方差gamma下美式期权的快速定价方法

然后g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ）是方程式（5）的最佳l.h.s。如果我们取（xi；K，Θ）=g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ），它是最优的r.h.s.，很明显，对于最优解λ（Θ）和x，（8）的最优值为0(Θ).现在我们知道了如何选择E（xi；K，Θ），但我们已经计算了美国期权的价格，在价格之后了解E（xi；K，Θ）以实现新的定价方法是毫无意义的。因此，我们需要使用灵活的机器学习技术来学习E（xi；K，Θ）的值。为了详细说明，我们首先计算E（xi；K，Θ）=g（xi；K，λ（Θ），x的值（Θ），Θ）在Θ的参数空间中的一组网格点处的每个i。然后我们拟合G（xi；K，λ（Θ），x的曲面（Θ），Θ）对于每个i，使用非参数回归。通过回归，我们假设g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ）接近连续函数w.r.t.Θ。这样我们就不必计算g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ）对于每个Θ，通过这样做，我们将大大加快定价。对每个i调用回归^gi（K，Θ）的估计值，我们让E（xi；K，Θ）=损失函数（8）中的^gi（K，Θ）。通过做SO，我们在（8）中使用了一个近似最优的E（xi；K，Θ）以及解λ和x也接近最优。此外，我们可以使用类似的方法来估计λ（Θ）和x（Θ）从预先计算的数量，并将估计值作为方程（8）优化问题的初始解，以节省时间。4.4根据美国和欧洲期权的性质以及w（x，0；K，Θ）和g（x；K，λ，x）的定义，价格w.r.t.S和K的可扩展性, Θ），p（αS，0；αK，Θ）=αp（S，0；K，Θ），p（αS，0；αK，Θ）=αp（S，0；K，Θ），w（x+lnα，0；αK，Θ）=αw（x，0；K，Θ）。因此，运动边界x随ln（K）变化，因为x=inf{x:P（ex，0；K，Θ）>K- 例如}。

如果我们把K变成αK，那么x对x的更改+ lnα和g（x+lnα；αK，λ，x+ lnα，Θ）=αg（x；K，λ，x, Θ).λ是ln（P（ex，0；K，Θ）的斜率- p（ex，0；K，Θ）），x>x相对于x。将K改为αK后保持不变。如果t与x一起，则xim的定义为sh和ln（K）。Letx′i=x+ lnα+2iN（ln（αK））- （十）+ lnα））=xi+lnα表示当K变为αK时xi的对应关系。Theng（x′i；αK，λ，x+ lnα，Θ）=αg（xi；K，λ，x, 由于^gi（K，Θ）是g（xi；K，λ，x）的估计值, Θ），我们得到^gi（αK，Θ）=α^gi（K，Θ），因此我们不必计算g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ）对于不同的K。我们只需要一个固定的Kto来估计^gi（K，Θ），然后^gi（K，Θ）=KK^gi（K，Θ）4.5主要方法的总结。其t部分是在定价之前进行的预计算：o选择一组{j}nj=1，其中＝（r，q，t，σ，ν，θ）是参数集，通过有限差分法和FFT分别计算美国和欧洲期权P（S，0；K，Θj）和P（S，0；K，Θj）的价格≤ j≤ n和d K=1000。o获取练习边界x（j）来自有限差分法和回归Ln（P（ex，0；K，j）- p（ex，0；K，Θj）），x>x通过x获得每个Θj的斜率λ（Θj）。o计算g（xi；K，λ（Θj），x（Θj），Θj）来自方程式（7）中的1≤ j≤ n和0≤ 我≤N、 o存储数据。第二部分是定价：给定行权K，股票价格s（0），所有参数Θ=（r，q，T，σ，ν，θ）：o使用非参数回归例程从kkg（xi；K，λ（Θj），x估计^gi（K，Θ）（Θj），Θj），1≤ j≤ N、 o最小化损失函数w.r.t.λ和xl（λ，x; Θ）=NXi=0（g（xi；K，λ，x, Θ) - ^gi（K，Θ））o获取价格p（S（0），0；K、 Θ）≈K- S（0）S（0）≤ exp（x)p（S（0），0；K、 Θ）+exp（λ（log（S（0））- x个) + b） S（0）>exp（x)4.6对主要方法的见解图1显示了该方法的框架。

带圆圈的数字强调了该方法中最重要的部分。首先，它将PIDE（4）转换为OIE（5），这是图1中的步骤。在这一步中，我们去掉了时间轴，它在有限差分方法中花费了大量时间。同时，我们保留了一个修正项以提高精度。其次，它将OID参数化，并将求解方程的问题转化为优化问题，如图1所示。为了求解直线上的方程，未知对象是整个实线上的函数w（x），实线是在有限维上的。然而，这一步骤提供了从美国期权溢价解到修正项（e（xi；K，Θ））Ni=0的映射，这只是一个N+1维向量。这一步基本上是尺寸控制。第三，如前所述，该方法使用非参数回归来利用预计算数据中的信息，如图1所示。其他方法将解决给定一组参数的价格问题视为单个问题。该方法将求解问题视为一组问题，将计算时间从O（M N）减少到O（N），其中M是参数化的损失函数（λ，x）的时间步长)最佳（λ，x)近似价格E（x；K，Θ）最优E（x；K，Θ）简化预计算定价路线图1：我们主要方法的框架。具有不同的参数Θ。

如果我们利用此方法中构建的从价格到修正项（E（xi；K，Θ））Ni=0的映射，我们可以学习函数E（xi；K，Θ）w.r.tΘ。如果我们将该方法的主要思想总结到一个较高的水平，那么该方法应该将PIDE（4）的解还原到修正项向量的低维空间中，使用非参数机器学习技术在向量空间中拟合曲面，然后增强对美式期权近似价格曲线的估计。5数值实验所考虑的参数范围为{Θ=（r，q，T，σ，ν，θ）：0≤ r、 q≤ 0.1, 0.1 ≤ T≤ 1,0.1 ≤ σ ≤ 0.4, 0.1 ≤ ν ≤ 0.6, -0.5≤ θ ≤ -0.1}我们选择S=2900，因为它接近标准普尔500指数点。我们在数值实验中比较了以下方法：o使用PIDE的有限差分方法【13】。我们使用隐式格式来求解每个时间步的价格，并使用百慕大方法来处理美式期权的早期行使。设N是ln（S）的网格点数，M是从0到T的时间网格。相比之下，我们使用两种版本的有限差分法。On称为FD FINE，N=3000，M=250。另一个称为FDRough，N=800，m=80。当网格更细时，有限差分法非常准确，可以用作比较标准。然而，这可能很耗时，因此我们希望在使用更粗的网格进行加速时，使用FDRough来测试执行有限差分方法的效率Longstaff-Schwartz方法的MC模拟【15】。模拟是定价的一般方法，Longstaff-Schwartz方法也是处理美国期权早期行使的一般方法。

时间步数为250，样本数为1e5简单方法使用鞠忠方法（第一种推荐方法）提议的主要方法（第二种提议的ap方法）。计算最佳参数λ（Θ）和x的网格点（Θ）然后g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ），是下列集合笛卡尔积中的点：r，q∈ {0.01、0.04、0.07、0.1}T∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, 1.1}σ ∈ {0.1, 0.2, 0.3, 0.4}ν ∈ {0.1, 0.3, 0.5}θ ∈ {-0.5, -0.3, -0.1}这里使用核回归作为非参数方法。解释变量为Θ=（r，q，T，σ，ν，θ），响应变量为（g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ））Ni=0。解释变量和响应变量的维度分别为6和N+1。在数值试验中，我们取N=6。在附录B中，我们给出了核回归的详细信息，并说明了如何选择核的参数。训练集的比率为75%。为了得到核的稳健选择，我们重复回归5次，并将核参数的平均值作为最终参数。结果如附录C中的表1-4所示。所有方法均为C语言编程，并在2.70GHz的Intel i7-6820HQ上在Matlab中进行测试。正如我们所看到的，主要方法在各种方法中实现了小误差和快速速度之间的良好平衡。第一种方法（JZ）通常是最快的，但我们的主要方法误差很小。此外，我们的主要方法比有限差分法和模拟法快得多。

即使我们将最终差异加速到比主要方法（FD更粗）慢10倍左右，当T≤ 0.5.当T=1时，主方法的性能不如T≤ 0.5，其原因是当T较大时，美式期权的真实溢价曲线不能用指数函数拟合，当T较小时也不能用指数函数拟合。本文提出了一种在VG模型下快速实用的美式期权定价方法。这种方法可以从两个方面来看。一方面，它用根据预先计算的数据估计的校正项来求解近似方程。另一方面，优化例程提供了从Premium曲面到校正项向量的映射，该映射位于欧几里德空间中，易于估计。映射将定价问题转化为简单的机器学习问题。对于未来的工作，许多涉及扩散和跳跃的金融模型中的期权价格可以用PDE或PIDE来描述。当我们需要该模型的快速近似方法时，主方法的相同思想可以应用于NIG、CGMY和dVGSSD。此外，该方法是一种数值定价方法。VG模型的PIDE的高精度闭式近似解仍然很吸引人。参考文献【1】A.Almendral和C。W、 Oosterlee。方差GammaProcess下的美式期权。《应用数学金融》，14（2）：131–152，2007年5月。[2] O.E.巴恩多夫-尼尔森。正态逆高斯型过程。《金融与Stoc hastics》，2（1）：41–681997年。[3] G.巴龙·阿德西和R.E.惠利。有效分析美式选择值的近似值。《金融杂志》，42（2）：301–3201987年。[4] P.Carr、H.Geman、D.B.Madan和M.Yor。资产收益的精细结构：一项实证研究。

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（9） 如果我们省略方程（9）中的积分项，我们可以得到一个B-M-S方程-wτ（x，τ）+σ（）wx（x，τ）+（r- q+ω（）-σ())wx（x，τ）- rw（x，τ）=0。它描述了波动率为pσ（）且股息为q的股票的期权价格- ω(). 因此，我们决定使用此B-M-S模型的保费来近似VG模型中的保费。B核回归核回归是一种非参数机器学习技术，用于发现一对变量x和y之间的非线性关系。x和y都可以是向量。设dx和dy为x和y的维数。假设我们收集数据x，x，xnandy，y，ynand希望在给定x的情况下找到y的合适估计值。首先，为了进行核回归，我们需要一个核函数κ（x′，x′），其中x′和x′是x空间中的两点。然后，给定x的估计值^y=f（x）是f（x）=Pni=1κ（x，xi）yiPni=1κ（x，xi）。（10） 其次，我们需要选择一个合适的核函数κ（x′，x′），以获得良好的估计。高斯核通常是一个很好的选择，即κa（x′，x′）=exp(-dxXj=1aj（x′j- x′\'j）），其中aj，1≤ j≤ dx是正数，x′jand x′jare是向量x′和x′的第j个分量。有不同的方法来衡量装修的表现。一种方法是定义函数并通过优化选择参数。例如，如果y的分量是s imilar，则合理的损失函数可以定义为l（a） =nXi=1kyi- ^ySi（a）k，其中k·k是欧几里德范数，^ySi（a）=Pi∈Sκa（x，xi）一皮∈Sκa（x，xi）是y的估计，给定xind也是a的函数。S是随机选择的{1，2，…，n}的子集，用作训练集。

这一步骤旨在避免过度装配。通过最小化l（a） ，我们可以得到一个合适的核函数κa（x′，x′），用于使用方程（10）进行预测。最后，由于沙子的随机性，我们可以多次重复第二步，取a的平均值以获得稳健性。C数值试验结果SR q K FD FINE FDROASE主模拟simple0.10 0.01 2600 141.939 141.594 141.801 139.954 135.2970.10 0.01 2800 198.588 198.301 198.886 195.562 192.6700.10 0.01 3000 272.532 272.391 273.172 265.878 269.9610.10 0.01 3200 368.504 368.685 368.549 361.026 372.5500.05 2600 156.313 4 156.145 156.433 155.903 156.2120.05 0.05 2800 217.980 217.979 218.195 217.055218.7040.05 0.05 3000 297.861 298.157 298.187 295.774 300.2860.05 0.05 3200 400.214 401.009 400.580 399.892 405.5260.01 0.10 2600 184.019 183.824 184.156 186.316 184.1350.01 0.10 2800 256.889 256.903 256.947 257.258 256.9160.01 0.10 3000 351.540 351.923 351.443 351.943 351.3970.01 0.10 3200 473.366 474.375 472.958 472.758 472.931RMSE-0.429 0.291 3.224 3.378MAE-1.010 0.640 7.479 6.642CPU（s）5.270 0.129 0.009 5.479 0.004表1：美式看跌期权价值。S=2900，T=0.5，σ=0.1，ν=0.6，θ=-0.5.RMSE是均方误差的根。MAE是最大绝对误差。