机器学习风险模型

这是因为Eψij的较大特征值对eRank（S）的贡献很大。因此，我们定义S包括不超过1的ψij的所有特征值λ（a）（a=1，…，N）：S={eλ（a）| eλ（a）≤ 1}.然后，我们确定（这里的FLOOR（·）=b·c可以用圆形（·））n代替*= |S |- FLOOR（eRank（S））（19）因此，现在将尾部定义为*n中的*ψij的最小特征值seλ（a）。我们现在可以通过（i）替换n来变形ψij*S中的尾部特征值*再见λ*=最大值（S*), （ii）然后纠正这样变形的矩阵不再是单位对角线的事实。得到的矩阵bψij由以下公式得出：bψij=N-n*Xa=1eλ（a）eV（a）ieV（a）j+zizjNXa=N-n*+1eλ*eV（a）ieV（a）j（20）zi=y-2iNXa=N-n*+1eλ（a）[eV（a）i]（21）yi=NXa=N-n*+1eλ*[eV（a）i]（22）其中eV（a）i是eψij的主成分。这种方法类似于Rebonato和J¨ackel，1999）。关键区别在于（Rebonato和J¨ackel，1999）中的“调整”Zi适用于所有主成分，而这里的“调整”Zi仅适用于尾部主成分（特征值变形）。这将导致原始矩阵的失真更小。结果变形矩阵xBψij改善了尾部行为（见图5）。另一个好处是，虽然我们只对尾部进行了极大的修改，但对于a的所有值，变形矩阵ψij的特征向量不再是v（a），并且尾部以外的特征值也发生了变形。特别是，在某些情况下，在eλ（a）的密集区域（其中它们的阶数为1）中可能存在一些（通常为少数）几乎退化的特征值λ（a），即尾部外侧和向上倾斜的高端“颈部”。变形会分裂出这种几乎退化的特征值，这是一个受欢迎的额外收获。

事实上，几乎退化特征值的问题在于，它们会对有界优化的收敛产生不利影响（见下文），因为风险空间中的相应方向具有几乎相同的风险特性。3回溯测试我们讨论了一些回溯测试。我们希望了解我们的机器学习风险模型与其他结构的比较（见下文）。对于这种比较，我们完全按照（Kakushadze，2015c）中的方法进行回溯测试，但模型协方差矩阵的构建如上所述（与（Kakushadze，2015c）的完全杂种优势风险模型构建相反）。为了便于比较，我们在本回溯测试中使用的历史数据与（Kakushadze，2015c）中的数据相同，并在第6.2和6.3小节中进行了详细描述。交易范围选择在第6.2节（Kakushadze，2015c）中描述。我们假设i）投资组合是在公开市场上建立的，以公开价格出售；ii）在当天收盘时进行清算（因此这是一种纯粹的盘中策略），以收盘价进行融资（有关详细信息，请参见（Kakushadze，2015a））。我们包括严格的交易界限|嗨|≤ 0.01 Ai（23）这里是投资组合股票持有量（i=1，…，N），并且是根据第6.2of小节（Kakushadze，2015c）计算的相应历史平均每日美元交易量。我们进一步对投资组合实行严格的美元中性，因此Nxi=1Hi=0（24）。我们的后验测试中的总投资水平为I=2000万美元（即1000万美元长，1000万美元短），与中的相同（Kakushadze，2015c）。对于带边界的夏普比优化，我们使用R函数bopt。calc.opt（）在（Kakushadze）的附录C中，即使在机器精度范围内，它们也不会退化。但是，它们的间距比其他特征值（即平均值）更近。（Kakushadze和Yu，2016b），（Kakushadze和Yu，2017a）中也使用了相同的数据。2015年c）。

表1总结了K的各种值的特征值。考虑到算法是不确定性的，结果对于重新运行是稳定的。表2总结了回溯测试结果。在这里，我们想知道以下内容是否会带来改进。假设我们从样本相关矩阵ψij开始，运行算法，生成模型相关矩阵ψij。假设现在我们重新运行算法（使用相同数量的“采样”M），但使用ψij代替ψijin公式（6），以构建“采样”相关矩阵ψ（M）ij。事实上，我们可以一次又一次地迭代执行此操作，我们在表3中称之为乘法运算。表3中的结果表明，我们确实在第二次迭代中得到了一些改进，但并没有超过。让我们注意到，对于K≥ 100对于迭代（见表3），第2.4小节的方法不足以处理小且几乎退化的特征值问题，因此我们使用了完整的方法（Rebonto和J¨ackel，1999）（详情见第2.4小节和表3），这更扭曲了模型相关矩阵（这影响了性能）。4结论性意见因此，本文讨论的机器学习风险模型优于统计风险模型（Kakushadze和Yu，2017a）。它们的绩效与基于多层次聚类的统计行业分类的异质风险模型基本相似（Kakushadze和Yu，2016b）。然而，这里我们有单级聚类，没有像中那样的聚类聚合（Kakushadze and Yu，2016b）。此外，结果模型相关矩阵ψij不是因子模型，而（Kakushadze和Yu，2016b）的模型是因子模型。

请注意，本文的机器学习风险模型和（Kakushadzeand Yu，2016b）的模型的表现仍然低于基于基础产业分类的异质风险模型；参见（Kakushadze，2015c），（Kakushadze和Yu，2016a）。在这方面，可以说，让我们解决一些“松散的问题”。假设我们只取一个“采样”ψ（m）ij。这是一个不完整的单水平杂种优势风险模型。然而，ψ（m）ijby结构是正定义的，因此我们可以将其倒置并用于优化。那么，对大量M个“样本”（如本文的机器学习风险模型）进行平均，或实施多级“俄罗斯玩偶”嵌入（Kakushadze，2015b）如（Kakushadze和Yu，2016b）是否会增加价值？是的。因此，基于K=40和M=1的单一“抽样”的两次运行产生以下结果：（i）ROC=42.434%，SR=15.479，CPS=2.044；和（ii）ROC=42.735%，SR=15.51，CPS=2.054（符号见表2）。此外，如果我们不使用单个k-均值来计算ψ（m）ij，而是像（Kakushadze和Yu，2016b）中那样聚合大量P个k-均值聚类，会怎么样？这似乎没有增加价值。以下是K=30、M=100和P=100的典型运行结果：ROC=42.534%、SR=15.764、CPS=2.09。显然，也许并不奇怪的是，聚合多个聚类和平均多个“抽样”具有类似的效果。事实上，这让人安心。在本附录中，我们给出了统计计算的R（R）项目，https://www.r-project.org/)在正文中讨论的构建机器学习风险模型的源代码。代码简单明了，不言自明。

solefunction是qrm。calc.ml.cor.mat（），具有以下输入：r1是收益的N×T矩阵（N是股票数量，T是时间序列中的点数）；kis簇的数目K；nn是迭代次数（见第3节）；calc.num是“采样”的数量M；iter。num是内置的R函数kmeans（）通过qrm内部调用所使用的最大迭代次数（我们总是将其设置为100，并且在成千上万的kmeans（）调用中从未饱和）。（Kakushadze and Yu，2016b）附录A中给出的stat.ind.class（）；num.try是群集qrm的数目。stat.ind.class（）聚合内部，num.try=1（这是我们使用的值）对应一个singlek表示聚类；规则。tail是用于正则化（当设置为TRUE时）特征值尾部的布尔值，如第2.4小节所示。qrm的输出。calc.ml.cor.mat（）是相反的-1如果模型协方差矩阵Γij=σiσjeψij（或Γij=σiσjbψij，当reg.tail=TRUE时–见第2.4小节），其中σi是样本方差。与M个“采样”组合的权重在内部设置为均匀。但是，如果需要，可以对其进行修改。权重可以基于欧几里德距离或其他距离、特定方差ξi之和、平均相关性等。

在我们的模拟中，非平凡的权重并没有增加价值。qrm。calc.ml.cor.mat<-函数（r1，k，nn=1，calc.num=100，iter.max=100，num.try=1，reg.tail=F）{calc.mod.erank<-函数（x）{take<-log（x）>0n<-sum（take）x<-x[！take]p<-x/sum（x）h<-sum（p*log（p））er<-exp（h）er<-er+nreturn（er）}calc.het。cor<-函数（p，ind）{u<-rep（0，nrow（ind））for（a in 1:ncol（ind））{tt<-ind[，a]==1p1<-p[tt，tt]p1<-本征（p1）u[tt]<-p1$矢量[，1]}flm<-u*indq<-t（flm）%*%p%*%flmg<-flm%*%q%*%t（flm）诊断（g）<-1return（g）}计算cor.mat<-函数（p，r1，k，iter.max，num.try）{ww<-0gg<-0for（j in 1:calc.num）{ind<-qrm.stat.ind.class（r1，k，iter.max=iter.max，num.try=num.try，demean.ret=F）g<-calc.het。cor（p，ind）w<-1####均匀加权gg<-gg+g*www<-ww+w}gg<-gg/wwreturn（gg）}gg<-cor（t（r1），t（r1））（1:nn中的a）gg<-calc.cor.mat（gg，r1，k，iter.max，num.try）如果（reg.tail）{xx<-eigen（gg）vv<-xx$valuesuu<-xx$vectorser<-trunc（calc.mod.erank（vv））tt<-（er+1）：长度（vv）zz<-colSums（t（uu[，tt]^2）*vv[tt]/行和（uu[，tt]^2）zz RT（zz）vv[tt]<vv[er]uu<t（t（uu）*sqrt（vv））uu[，tt]<zz*uu[，tt]gg<uu%*%t（uu）}gg<求解（gg）ss<应用（r1，1，sd）gg<-t（gg/ss）/ssreturn（gg）}B免责声明只要上下文需要，男性包括女性和/或女性，单数形式包括复数形式，反之亦然。

本文作者（“作者”）及其附属公司，包括但不限于QuantigicSolutions LLC（“作者附属公司”或“其附属公司”），不作任何默示或明示保证或任何其他陈述，包括但不限于对特定目的的适销性和适配性的默示保证，与本文件内容相关，包括但不限于本文件中包含的任何代码或算法（“内容”）。读者可自行承担使用内容的风险，读者不得对作者或其关联方提出任何索赔，作者及其关联方对读者或任何第三方不承担任何损失、费用、机会成本等责任，与读者使用内容有关或因读者使用内容而产生的任何损害或任何其他不利影响，包括但不限于：读者遭受的任何直接、间接、附带、特殊、后果性或任何其他损害，无论是何种原因造成的，还是根据任何责任理论造成的；任何利益损失（无论是直接或间接发生）、任何商誉或声誉损失、任何数据损失、替代货物或服务的采购成本或任何其他有形或无形损失；读者对内容的完整性、准确性或存在性或使用内容的任何其他影响的依赖；以及读者在使用内容时可能遇到的任何和所有其他不利因素或负面影响，而不管作者或其同僚是否、是否或应该意识到这些多样性或负面影响。附录A中包含的R代码是QuantigicSolutions LLC受版权保护的R代码的一部分，并在QuantigicSolutions LLC明确许可的情况下提供。

版权所有人保留本协议附录A中包含的受版权保护的源代码及其所有版权的所有权利、所有权和权益。参考Campbell，L.L.（1960）平稳随机过程的最小系数率。信息与控制3（4）：360-371。Forgy，E.W.（1965）《多元数据的聚类分析：分类的效率与可解释性》。生物特征21（3）：768-769。Grinold，R.C.和Kahn，R.N.（2000）《主动投资组合管理》。纽约州纽约市：麦格劳·希尔。Hartigan，J.A.（1975）聚类算法。纽约州纽约：John Wiley&Sons，股份有限公司Hartigan，J.A.和Wong，M.A.（1979）Algorithm AS 136：一种K均值聚类算法。皇家统计学会杂志，C辑（应用统计学）28（1）：100-108。Kakushadze，Z.（2015a）均值回归和优化。资产管理杂志16（1）：14-40。在线提供：https://ssrn.com/abstract=2478345.Kakushadze，Z.（2015b）俄罗斯玩偶风险模型。《资产管理杂志》16（3）：170-185。在线提供：https://ssrn.com/abstract=2538123.Kakushadze，Z.（2015c）异质风险模型。Wilmott杂志2015（80）：40-55。在线提供：https://ssrn.com/abstract=2600798.Kakushadze，Z.（2016）收缩率=因子模型。《资产管理杂志》17（2）：69-72。在线提供：https://ssrn.com/abstract=2685720.Kakushadze，Z.和Yu，W.（2016a）多因素风险模型和异质CAPM。投资策略杂志5（4）：1-49。在线提供：https://ssrn.com/abstract=2722093.Kakushadze，Z.和Yu，W.（2016b）统计行业分类。风险与控制杂志3（1）：17-65。在线提供：https://ssrn.com/abstract=2802753.Kakushadze，Z.和Yu，W.（2017a）统计风险模型。投资策略杂志6（2）：11-40。在线提供：https://ssrn.com/abstract=2732453.Ledoit，O.和Wolf，M。

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Max10 0.078 0.4795 0.6579 1 0.8318 514.920 0.0684 0.45 0.6114 1 0.7856 503.630 0.0695 0.4221 0.5662 1 0.7533 499.740 0.07 0.3895 0.5346 1 0.7295 497.850 0.0684 0.3722 0.515 1 0.7025 49660 0.0685 0.3574 0.4979 1 0.6841 495.970.0661 0.3469 0.4838 1 0.6686 497.170 0.0665 0.3477 0.4848 1 0.6701 496.970 0.0653 0.3464 0.483 1 0.6686 496.970 0.0652 0.3467 0.4825 1 0.6663 497.470 0.0642 0.3474 0.4835 10.67 496.670 0.0662 0.3477 0.4843 1 0.6679 496.770 0.064 0.3473 0.4853 1 0.6691 496.980 0.0614 0.3393 0.4739 1 0.6532 497.690 0.0355 0.3298 0.4626 1 0.641 497.6100 0.015 0.3241 0.4532 1 0.6307 498.3*0.0152 0.3318 0.4618 1 0.6276 498.1101 0.0184 0.3217 0.4515 1 0.6278 498.6102 0.0203 0.3219 0.4512 1 0.6255 498.6103 0.0197 0.321 0.4496 1 0.6268 498.4104 0.0153 0.319 0.4482 1 0.6245 498.5105 0.0088 0.3204 0.4491 1 0.6236 498.2106 0.0116 0.3191 0.447 1 0.6213 498.4107 0.009 0.3176 0.4466 1 0.6215 498.2108 0.0067 0.3165 0.4441 1 0.6187 498.4109 0.0105 0.319 0.4447 1 0.6182 498.2110 0.0032 0.3149 0.4432 1 0.6176 498.3120 0.0026 0.3103 0.4355 1 0.6081 499130 0.0051 0.3023 0.4259 1 0.5986 499.7140 0.0022 0.2976 0.4209 1 0.5917 499.4150.002 0.292 0.4132 1 0.5839 499.8表2：所示集群数量的机器学习风险模型的回测结果（此处以及表3和表4中的“抽样”数量M=100）。ROC=年化资本回报率（单位%）。SR=年化日夏普比率（夏普，1994年）。CPS=每股美分。标记为“尾”的情况对应于变形模型相关矩阵xBψij；详见2.4小节。