一种基于内存的方法，用于选择

我们绘制右特征向量wof E（对应于市场模式）的条目，并绘制图2，其中蓝线给出了相应2D向量原点的长度。我们从图2中看到，ware的条目均为正值，这证实了第一个特征向量确实影响所有股票。4、长记忆我们现在考虑时间序列的“长记忆”特征，专门讨论金融背景下的对数波动性。任何时间序列x（t）的自相关函数（ACF）κ（L）定义为sκ（L）=corr（x（t+L），x（t））=h[x（t+L）x（t）]iσ，（10），其中h。。。i表示x（t）上的时间期望，调整为零均值。L是滞后，σ是过程x（t）的方差。如果κ（L）的衰减速度大于或等于L的指数衰减速度，则时间序列被称为内存不足[27]。然而，在许多现实世界的系统中，从水文学的洪水到温度测量【27】，人们发现κ（L）的衰减速度比指数衰减速度慢得多，从而产生了一种称为长记忆的重要影响【27】。这意味着时间t的过程仍然受到遥远过去发生的事情的严重影响。特别是对于金融数据a（其中x（t）=ln r（t）|），一个公认的风格事实（称为波动率聚类）是，波动率的大变化通常伴随着波动率的其他大变化，或者波动性保留了内容8（a）E（b）g图1：（a）根据经验数据集构建的E特征值分布直方图（见附录a），与红色的最佳Marˇcenko Pasturd分布相比较。λ轴被前斜杠分割，仅显示λ+=2.80以下的整体特征值。插图显示了半对数尺度下λ>λ+的22个孤立特征值。

Marˇcentko Pastur分布的参数sq=0。38±0.02，σ=1.03±0.01。（b） 相同的直方图，但适用于相关矩阵G（见第5.1节），其中市场模式已被去趋势化。这里λ+=2.77，q=0.41±0.02，σ=1.01±0.01，λ++以上有35个特征值。图2：该图中的每个点i都有坐标（wi1，wi2），其中wi1是顶部特征向量w的i-thentry，wi2是附录A中数据集的相关矩阵E（定义在等式（2））的第二个特征向量wo的第i个条目。对应的2D坐标向量从原点的长度由每条蓝线给出。该图显示，WI1的所有值实际上都是正值。目录9先前的价值[52]。κ（L）也被经验发现遵循幂律衰减κ（L）~ L-βvol，（11）其中βvol描述了记忆效应的强度–较低的值表示对过去值的记忆保留时间较长。然而，如【15】所示，为了更好地区分短内存和长内存，可以方便地考虑非参数集成代理η，定义为η=zlcutel=1κ（L）dL，（12），其中Lcutis是5%水平的标准Bartlett切割【40】。κ（L）t hanβvol的噪声修饰对代理η的影响较小[15]，η的值越大，记忆效应的程度越大。这种可观察性将构成我们方法的基本依据。方法在本节中，我们详细描述了我们的程序。5.1. 对市场模式进行趋势分析我们方法的第一步是消除市场模式的影响，即我们在第3.2节中暗示的影响数据的全球因素。为此，我们将公式（8）中的标准化对数波动率ωi（t）=ln | ri（t）|采用因子模型（使用资本资产定价模型，CAPM[53，54]），市场模型i（t）=NXi=1wi1ln | ri（t）|（13）作为因子。

该数量——本质上是ln | ri（t）|的加权平均数，权重为w，即顶部特征向量的分量s——代表整个市场对所有股票的影响，即所有股票同时采取的共同方向。因此，我们定义ωi（t）=βi0I（t）+αi0+ci（t）。（14） 这里，βi0是股票i对市场模式i（t）变化的响应，αi0是相对于市场的过度波动，ci（t）是剩余对数波动。ωi（t）与i（t）的标准线性回归揭示了市场作为一个整体无法解释的剩余可用性ci（t）。所有股票的standardisedci（t）材料ix标记为X（市场）。我们称G为X（市场）的相关矩阵，其中entriesGij=TTXt=1ci（t）cj（t）。（15） 内容10根据定义，矩阵G将通过Q消除市场模式的影响。(14). 这种清理程序也使关联结构更加稳定[55]，因此，从现在起，我们将使用矩阵G。正如我们对矩阵E所做的那样，我们再次拟合了Marˇcentko Pastur（MP）分布——这次是G的经验特征值分布。这一点即使在存在自相关的情况下也是正确的，因为在大部分情况下，内存量相当低。我们可以通过计算特征值低于λ+的中间Lcutover主成分（适用于已确定的MP分布，即2）从经验上看到这一点。这些值非常接近1，这是我们将为白噪声找到的值。在存在弱自相关的情况下，[56]表明，散货中特征值的分布与MP分布略有不同。我们在图1（b）中清楚地看到了这种失真，图1（b）在形状上与[56]中计算和绘制的pdf有一些相似之处（参见图1）。然而，MP分布是一个简单且非常好的近似值，尤其是对于图1（b）中的边缘点。

我们预计，特征值的数量应该增加，因为市场模式的取消使得真实的相关性结构更加明显，低内部相关性集群更加明显[55]。图1（b）中详细说明的结果证实了这一点，在图1（b）中，我们看到体积以外的特征值数量（如图1（b）中的插图所示）从22减少到35。注意，我们还从图1中看到，最佳fit q和σforE与G非常相似，这与[57]的理论结果相匹配。有了这一发现，我们可以安全地忽略MP sea中响应特征值的所有主要成分。对于附录A中的经验数据，这一观察已经从1202到35得出了合格成分的最大值（我们称之为mmax）。我们还记得，Ghave的特征向量根据工业分类基准（ICB）超部门进行了经济解释，更多详情，请参见附录B.5.2。主成分回归考虑式（15）中的矩阵G，如果市场模式的影响已经消除，我们现在必须评估每个股票i的对数波动率与每个主成分的对数波动率之间的关系。我们通过将等式（14）中的ci（t）与主成分的对数波动率的平均行为进行比较来获得这一结果。平均行为Ip（t）定义为asIp（t）=NXi=1wipci（t），p=1。。。，mmax，（16），即第p个主成分的加权平均对数波动率，其中Wip是G的第p个特征向量的第i个条目。因此，等式（16）是theresidue ci（t）在mmax主成分上的投影。主成分s是相关矩阵G的正交基，并表示确定ci中的函数的重要特征。

因此，定义一个因子模型是有意义的，我们称之为“基于mmax的PCA因子模型”，其中解释变量为mmax主要成分[1，58]ci（t）=mmaxXp=1βipIp（t）+i（t），（17），其中i（t）是具有零均值和有限方差的白噪声项，而ci（t）是等式（14）中定义的剩余波动率。这里，βipi是指ci（t）对Ip（t）变化的响应性，表明股票i的对数波动率是高于（βIp>1）还是低于Ip（t）（βIp<1）。现在，我们可以通过将之前获得的输入ci（t）与所有Ip进行回归来确定βIp。这将把由主成分解释的信号与系统中存在的剩余噪声分离开来。将使用Lassomed方法进行回归（详见附录C）。5.3. 评估记忆贡献我们方法的下一步是估计m=1，2，…，的记忆贡献。。。，MMAX组件。固定m，我们计算每个股票的数量d（m）i（t）=ci（t）-mXp=1βipIp（t），i=1。。。，N（18） 这里，βi是通过式（17）中的回归得到的系数。d（m）i（t）是去除前m组分后的残留物。使用d（m）i（t），我们可以首先计算它们的t时间自相关κ（m）i（L）inEq。（10） 对于L=1和L=T之间的滞后L的不同值-1、我们一般发现，κ（m）i（L）遵循幂律衰减，是L的函数——见下例。3描述了m=1时的κ（m）i（L），11为ALJ区域控股公司（ALJJ），该股票包含在附录a中的经验数据集中。随着更多成分被移除（即m增加），ALJJ方程（11）中定义并绘制在图3中的指数βvol从0.277增加到0.322。

这是人们所期望的结果，因为随着移除更多组件，占用的内存数量将减少。通过对κ（m）i（L）进行数值积分，我们获得了一组集成内存代理η（m）i（见等式（12）），每个资产i和移除组件的每个数量m各一个。一般来说，η（m）是m的非递增函数，因为进一步移除子序列组件必然会降低系统中存在的剩余内存水平。我们现在定义ζ（m）=中值η（m）iη（0）i！，（19） 式中，η（m）是积分代理，而η（0）只是等式（14）中定义的剩余波动率ci（t）的积分代理。因此，ζ（m）表示“平均”含量120 1 2 3 4 5 6-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1经验拟合（a）κ（1）（L）0 0.5 1 1 1.5 2 2.5 3-3.2-3-2.8-2.6-2.4-2.2-2-1.8-1.6经验拟合（b）κ（11）（L）图3：蓝色κ（m）（L）对数标度图，如式（10）所示，其中x（t）=d（m i（t），对于股票ALJ Regional Holdings（ALJJ）。这里，m=1在左边，m=11在右边。用红色表示最佳拟合线（使用泰尔森估值器[59]），左图和右图的幂律衰减指数βvolas分别为0.277和0.322。所有库存的行为，即每个主成分对内存的影响程度。这也是m的一个非递增函数，通过定义所有m的ζ（m）<1。在图4（c）中，我们分别在附录a和第6.1节中以对数-对数比例绘制了经验数据集和综合数据集的ζ（m）。我们在θ的某个值处观察到了一个显著的变化，我们的解释如下：在θ的右侧，当越来越多的成分被逐渐包含时，系统中未解释的内存量变化非常缓慢。

这清楚地表明我们已达到“最佳停车”点m除此之外，包含更多组件不会增加更多信息。超过θ，ζ（m）的行为为幂律ζ（m）~ m级-γm≥ θ，（20），其中γ是expo-nent。使用附录D中描述的θ的拟合过程产生最佳整数估值器^θ。因为^θ的值表示形式<^θ- ζ（m）比幂律下降得更快，我们可以安全地设置m=^θ - 1.(21)5.4. 程序摘要选择最佳数量m的程序要保留的主要组成部分，包含长内存内容的标准化数据矩阵X 130 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-2.6-2.4-2.2-2-1.8-1.6-1.4-1.2中等最佳拟合（a）均匀0.5 1 1.5 2 2.5 3.5-3.5-3-2.5-2-1.5-1中等最佳拟合（b）非均匀0.5 1 1 1.5 2 2 2 3 3.5 4-1.7-1.6-1.5-1.4-1.3-1.2-1.1-1-0.9-0.8中等最佳拟合（c）经验图4：（左上）定义的均相合成系统ln（ζ（m））与ln（m）的曲线图在第6.1节中。蓝线是穿过所有资产的ζ（m）值，灰红线表示^θ=20，即凹度变化的点。（右上）相同的plo t，但适用于第6.1节所述的异构模拟系统，其中^θ=13。（Bo t tom）相同的图，但对于附录A中所述的经验数据集，得出^θ=16。^θ的这些值意味着数字m要保留的主要组件的数量应为m= 分别为19、12、15。影响（步骤的合理性可在每个步骤后的文胸标签部分中找到）：（i）从X到表X（市场）消除任何全局影响，表X（市场）的序列为等式（14）中定义的残留物（t）[第5.1节]。（ii）计算X（市场）的相关矩阵G，并确定其特征值的经验概率密度。

在等式（9）中找到特征值mmaxexceedingλ+、Marˇcenko Pastur分布的上边缘的数量[第3.2节]。（iii）根据公式（17）建立基于mmax的PCA因子模型，使用lasso回归（见附录C）确定参数集βip。这是通过将残留物ci（t）与主成分Ip（t）含量的平均行为进行回归，14p=1。。。，mmax[第5.2节]。（iv）使用这些βip，确定每个m=1。。。，Mmax和stock i——方程式（18）[第5.3节]中给出的残留物d（m）i（t）。（v） 根据d（m）i（t），计算L不同值的时间自相关nsκ（m）i（L），并通过积分确定代理η（m）i。根据公式（19）构造ζ（m）[第5.3节]。（vi）使用附录D中的拟合程序来确定θ，θ的最佳估计值–ζ（m）凹度变化的点–定义在公式（20）中。最后，要保留的最佳主成分数为m=^θ - 1[第5.3节]。6、将我们的方法应用于本节中的合成和经验数据，我们在合成生成的数据和附录A.6.1中定义的经验数据集上测试我们的方法。合成系统设置具有长记忆的随机过程的一个范例是分馏高斯噪声（FGN）。具有赫斯特指数H的FGN是过程Y（t），其自相关函数由κf GN（L）给出=|L- 1 | 2H- 2 | L | 2H+| L+1 | 2H~ H（2H- 1） L2H公司-2.（22）等式（22）确实表明，FGN具有长记忆，因为其自相关函数遵循第4节所述的幂律衰减。特别是，对于1/2<H<1（H=1/2对应于标准白噪声），我们有一个正相关的过程，这是财务数据所共有的特征【28】。增加H将增强FGN中存在的记忆强度，因为在这种情况下，κF GN（L）的衰减更慢。

我们将使用【60】中详述的方法生成FGN的实现。在我们的综合环境中，我们考虑由N只股票组成的一个活跃市场，并在时间窗口t内模拟每只股票的低波动率ωi（t）。为此，我们利用了广泛认可的金融经验数据常常被组织成集群的事实【61–64】。因此，我们规定股票被组织成不相交的集群，每个集群包含NK股票。接下来，我们生成影响所有股票的有效市场模式I（t）[41、50、51]。这只是一个具有赫斯特指数H的FGN过程，我们将在模拟中将其设置为0.9。我们还将I（t）的方差乘以1。因此，我们的模拟对数波动率过程将读取ωi（t）=βi（t）+βk（i）Ik（i）（t）+i（t），（23），其中k（i）表示资产i所属集群的指数，而Ik（t）是Hurst指数为HK且固定方差为1的areFGN过程。i是具有零均值和方差φ的白噪声项。内容15我们在模拟中使用的典型值是N=1200，T=4000和K=30。我们模拟了两个集群内部安排不同的市场：第一个集群是同质的，每个集群的大小正好是40，第二个是异构的，这意味着每个集群有不同数量的股票。后一种情况尤其重要，因为金融数据以及许多其他系统中存在的集群规模是异构的【61，62】。为了生成异构系统，我们使用了[65]中描述的过程，该过程产生了幂律分布集群大小，这是真实世界数据的一个关键属性[66]。我们用于生成N=1200的聚类大小的该方法的具体实现是，每个聚类中的平均库存数量为40，标准偏差为26.2。

我们还设置了β=1.3，而βkare值介于0.14和1之间，hk是介于0.7和0.9之间的等距序列。这种选择确保了βK值较高的集群也具有较高的ERHK值，从而与[67]的经验结果相联系，即波动性较高的股票具有较长的记忆。最后，φ固定为1，与时间序列I（t）和Ik（t）的方差相同。注意，我们还使用附录E中的1 lag（AR（1））[40]的自回归过程来模拟相同的系统，其中我们说明我们的方法也可以应用于这种情况，但精确度较低。这支持了这样一种推理，即图4（c）中缓慢减小到^θ右侧更适用于长内存进程而不是短内存进程。将对数波动率ωi（t）安排在矩形数据矩阵X中，然后我们可以将X输入我们的算法程序，并检查有多少重要成分sm它检索。我们的合成模型的一个理想特征是，很容易先验地估计E=（1/T）X+X（或其去趋势对应物G）的特征值中有多少包含可以从纯无ise中分离出来的信息。之所以会出现这种情况，是因为每个聚类对应一个主成分，因此超出整体的IgenValue数只有K。这使得后验比较更加有趣。6.2. 结果对于合成和实证数据，我们模拟了我们合成市场的100个独立样本，在检查统计数据是否足以证明我们结果的稳定性后，我们按照第5.3节末尾规定的程序选择. 首先，我们检查了从模拟X获得的相关矩阵的IGENVALUE分布。