换4,5,6：dS=rSdt+σSαdBHt（15），其中bHt是赫斯特指数H>1/2的分数布朗运动。考虑到等式（2）中定义的坐标偏移和分数It^o’s公式【54，55】，theEq。15更改为：dx=（2- α)rx+Ht2H-1(1 - α) σdt+（2- α) σ√xdBt（16）继【13】之后，fBM是一个高斯过程，它充满（对于0<H<1；t，s≥ 0）：i）EBHt公司= 0ii）EBHt·BHs=|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H然后，当H>1/2时，BHtis的自相关函数为正，并在滞后函数中呈双曲线衰减，即长程相关性：P∞n=1E伯克希尔哈撒韦·BHn+1- BHn= ∞.与经典的Girsanov定理类似，通过分数Girsanov定理（见[11，12，52]），等式（15）写在风险中性Q下-用漂移r进行测量，其中b此a Q-分数布朗运动。当H 6=1/2时，分数布朗运动不是半鞅；i、 例如，不存在等价的鞅测度。

正如[53]所指出的，尽管存在非鞅条件，Q-预期折现值等于当前值。然后，与式（16）中定义的随机过程相关的分数福克-普朗克方程【56–58】如下所示：酸碱度t型=xhHt2H-1(2 - α） σxPi-x个(2 - α)rx+Ht2H-1(1 - α) σP=xh2Ht2H-1(2 - α） σxPi-x个(2 - α)rx+2h-1(1 - α) σP（17） 不幸的是，关系式（17）不能用Feller引理来解决，因为系数是时间相关的（即非常数）。然而，马斯奥利弗（Masoliver）[59]为非平稳Feller过程提供了一种有趣的方法，当系数随时间变化时，其主要有用结果如下所述：具有时变系数的Feller引理。设u=u（x，τ），A=A（τ），C=C（τ），θ常数由θ=C（τ）A（τ）定义抛物方程的解uτ=x[Axu]+x[（x- C） u]条件tou（x，0）=δ（x- x） 由u（x，τ| x，0）=φ（τ）给出xeτxθ - 1exp-（x+xe-τ)φ(τ)I1-θφ(τ)√eτxx式中，Ik（x）是第一类k阶修正贝塞尔函数，φ（τ）=ZτA（τ- s） e类-sdsProof公司。见参考文献[59]。因此，如果我们使用之前对a、b、c的定义（参见第3页），并设置：τ=-bt（18）A（τ）=-ab2H型-τb2小时-1（19）C（τ）=-cb2H型-τb2小时-1（20）式（17）转化为：酸碱度τ=x[α（τ）xP]+x[（x+C（τ））P]（21）和θ=C（τ）/A（τ）=C/A，常数。然后，方程（21）可由具有时变系数的Feller引理求解。

事实上：PH（x，τ| x，0）=φ（τ）xeτxc- a2aexp-（x+xe-τ)φ(τ)I1-c/a公司φ（τ）pe-τxx式中：φ（τ）=-abZτ2Hs- τb2小时-1e级-sds=a2H+1-τb2Hh2H+1+e-τ(-τ)-嗯，H+1/2(-τ） iand Mκ，ν（l）是M-Whittaker函数[63–65]，可以用M-反超几何Kummer函数表示：Mκ，ν（l）=lν+1/2e-长2米υ - κ +, 1 + 2υ; l现在，求解原始时间坐标，在时间t=t时，我们得到：PH（x，t | x，0）=φ（t）xe公司-bTx公司c- a2aexp“-x+xebTφ（τ）#I1-c/a公司φ（T）pebTxxφ（T）=a2H+1T2Hh2H+1+ebT（bT）-HMH，H+1/2（bT）iLater，移动到原始参考系（S，t），并替换a、b和c的值，S（t）=ST，t>0的概率密度函数，给定S（0）=Sis:PH（ST，t | S，0）=PH（xT，t | x，0）xT公司ST=（2- α） k2级-αHyw1型-2α2(2-α） e类-y-wI1/（2）-α)(2√yw）（22）为：kH=[φ（T）]-1，（23）yH=kHS2-αer（2-α） T（24）wH=kHS2-αT（25）Whittaker（或Confluent hypergeometric）函数出现在涉及CEV过程的其他相关问题的解决方案中，例如参见【60–62】等。跃迁概率P（式（5））和PH（式（22））仅由k和kH这两项不同。对于特殊情况H=1/2，这些项相等，即P=PHH=1/2。之后，可根据贴现支付的预期计算欧式期权价格（见附录a）。固定zH（t）=kH（t）E2-α、 根据公式（9）到公式（11）的发展，分形CEV中的欧洲看涨期权定价为：CH（S，0）=SQ2zH；2 +2 - α、 2yH- Ee公司-rT公司1.- Q2yH；2.- α、 2zH（26）利用Mκ、ν（l）和M[65]的导数、渐近性和递推性质，从（26）计算极限情况α得到了一个有趣的结果→ 2、根据公式。