纳什讨价还价，向凯利赌徒提供保证金贷款

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英文标题：
《Nash Bargaining Over Margin Loans to Kelly Gamblers》
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作者：
Alex Garivaltis
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  I derive practical formulas for optimal arrangements between sophisticated stock market investors (namely, continuous-time Kelly gamblers or, more generally, CRRA investors) and the brokers who lend them cash for leveraged bets on a high Sharpe asset (i.e. the market portfolio). Rather than, say, the broker posting a monopoly price for margin loans, the gambler agrees to use a greater quantity of margin debt than he otherwise would in exchange for an interest rate that is lower than the broker would otherwise post. The gambler thereby attains a higher asymptotic capital growth rate and the broker enjoys a greater rate of intermediation profit than would obtain under non-cooperation. If the threat point represents a vicious breakdown of negotiations (resulting in zero margin loans), then we get an elegant rule of thumb: $r_L^*=(3/4)r+(1/4)(\\nu-\\sigma^2/2)$, where $r$ is the broker\'s cost of funds, $\\nu$ is the compound-annual growth rate of the market index, and $\\sigma$ is the annual volatility. We show that, regardless of the particular threat point, the gambler will negotiate to size his bets as if he himself could borrow at the broker\'s call rate.
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中文摘要：
我推导出了复杂股票市场投资者（即连续时间Kelly赌徒，或更一般地说，CRRA投资者）与经纪人之间最佳安排的实用公式，经纪人向他们提供现金，用于对高夏普资产（即市场投资组合）进行杠杆式押注。比方说，与经纪人公布保证金贷款的垄断价格不同，赌徒同意使用更多的保证金债务，以换取低于经纪人公布的利率。因此，赌徒可以获得更高的渐进资本增长率，而经纪人可以享受比不合作情况下更高的中介利润率。如果威胁点代表了谈判的恶性破裂（导致零保证金贷款），那么我们可以得到一个优雅的经验法则：$r\\u L ^*=（3/4）r+（1/4）（\\nu-\\sigma^2/2）$，其中$r$是经纪人的资金成本，$\\nu$是市场指数的复合年增长率，而$\\sigma$是年度波动率。我们表明，无论特定的威胁点是什么，赌徒都会协商确定赌注大小，就像他自己可以按照经纪人的买入利率借贷一样。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Nash_Bargaining_Over_Margin_Loans_to_Kelly_Gamblers.pdf (403.98 KB)

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关键词：讨价还价 保证金 Quantitative Contribution Mathematical

纳什谈判保证金贷款toKelly Gambersalex Garivaltis*北伊利诺伊大学2019年9月4日摘要推导出复杂股票市场投资者（连续时间凯利赌徒或更普遍的CRRA投资者）与经纪人之间最佳安排的实用公式，经纪人将现金借给他们，用于对高夏普资产（即市场投资组合）进行杠杆式押注。比方说，与经纪公司为保证金贷款设定垄断价格不同，赌徒同意使用比其他方式更多的保证金债务来换取比经纪公司公布的利率更低的利率。因此，赌徒获得了更高的渐进资本增长率，经纪人享有的中介收益率也高于非合作情况下的收益率。如果威胁点代表谈判的彻底破裂（导致零利润贷款），那么我们可以得到一个优雅的经验法则：r*L=（3/4）r+（1/4）ν -σ/2, 其中，r是经纪人的资金成本，ν是市场指数的综合年增长率，σ是年度波动率。我们表明，无论特定的威胁点是什么，赌徒都会协商确定赌注大小，就像他自己可以按照经纪人的买入利率借贷一样。关键词：纳什谈判；保证金贷款；凯利赌博；记录最优投资组合；不断重新平衡投资组合；净利息保证金分类代码：C78；D42；G11；G21；G24r*L=r+u∑-1u - r·1∑-11- 2.Γ - π4 [1Σ-1(u - r1）- 1]. (1)*北伊利诺伊大学自由艺术和科学学院公共和全球办公室经济系助理教授，地址：伊利诺伊州德卡尔布市祖拉夫厅514号，邮编：60115。电子邮件：agarivaltis1@niu.edu.主页：http://garivaltis.com.

ORCID iD:0000-0003-0944-8517.1简介。哈里·马科维茨（Harry Markowitz）的投资基本均值-方差理论（Markowitz 1952）将n维投资组合超平面转换为其标志性的（二维）均值-方差平面。更好的是，马科维茨子弹为我们提供了一个有效投资组合的一维边界，可以为任何给定的风险水平带来最大的回报。考虑到借入和出借现金的自由，我们只需专注于单个风险资产基金，该基金的每单位风险回报最大；因此，马科维茨子弹的曲率被资本市场直线所取代。但理论到此为止；这位从业者没有收到任何进一步的处方，只能在其特定的风险偏好允许的情况下，借入并购买尽可能多的tangencyportfolio股票。在一维赌博问题上缺乏指导，这一点在信用卡柜台爱德华·索普（EdwardO.Thorp）身上得到了强烈的感受，他需要一个适当的标准来衡量自己在某些有利情况下的赌注（索普1966），这是他在内华达21点赌桌上发现的（参见2017年的自传）。正确的答案（“财富公式”，Poundstone 2010）被称为凯利标准，以贝尔实验室的失语症学家约翰·凯利（1956）的名字命名。正如统计传播理论中的习惯一样，Kellyst从一个简单的例子开始，这个例子被证明是整个情况的典型。他考虑了一长串独立的赛马赌注，赌徒们通过这些赌注可以更精确地知道（固定）获胜概率，而不是公布的（偶数）赔率。这种富有启发性的环境使他形成了一种“吸引式赌博计划”的概念，即赌徒在每一场比赛中将自己财富的相同部分下注。

他著名的标准挑出了固定分数下注方案（或“凯利下注”），该方案产生了最高的可能渐进的每赌资本增长率。例如，在21点游戏中，方钻杆分数是b*:= p- q、 其中，p是凯利赌徒A.加里瓦蒂斯在保证金贷款上讨价还价的机会，而q是输掉的机会。例如，如果你有50.5%的几率赢下一手牌，那么标准规定你应该在赔率相等的情况下下注净值的1%。Kelly的理论很容易扩展到Black-Scholes（1973）市场，其中资产价格遵循几何布朗运动。在这种环境下，赌徒在每个不同的时间步【t，t+dt】将其财富的固定部分b“下注”在股票上。除此之外，我们现在有一个可能的盈亏平衡的连续统：=St×（udt+σdWt）（2）d（log St）=u -σdt+σdWt，（3）由于随机波动dWt= ×√dt是相同（正态）分布的，且与时间无关。众所周知（参见Edward O.Thorp 2006），Kelly对这个市场的赌注是B*=u - rσ=+ν- rσ，（4），其中ν：=u- σ/2是资产价格的预期几何增长率，ris是赌徒可以借贷的利率。如果我们取r：=2.44%（即截至本文撰写之时的1个月美国国债收益率）以及一些代表标准普尔500指数行为的风格化参数（ν：=0.09，σ：=0.15），我们得到b*= 3.42. 也就是说，如果赌徒自己有机会以无风险利率借款，他将以每一美元的自有股本借入2.42美元。作者目前以3.9%的利率向互动经纪人借款，与凯利赌徒a的保证金贷款进行协商。

Garivatistable 1:InteractiveBrokers的保证金贷款利率（美国），2019年3月12日。三级利率日志（1+利率）Kelly Bet，b0-100000 3.9%3.83%2.8100000.01-1000000 3.4%3.34%3.011000.01-3000000 2.9%2.86%3.233000000.01-200000000 2.7%2.66%3.32磅/年，或3.83%连续复利，对应b=2.8。然而，对于借款超过300万美元的客户，利率将变为每年2.7%的复合利率，或连续2.66%的复合利率，相应的凯利赌注为3.32。表1给出了截至2019年3月12日的InteractiveBrokers美国保证金贷款定价表。1.1供款。我们从这种经纪人与客户的关系（既真实又持续）中获得了灵感，我们制定并解决了一个纳什（1950）讨价还价问题，即一个股票经纪人（可以在货币市场上以经纪人买入利率r借入现金）和一个连续的凯利赌徒（或者，更一般地说，一个CRRA投资者）之间，经纪人以加价利率rL>r向其发放保证金贷款。美国保证金贷款零售消费者目前的情况就是：经纪人公布价格rL（可能是垄断价格）和凯利赌徒（即作者）的回应是，要求相应的增长最优数量q，即每美元账户权益的保证金贷款。相应的方钻杆下注为b：=q+1。这些选择导致赌徒的资本增长率为Γ，经纪人的资本增长率为π。这是2019年3月12日。自那以后，利率一直下降，截至2019年8月13日，降至3.62%。纳什与凯利赌徒A就保证金贷款进行谈判。

Garivatis显然，委托人应该合作，如果可能的话，谈判保证金贷款合同（b*, r*五十） 这共同规定了利率、客户的投资组合以及在不同时间步【t，t+dt】内发行的保证金贷款的数量。因此，有可能将垄断的无谓损失转化为一些商定的uponsurplus值*-Γ和π*-π. 我们表明，无论分歧点是什么π, Γ, 客户会谈判下注，就好像他自己有机会以经纪人的资金成本借款一样。我们推导出了有效增长前沿的精确公式，即协商行为（b*, r*五十） ，以及最终实用程序（π*, Γ*) 这是从纳什的合作计划中得到的。我们证明了有效边界是一条直线（其斜率为-1） 因此，我们的讨价还价问题是一个可转让效用问题（参见Mas Colell、Whinston和Green 1995）。我们发现，这里给出的纳什讨价还价解决方案与平等主义解决方案一致，即平等分享从合作中获得的所有剩余价值；正确的结果（π*, Γ*)通过将其与威胁点发出的45°线相交，可以发现有利增长边界π, Γ.2定义和符号。如上所述，我们考虑一个Black-Scholes（1973）市场，其单一风险资产（即标准普尔500指数）的价格St遵循几何布朗运动St：=udt+σdWt，（5）其中u是年漂移率，σ是波动率，WT是标准布朗运动。我们考虑一家以每年RL的持续复合利率提供保证金贷款的经纪人，其资金成本（“经纪人买入利率”）表示为向Kelly Gamblers a.Garivatisby r.就保证金贷款进行讨价还价。

经纪人向一名连续时间的Kelly（1956）赌徒提供这些贷款（参见David Luenberger 1998），该赌徒的行为特点是他持续保持一定的风险资产b级风险敞口。也就是说，赌徒将其财富的b部分持续保留在股票中；如果b>1，则他继续保持b金额的保证金（借方）余额- 他的财富。例如，如果b：=1.5，则赌徒的保证金贷款余额将持续调整，以构成其财富的50%。我们让Vt（b）表示赌徒的财富过程，其中一些给定初始财富。所需保证金贷款的（美元）数量为q：=（b- 1） Vt（b）。经纪人每年的瞬时利润率为π（b，rL）：=（rL- r） q=（rL- r） （b）- 1） Vt（b），其中rL- r是净息差。我们假设客户的目标是最大化其资本几乎确定的连续复合渐进增长率，即Γ：=limt→∞（1/t）对数[Vt（b）/V]。正如我们目前将看到的（参见David Luenberger 1998），这相当于最大化对数Vt（b）的漂移。赌徒的财富根据Vt（b）Vt（b）=bdStSt演变- （b）- 1） rLdt=[rL+（u- rL）b]dt+bσdWt。（6） 由于赌徒的财富遵循几何布朗运动，因此可以应用它^o\'sLemma（参见Paul Wilmott 2001）来获得关系D（log Vt（b））=rL+（u- rL）b-σbdt+bσdWt，（7）或等效地，Vt（b）=V×exprL+b（u- rL）-σbt+bσWt. （8） 凯利赌徒A.加里瓦蒂斯保证金贷款的纳什讨价还价因此，赌徒的渐近增长率将表示为Γ（b，rL）：Γ（b，rL）：=rL+b（u- rL）-σb=极限→∞log[Vt（b）/V]t=E[d（log Vt（b））]dt。

（9） 3纳什谈判。在下面的内容中，我们将假设，在每一刻t，经纪人和Kellygambler都会就保证金贷款安排（b，rL）进行纳什交易（纳什1950），这同时规定了保证金贷款的数量q=（b- 1） VT和经纪人将在不同时间步【t，t+dt】内收取的利率RL。我们让π, Γ:=πb、 rL型, Γb、 rL型表示威胁点，这意味着谈判破裂将导致经纪人向rLand收取赌金，并将其财富的b部分在股票上超过[t，t+dt]。因此，不合作将导致π=π的利润率b、 rL型对于经纪人，增长率为Γ=Γb、 rL型为了赌徒。示例1。经纪人没有进行合作，而是发布了“要么接受要么放弃”的价格rL≥ r、 客户选择相应的Kelly赌注（或对数最优投资组合）b*（rL）：=u- rLσ=arg maxb≥1Γ（b，rL），（10），其中我们必须假设u-σ≥ rL型≥ r以保证客户将获得保证金贷款。这意味着风险资产必须对资金成本非常有利（高漂移和低波动），并且利率RL必须非常低，客户不会选择b=1。marginNash就向Kelly Gamblers A.Garivatisloans提供的保证金贷款讨价还价的数量（每美元客户权益）isq=u- rLσ- 1、（11）经纪人单位时间的瞬时收益率为π=u - rLσ- 1.（rL- r） （12）并且，简化后，赌徒的渐近资本增长率为Γ=rL+u - rLσ. （13） 示例2。

谈判完全破裂后，经纪人甚至不会向客户提供保证金贷款（比如rL=∞, 或者客户拒绝接受贷款）。因此，客户只需购买并持有股票（b=1，q=0，π=0），即可实现Γ=u的无症状增长率- σ/2.请注意，示例2的完全不合作不是一个可信的威胁（例如，它不是完美的子游戏），因为如果经纪人给出合理的价格（如示例1），那么投资者将在可能的范围内最佳地选择借贷。当然，谈判达成的合同有可能使双方都变得更好：客户将同意使用更多的保证金债务来换取更低的利率。合同就这样安排；赌徒因rL较低而获得较高的渐近增长率，经纪人则因b的增加而获得较高的收益率。纳什积（参见John Nash 1950）等于吨（b，rL）：=[π（b，rL）- π] ×Γ（b，rL）- Γ, （14） Kelly赌徒A.Garivatis保证金贷款的纳什议价，纳什议价解等于（b*, r*五十） ：=arg max{b≥1，rL≥r} N（b，rL）。（15） 注意，由于π（o，o）与Vt（b）成正比，在不同时间步[t，t+dt]的持续时间内，任何纳什交易都将独立于客户的财富水平Vt（b）；协商行为（b*, r*五十） 仅取决于GBM参数（u，σ）、经纪人的资金成本（r）和威胁点π, Γ.我们应该强调的是，虽然客户的福利是以其渐进的几乎确定的资本增长率（等于其即时预期复合增长率）来衡量的，但经纪人的福利是以其每美元客户权益的即时中介利润率来衡量的。因为这占客户财富的固定百分比（例如。

净利息保证金乘以客户的债务股本比），经纪人的feeincome的渐进增长率实际上等于客户的长期资本增长率，Γ。一阶条件N个/rL=0个简单到Γ（b，rL）- Γ=π（b，rL）- π、 （16）例如，赌徒从合作中获得的渐进增长率必须等于经纪人相对于威胁点获得的利润率（每美元客户权益）。采用其他一阶条件N个/b=0，使用（16）来简化，我们得到命题1。在纳什谈判中，无论威胁点是什么，假设KellyThe委托人在市场时钟的每一个不同滴答声后都会重新谈判保证金贷款合同。然而，纳什谈判解决方案实际上从未改变，因为纳什产品与客户财富Vt（b）成正比。纳什就向凯利赌徒提供保证金贷款进行谈判A.加里瓦蒂斯赌徒将下注B*=u - rσ，（17）例如，他会协商下注，就好像他自己可以按照经纪人的买入利率借款一样，r。请注意，协商的下注规模为b*= (u - r） /σ相当于通常默顿策略b的特例：=（u- r） /（γσ）（与Merton 1969和Merton 1990相比），对于具有CRRA效用的投资者而言，获得（x）：=（x1-γ- 1) / (1 - γ） 如果γ>0且γ6=1log x，如果γ=1，（18），其中γ≡ -x·u（x）/u（x）表示投资者的相对风险厌恶系数（常数）。将b的这个值代入（16），求解并简化，我们得到了定理1。纳什议价下的协商利率由公式给出*L=r+u- r- 2σΓ - π4 (u - σ- r） 。（19） 示例3。在完全不合作的情况下（π=0且Γ=u- σ/2），经过分解和简化，我们得到*L=u+3r- σ=r+ν -σ, （20） 式中，ν：=u-σ/2是资产价格St的渐近增长率。