纳什讨价还价，向凯利赌徒提供保证金贷款

经纪人的利润率为π=u - σ- r2σ. （21）示例4。对于参数σ：=15%、r：=3%、ν：=9%、u：=ν+σ/2，连续时间方钻杆规则为b*= 3.17. 协商利率为r*L=4.2%，Kelly Gamblers A.Garivatis保证金贷款的纳什讨价还价净息差为1.2%，赌徒获得的渐进连续复合增长率为*= 每年12%。经纪人以π的比率赚取即时保证金*= 每年占客户权益的2.6%。3.1效用可能性边界。在本小节中，我们推导了效用可能性边界，例如，我们计算了给定策略π（协同）可实现的最大可能增长率Γ。求π的rLin项，我们得到rl=r+πb- 1.（22）将此表达式替换为公式中的Γ，简化后，我们得到Γ=r+（u- r） b类-σb- π. （23）最大化关于b，我们得到b*= (u - r） /σ。将其替换回（24）并简化，我们得到了效率增长前沿的（线性）方程：Γ=r+u - rσ- π. （24）与平等主义条件并置（24）- Γ = π - π、 我们得到这样一个事实，即纳什谈判下的最终效用为π*=r-Γ - π+u - rσ（25）向Kelly Gamblers A.GarivatisandΓ提供保证金贷款的纳什谈判*=r+Γ- π+u - rσ. （26）4垄断威胁点。记住我们已经将赌徒的财富标准化为1美元，经纪人面临着需求曲线Q（rL）=b（rL）- 1 =uσ- 1.-σ×rL。（27）相应的反向需求（或边际值）曲线为rL（q）=（u- σ)-σq，边际收益曲线为MR（q）=（u- σ) -2σq.保证金贷款需求的瞬时价格弹性为d（q）=-rLq×dqdrL=u- σσq- 1.（28）将经纪人的边际收入与融资的边际成本r相等，我们得出垄断数量qm=u- σ- r2σ。

（29）将该数量代入反向需求曲线，我们得到了熟悉的单聚中点定价规则：rM=u- σ+r.（30），即保证金贷款的垄断价格等于阻塞点u的平均值- σ和经纪人买入利率r。因此，在垄断威胁点下，Kelly赌徒就保证金贷款进行的讨价还价A.Garivatis连续时间Kelly赌徒将下注分数bm=qM+1=u+σ- 风险资产财富r2σ（31）超过【t，t+dt】。鉴于其净息差为rM- r=（u- σ- r） /2，经纪人每美元客户权益的即时中介收益率为πM=（rM- r） qM公司=u - σ - r2σ, （32）垄断市场结构下赌徒的渐近资本增长率为ΓM=Γ（bM，rM）=u- σ+r+u + σ- rσ. （33）消费者剩余以持续的ofCS比率流向凯利赌徒=u - σ- rσ（34）每单位时间。从垄断中点的对称性来看，单位时间的自重损耗等于消费者剩余：DWL=CS=u - σ- rσ. （35）示例5。对于参数ν：=0.09，σ：=0.15，u：=ν+σ/2，r：=0.03，保证金债务的单利价格为rM=5.44%，赌徒相应地要求qM=1.083美元保证金贷款/美元账户权益，总下注bM=2.0833。因此，赌徒的渐进资本增长率为Γ=10.32%，经纪人的年利率为π=客户权益的2.64%。这种垄断行为如图1所示。纳什与凯利赌徒A就保证金贷款进行谈判。

Garivatis0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5每美元客户权益的保证金贷款数量00.010.020.030.040.050.060.070.08保证金贷款利率保证金贷款需求边际成本（经纪人买入利率）边际收入图1：凯利赌徒每美元账户权益的保证金贷款瞬时需求，ν：=0.09，σ：=0.15，u：=ν+σ/2，r：=0.03。在合作下（相对于此威胁点），赌徒将赌注增加到b*=3.17经纪人将利率降低至r*L=4.52%。这将赌徒的增长率提高到10.98%，经纪人的利润率提高到3.3%。因此，年净损失率（占账户权益的1.32%）已转换为盈余，并在交易对手之间平均分摊：Γ-Γ = π-π = 0.66%.这种合作行为如图（2）所示。5若干风险资产。在本节中，我们继续将我们的主要技术和结果扩展到普通股票市场，其中n个相关风险资产（i：=1，2，…，n）在几何布朗式讨价还价中，向Kelly Gamblers A.Garivatis0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08经纪人的预期收益率，：0.090.0950.10.1050.110.1150.120.1250.130.1350.14客户的渐进增长率！古代边疆，！=r+12！7.r<“2！：最高水位曲线，（！！！）(: ! :) = (!$! !)（：$！：）垄断威胁点，（：；！）纳什谈判解决方案，（：$；！$）图2：纳什谈判下的合作收益，ν：=0.09，σ：=0.15，u：=ν+σ/2，r：=0.03。运动设Sit表示时间t时股票i的价格，其中dSit：=uidt+σidWit。（36）uiis股票i的漂移，σiis其波动性，以及（Wit）ni=1是相关的单位布朗运动。在这个分数上，我们让ρij：=Corr（dWit，dWjt），我们让σij：=ρijσiσj=CovdSitSit、dSjtSjtdt（37）表示单位时间瞬时收益的协方差。

在下面的内容中，我们将让u：=（u，…，un）表示股票市场的漂移向量，并且我们将假设协方差矩阵∑：=[σij]n×nis可逆。在这种普遍性中，通过aNash讨价还价向Kelly赌徒提供保证金贷款，可以确定连续重新平衡的投资组合（或固定分数下注方案）。Garivatisvector b：=（b，…，bn）∈ Rnof投资组合权重，其目的是继续执行再平衡交易，以便始终保持stocki中固定的生物财富份额。像往常一样，我们让Vt（b）表示赌徒在时间t的财富；因此，保证金贷款的实际需求量为Q=nXi=1bi- 1.Vt（b）=（1b- 1） Vt（b），（38）或q=1b- 每美元客户权益1，其中1：=（1，…，1）是1的n×1向量。经纪人的即时中介收益率现在是π=（1b- 1） （rL- r） 每美元客户权益。赌徒命运的演变现在由随机微分方程dvt（b）Vt（b）：=nXi=1biditsit控制- （1b）- 1） rLdt=rL+（u- rL1）bdt+nXi=1biσidWit。（39）将It^o引理应用于几个扩散过程（参见Paul Wilmott 1998），我们得到了D（log Vt（b））=rL+（u- rL1）b-b∑bdt+nXi=1biσidWit，（40），其中，在积分时，yieldsVt（b）=V×exp(rL+（u- rL1）b-b∑bt+nXi=1biσiWit）。（41）在这方面，赌徒的持续复合渐进资本增长率现在为Γ（b，rL）：=rL+（u- rL1）b-b∑b=极限→∞log[Vt（b）/V]t=E[d（log Vt（b））]dt。（42）Kelly赌徒保证金贷款的Nash讨价还价A.Garivatis如前所述，通过优化Nash产品n（b，rL）获得正确的行为：（b）*, r*五十） ：=arg max{1b≥1，rL≥r} （π- π)Γ - Γ. （43）使用乘积规则计算N个/rL，我们得到（1- 1b）（π- π) +Γ - Γ（1b）- 1) = 0.

（44）假设内部性（1b>1），我们取消公因数q=1b- 1和再次获得平等的条件- Γ = π - π. 使用乘积规则计算梯度关于b的Nash积的bN，我们得到了（向量）条件（π- π) (u - rL1- ∑b）+Γ - Γ（rL- r） 1=0。（45）假设合作有收益（意味着π- π和Γ-Γ都是正数），我们取消此公因数并简化为b*= Σ-1(u - r1）。（46）正如所料，这正是连续时间凯利赌徒的行为（参见David Luenberger 1998），他被允许以经纪人的赎回率r借入现金。利用这一事实，结合平等主义条件和Γ和π的定义表达式，one计算ber的协商利率*L=r+u∑-1u - r·1∑-11- 2.Γ - π4 [1Σ-1(u - r1）- 1] ，（47），这与（19）完全一致。关于Kelly赌徒A.Garivatis保证金贷款的Nash讨价还价根据单变量情况，我们可以得出（线性）效率-π前沿也是这样。对于给定的中间速率π，我们求解rland，得到rl=r+πb- 1.（48）将此表达式替换为Γ的定义，简化后，Γ=r+（u- r1）b-b∑b- π. （49）最大化b从这个表达式中，我们得到b*= Σ-1(u - r1）；有效前沿的一般方程为Γ=r+（u- r1）∑-1(u - r1）- π. （50）最终效用向量（Γ*, π*) 因此，从纳什讨价还价中获得的结果位于效率边界（50）和线Γ=Γ的交叉点-π+π，表示剩余价值的平等分配。求解这些联立方程，wegetΓ*=r+Γ- π+(u - r1）∑-1(u - r1）（51）和π*=r-Γ - π+(u - r1）∑-1(u - r1）。

（52）5.1垄断分歧点。如果谈判破裂，经纪人只发布一个价格rL，那么赌徒将使用相应的凯利规则作出反应，即b（rL）=∑-1(u - rL1）。因此，针对Kelly赌徒A.Garivatis保证金贷款的纳什讨价还价经纪人面临瞬时需求曲线Q（rL）=1b（rL）- 1 =Σ-1u - 1.-Σ-1.rL。（53）因此，保证金贷款需求的瞬时弹性由d（q）=∑-1u - 1季度- 1.（54）反向需求（或边际值）曲线isrL=MV（q）=∑-1u - 1Σ-1.-Σ-1×q，（55），得出边际收益曲线mr（q）=∑-1u - 1Σ-1.-Σ-1×q.（56）边际收入与边际成本相交（即MC（q））：≡ r） ，我们得到了单复数qm=∑-1u - 1.- r·1∑-1.（57）从反向需求曲线上看，垄断利率为nowrM=Σ-1u - 1Σ-1+r.（58）所有剩余利息量的精确公式，如消费者剩余、无谓损失以及在垄断威胁点下获得的利润和增长率，都明显遵循上述垄断价格和数量，就像在单变量情况下一样。向Kelly Gamblers提供保证金贷款的Nash讨价还价A.Garivatis5.2 CRRA公用事业的一般解决方案。为了结束本文，我们简要说明了我们的结果如何（容易）扩展到任意CRRA投资者的利益，例如，那些对最终财富的偏好可以用等弹性效用函数u（x）：=x1表示的投资者-γ、 其中γ>0是代理人的（常数）相对风险规避系数。应用It^o引理，可以计算出（对于γ6=1）持续重新平衡的投资组合b：=（b，…，bn）∈ RN为投资者的效用Vt（b）1生成以下运动定律-γ:(1 - γ)-1d（Vt（b）1-γ） Vt（b）1-γ=hrL+（u）- rL1）b-γb∑bidt+nXi=1biσidWit。

（59）因此，“增长率”现在采用形式Γ（b，rL）：=rL+（u- rL1）b-γb∑b=（1- γ)-1Et[d（Vt（b）1-γ） ]Vt（b）1-γdt，（60）例如Γ（b，rL）与不同时间步【t，t+dt】上（功率）效用单位时间的预期百分比变化成正比。因此，事实上，模型中唯一的形式变化是协方差矩阵∑被γ∑取代；在单变量情况下，这意味着，例如，方差σ必须处处替换为γσ。因此，投资者协商使用持续重新平衡的投资组合b*= (1/γ) Σ-1(u - r1），其中r是经纪人的资金成本。均衡利率现在达到了零*L=r+u∑-1u - r·1∑-11- 2γΓ - π4 [1Σ-1(u - r1）- γ]. （61）Kelly赌徒A.Garivatis保证金贷款的纳什讨价还价（π，Γ）-平面中的有效边界现在由方程Γ=r+2γ（u）给出- r1）∑-1(u - r1）- π、 （62）以便为一般CRRA投资者保留可转让效用的现象。此外，我们注意到，必须假设股票市场参数（u，∑）非常有利（且惩罚参数r，γ必须非常低），即投资者至少愿意以经纪人自己的资金成本借款；这意味着深度参数（u，∑，r，γ）必须满足不等式∑-1(u - r1）>γ。（63）6总结和结论。本文研究了连续时间Kellygamblers（更一般地说，CRRA投资者）与经纪人之间的协商保证金贷款合同，经纪人向他们提供现金，以便在高增长资产或投资组合上进行大额押注。考虑到资产价格的连续样本路径，经纪人不承担违约风险，因为原则上，经纪人可以在客户账户权益等于零的瞬间变现客户的资产。

在由几只几何布朗运动相关股票组成的布莱克-斯科尔斯市场中，赌徒的财富本身遵循几何布朗运动，因此在此后一直保持正值。保证金贷款数量q：=1b- 在不同的时间步【t，t+dt】期间，每1美元的客户权益被记入借方，然后根据赌徒资金的流动性dVt（b）调整贷款规模。这些交易对手之间的所有潜在合作都基于这样一个事实，即Kelly Gamblers A.Garivatismarket在保证金贷款上的讨价还价承认资产（或所述资产的持续再平衡组合）的顺式增长率显著高于经纪人的买入利率r。经纪人以rL>r的连续利率收取保证金利息，寻求一种安排，根据该安排，他的瞬时中介率，即π：=（1b- 1） （rL- r） 每一美元的客户权益，尽可能高。众所周知，凯利赌徒有着远见卓识（与麦克莱恩、索普和齐姆巴2011年相比），他愿意忍受任何程度的波动、风险价值或最大提款，以换取最高可能的渐进资本增长率，这里表示为Γ：=rL+（u- rL1）b- b∑b/2。从进化的角度来看，经纪人必须谨慎对待他的凯利赌徒，因为他们将渐进地持有100%的股权存款，并且（由于他们固定的杠杆比率），他们将承担限额内所有保证金债务的100%。如果经纪人和凯利赌徒未能达成协议（这将同时指定利率、投资组合和保证金贷款的数量），那么分歧有两种明显的方式。

在最坏的情况下，凯利赌徒根本不借钱（或者经纪人不借钱给他）；经纪人的中介利润为零，客户在无杠杆持续再平衡的投资组合中优化其增长率（例如，他受到条件1b=1的约束）。第二种可能性似乎是在这个世界上实际获得的：经纪人只发布一个垄断价格rM，然后赌徒根据其瞬时需求曲线要求相应的保证金贷款垄断数量qm。根据纳什（1950）的公理谈判理论，我们最大化了纳什积N：=（π- π) ×Γ - Γ在点（π，Γ）的利润增长平面上≥π, Γ; 该产品的因素是交易对手从合作而非分歧中提取的各自剩余价值，这只会阻碍凯利赌徒就保证金贷款进行谈判π, Γ实用性。我们发现，不管威胁点是什么π, Γ,赌徒会谈判下注，就好像他自己可以以经纪人的（低）资金成本借钱一样。基于平等主义（一阶）条件Γ-Γ = π-π、 无论如何，合作产生的剩余价值将在双方之间平均分配。我们利用这一事实推导出协商利率r的精确公式*最终公用事业用地（π*, Γ*) 从合作中获得。最后，我们推导出了生长平面中效率边界的表达式：它是一条直线（其斜率为-1） ，这意味着我们特定的讨价还价问题享有可转让效用的特殊属性（参见RogerMyerson 1997）。

几何上，协商结果（π*, Γ*) 是将有效边界与威胁点发出的45°线相交的结果π, Γ.北伊利诺伊大学（Northern Illinois University）就向凯利赌徒A.GarivatisAcknowledgements提供保证金贷款的谈判我感谢Omri Tal、Nero Tulip和几位匿名推荐人的宝贵意见、讨论和建议，这些意见、讨论和建议改进了论文。资助这项工作得到了北伊利诺大学开放获取出版基金的支持，该基金由大学图书馆管理，由文理学院、研究与创新伙伴关系（RIPS）和大学图书馆资助。数据和材料的可用性不适用。作者的贡献本文完全是作者的工作。竞争利益作者声明他没有利益冲突。作者详细介绍了伊利诺伊州德卡尔布市北伊利诺伊大学自由与科学学院公共与全球办公室经济系，邮编：60115。纳什讨价还价对凯利赌徒的保证金贷款A.GarivatisReferences【1】Black，F.和Scholes，M.，1973年。期权定价和公司责任。《政治经济学杂志》，81（3），第637-654页。[2] 加里瓦蒂斯，A.，2018年。连续时间博弈论最优投资组合。《经济理论公报》，第1-9页。[3] 加里瓦蒂斯，A.，2019a。跳跃差异的博弈论最优投资组合。《游戏》，10（1），第8页。[4] 加里瓦蒂斯，A.，2019b。精确复制HindSight中的最佳再平衡规则。《衍生品杂志》，26（4），第35-53页。[5] 加里瓦蒂斯，A.，2019c。封面的再平衡选项采用离散后视镜优化。工作文件。[6] Kelly，J.L.，1956年。信息率的新解释。贝尔系统技术期刊，35（4），第917-926页。[7] Luenberger，D.G.，1998年。投资科学。纽约：牛津大学出版社。[8] 麦克莱恩，L.C.，索普，E.O。