非同步财务数据的Copula估计

10，我们根据图10绘制间隔（水平）。左：克莱顿copula的估计Kendall’s tau在95%时间内的区间，右：克莱顿copula回归线的预测区间。真正的肯德尔头。现在，我们将真实肯德尔τ的置信区间计算为与估计肯德尔τ相对应的垂直区间（参见图中对应于0.1、0.2和0.32的红色垂直线）。在第三种方法中，我们故意错误地将基础copula指定为高斯copula，并使用定理1计算置信区间（使用椭圆copula的相关系数和Kendall的tau之间的关系，见等式5）。第4节表4给出了这三种区间估计方法的结果。第4.2节所述的三种区间估计方法的覆盖概率和区间长度如表4所示。该表的一个重要结论来自最后一列，这表明模型规格错误的影响可能非常严重。请注意，第二种方法是完全非参数的，它不假设真实参数和未修正估计之间的依赖函数的形状。第一种方法假设为二次模型。这一假设大大减少了计算量。从表中，我们可以看到，真肯德尔的tau第一种方法第二种方法第三种方法（CP，IL）（CP，IL）（CP，IL）克莱顿0.1（.98,0.30）（.95,0.19）（.84,0.1）克莱顿0.2（.98,0.31）（.96,0.24）（.77,0.3）克莱顿0.3（.97,0.31）（.97,0.25）（.56,29）克莱顿0.5（.95,0.31）（.97,0.29）（.29 Bel 0.1（.98,0.30）（.98,0.21）（0.8,0.2）Gumbel 0.2（.99,0.31）（.94,0.24）（.72,0.3）甘贝尔0.3（.99,0.31）（.95,0.25）（.55,29）甘贝尔0.5（.95,0.31）（.93,0.27）（.23,26）表4。

三种方法的覆盖概率（CP）和间隔长度（IL）。第一种方法始终至少为95%的目标值。因此，二次模型的假设不会影响覆盖概率。区间略大于第二种方法，因此第一种方法更为保守。另一个观察结果是，间隔的长度在很大程度上不取决于基础参数的值。真实数据分析我们分析真实的金融日内数据，看看哪种copula最有可能在实践中被计算。我们使用AIC来比较和选择最佳copula。在许多情况下，我们发现t-copula是对双变量日内数据建模的良好选择。为了观察异步性对实际数据的影响，我们记录了要进行的相对校正程度。苹果和Facebook股票的日内数据如图11所示。这些都是用双变量t copula连续三天建模的。表5对所有三天的未修正估计数和修正估计数进行了评估。第三列报告了未修正和修正估计值的百分比变化。我们注意到，在用算法A构建对之后，几乎有30%到35%的数据丢失或删除。我们还对一些其他股票进行了相同的分析，得到的结果非常相似。例如，当我们在三个几乎连续的日子里考虑Amazon和Net flix时，t copula的copula参数变化百分比分别为41.75%、39.84%和42.76%。图11：。2017年5月10日和2017年5月11日连续两天减去平均值后的脸书（黑色）和苹果（灰色）数据未修正的修正百分比变化有偏估计无偏估计（无偏估计）。-偏向性est偏向性est。×100）第1天0.098 0.141 43.87%，第2天0.129 0.186 44.18%，第3天0.111 0.159 43.24%，表5。

Apple和Facebook数据联合分布的Copula估计6。结论和未来方向模拟和实际数据分析都清楚地表明，如果不正确处理，异步性的影响可能非常严重。我们讨论了一些绕过这个问题的方法。对日内数据进行仔细的预处理对于对潜在现实进行建模或推断是必要的。我们提出了椭圆copula函数相关系数的一致性估计。对于一类更一般的copula，其中Kendall的tau和copula之间只有一种关系，我们建议一种估计copula参数的方法。除了点估计外，还讨论并比较了三种区间估计方法。从结果可以明显看出，在模型规格错误的情况下，异步性的影响可能相当严重。真实数据分析证实了我们的发现。对于所选的两支股票，由于相关性非常小，修正后价值的绝对变化不大。但正如我们所预期的那样，相对变化非常大。有几个方向可以扩展这项工作。首先，我们没有假设存在微观结构噪声。在存在噪声观测的情况下，估计值可能需要进一步修改。如果参数与时间相关，估计过程可能会更具挑战性。随着随时间变化的copula模型在金融数据分析中越来越普及，研究时变参数估计中的异步性影响是值得的。人们可以研究的另一个问题是，异步性如何影响对风险价值（VaR）等流行风险度量的估计。参考文献【1】Ait-Sahalia，Y.、Fan，J.和Xiu，D。

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条件期望：E[（Xt（ki））- Xt（ki-1） ）（Yt（ki）- Yt（ki））|（t（ki），t（ki），t（ki-1） ，t（ki-1） ）]=IiE（XY）。这是假设a的结果（如第2.2节中的示例所示）。E[（Xt（ki）- Xt（ki-1） ）| t（ki），t（ki-1） ]=（t（ki）- t（ki-1） ）E（X）。类似地，E[（Yt（ki））- Yt（ki-1） ）| t（ki），t（ki-1） ]=（t（ki）- t（ki-1） ）E（Y）。那么我们有，E（Xt（ki）- Xt（ki-1） ）=E（t（ki）- t（ki-1） ）E（X）andE（Yt（ki）- Yt（ki-1） ）=E（t（ki）- t（ki-1） ）E（Y）。因此，Cor（（Xt（ki））- Xt（ki-1） ），（Yt（ki）- Yt（ki-1） ））=E（XY）E（Ii）qE（t（ki）- t（ki-1） E（X）qE（t（ki）- t（ki-1） E（Y）=ρE（Ii）qE（t（ki）- t（ki-1） ）qE（t（ki）- t（ki-1)).请注意，估算值^θ定义为^θ=rmmm（I）^ρ，其中^ρ=^Cor（（Xt（ki））- Xt（ki-1） ），（Yt（ki）- Yt（ki-1))).让我们定义校正系数：w=√嗯（一）。现在，议员→ E（t（ki）- t（ki-1） ）和MP→ E（t（ki）- t（ki-1） ）和M（I）P→ E（Ii）。因此，wP→ γ、 式中γ=qE（t（ki）- t（ki-1） ）E（t（ki）- t（ki-1） ）E（Ii）。由于ρ是样本相关系数，我们知道√n（ρ）- ρ） d→ N（0，（1- ρ)).根据Slutsky定理我们得到，√n（w^ρ- γρ）d→ N（0，γ（1- ρ)).使用θ=γρ，我们得到，√n（^θ）- θ） d→ N（0，γ（1- θ/γ)) = γ(1 - θ/γ）N（0，1）。现在我们需要稳定方差。注意，γ（1- θ/γ)=2γ[1 - x/γ+1+x/γ]定义，f（x）=[对数（1+xγ）- 日志（1-xγ）]。那么，f（x）=2γ[1+x/γ+1- x/γ]。因此，delta方法的简单应用意味着√n（f（^θ）- f（θ））d→ N（0，1）。这就完成了证明。A、 2。定理2的证明。证据注意F（r，r）=C（F（r），F（r），θ）。So^C=^C（^F（rt（ki）），^F（rt（ki）），^θ；i=1（1）n）是copula C的一致估计量。但Rt（ki）\'是不可观测的，其中Rt（ki）\'是实际观测到的。让我们使用符号^F（.）和▄F（.）对于RBA的经验分布函数，分别基于观测值{rt（ki）：i=1（1）n}和{rt（ki）：i=1（1）n}。

因此，为了声称基于成对数据（观察到）的估计copula是一致的，我们必须证明|^C（^F，^F，^θ）-^C（^F，^F，^θ）|→ 0 a.s.假设δi=| rt（ki）- rt（ki）|。注意，根据假设a，δ=最大值（δi）<M。然后，F（r）-^F（r）|=| nnXi=1I（Rt（ki）≤ r）-nnXi=1I（Rt（ki）≤ r）|≤nnXi=1 | I（Rt（ki））≤ r）- I（Rt（ki）≤ r）|≤nnXi=1I（Rt（ki）∈ （r）- δi，r+δi））i（Rt（ki）∈ （r）- δi，r+δi））≤nnXi=1I（Rt（ki）∈ （r）- δ、 r+δ）I（Rt（ki）∈ （r）- δ、 这意味着∞Xn=1P|F（r）-^F（r）|>η≤∞Xn=1PnnXi=1 | I（Rt（ki））∈ （r）- δ、 r+δ）I（Rt（ki）∈ （r）- δ、 r+δ））|>η≤∞Xn=1X1≤i、 j≤nnηE（I（Rt（ki））∈ （r）- δ、 r+δ）×I（Rt（ki）∈ （r）- δ、 r+δ）×I（Rt（kj）∈ （r）- δ、 r+δ）×I（Rt（kj）∈ （r）- δ、 r+δ））≤∞Xn=1ηnnXi=1E（I（Rt（ki））∈ （r）- δ、 r+δ）×I（Rt（ki）∈ （r）- δ、 r+δ）））=∞Xn=1ηnP[（Rt（ki），Rt（ki））∈ （r）- δ、 r+δ）×（r- δ、 r+δ）]≤∞Xn=1ηnP[| Rt（ki）- Rt（ki）|≤ 2δ]=∞Xn=1ηO（n1+ψ）<∞第二个不等式由切比雪夫不等式产生，最后一个等式由A产生。第三个不等式是异步性的结果。对于每个i，最多有两个j（前一个和下一个），其中（Rt（ki），Rt（ki））和（Rt（kj），Rt（kj））是相关的。因此，由Borel-Cantelli引理，|F（r）-^F（r）| a.s→ 0、再次为|^F（r）- F（r）| a.s→ 0我们有，F（r）- F（r）| a.s→ 现在我们必须证明在这种情况下一致收敛是成立的。也就是说，我们想展示 > 0，supr |F（r）-F（r）|<. 对于任何给定的 > 0我们有一个有限的实线分区-∞ = z≤ z≤ z≤ ··· ≤ zk=∞ 使得F（z-i+1）-F（zi）≤ . 这可以通过取z=-∞ zj+1=sup{z:F（z）≤ F（zj）+}. 然后，F（zj+1）≥ F（zj）+.因为如果F（zj+1）<F（zj）+ 然后通过右连续性，存在ξ>0，使得F（zj+1+ξ）<F（zj）+, 因此与zj+1的定义相矛盾。所以在zjand和zj+1之间，F至少跳跃. 这种情况最多发生一定次数，因此k<∞.

根据我们对zj+1的定义，我们得到了F（zj+1- ξ) ≤ F（zj）+ ξ > 0. 因此F（z-i+1）- F（zi）≤ .如果y∈ [zi，zi+1）那么我们有，~F（zi）≤F（r）≤F（z-i+1）和F（zi）≤ F（r）≤ F（z-i+1）==>F（zi）- F（z-i+1）≤F（r）- F（r）≤F（z-i+1）- F（zi）==>F（zi）- F（zi）+F（zi）- F（z-i+1）≤F（r）- F（r）≤F（z-i+1）- F（z-i+1）+F（z-i+1）- F（zi）n>ni==> -2. ≤F（zi）- F（zi）+F（zi）- F（z-i+1）≤F（r）- F（r）≤F（z-i+1）- F（z-i+1）+F（z-i+1）- F（zi）≤ 2. n>ni==> -2. ≤F（r）- F（r）≤ 2. r∈ Rn>最大值（ni）==> |F（r）- F（r）|≤ 2.图12：。两种情况取决于t（ki）的位置，现在使用copula的性质，我们可以清楚地看到| C（F（r），F（r））- C（^F（r），^F（r））|≤ |C（F（r），F（r））- C（^F（r），F（r））|+| C（^F（r），F（r））- C（^F（r），^F（r））|≤ |^F（r）- F（r）|+| F（r）- F（r）|当^FandFare一致收敛于Fand时，结果如下。A、 3。定理3的证明。证据（a） 如果确定点t（ki），则根据t（ki）的位置，可能有两种情况，如图12所示。首先考虑案例1。我们对重叠间隔感兴趣。如图13所示，定义为t（ki）后第一批库存的第一次间隔，Tas为t（ki）后第二批库存的第一次间隔，Tas为t（ki）后第二批库存的第一次间隔，即如果我们仅从t（ki）开始观察过程，则第二批库存的第一次到达时间如图13所示。第一种情况的说明。股票由于到达过程是泊松过程，其平均分布是相同的（由于无记忆特性）。将所有后续间隔表示为Si:i=2，3。。。

andTi：i=2，3。。。。现在（对于案例1），我=k的Pki=1Tiif(≥ 1） k的s.t.Pki=1Ti<s<Pk+1i=1TiPki=1Siif(≥ 1） s.t.Pki=1Si<t<Pk+1i=1SiTherefore（对于案例1），E（I）=∞Xn=1“EnXi=1TiPnXi=1Ti<S<n+1Xi=1Ti+ EnXi=1SiPnXi=1Si<T<n+1Xi=1Si#现在，EPni=1Ti= nE（T）=nλ和EPni=1Si= nE（S）=nλ。定义pn=PPni=1Ti<S<Pn+1i=1Ti）和qn=PPni=1Si<T<Pn+1i=1Si. 因此，E（I）=∞Xn=1hnλpn+nλqniqn=PnXi=1Si<T<n+1Xi=1Si= PT<n+1Xi=1Si）- P（T<nXi=1Si注意，T~ exp（λ）≡ γ（1，λ）和Pni=1Si~ γ（n，λ）。因此，PnXi=1Si>T= PPni=1Siλ>（λ+λ）Tλλ-Tλ！=PPni=1Siλ+Tλ>（λ+λ）Tλλ！=PTPni=1Siλ+Tλ<λλλ+λ！=PT/λPni=1Siλ+Tλ<λ+λ！=PZn<λ+λ式中，Zn=T/λPni=1Siλ+Tλ~ β（1，n）有f，qn=FZn+1λλ+ λ- FZn公司λλ+ λ类似地，pn=FZn+1λλ+ λ- FZn公司λλ+ λ类似地，我们可以通过交换X和Y的角色来推导情况2。见图14。从现在起，对于案例2，我们有E（I）=∞Xn=1hnλpn+nλqn两种情况的可能性相同，P（情况1）==P（情况2）。因此，将这两种情况结合起来，E（I）=P∞n=1n[（λ+λ）（pn+qn）]。（b） 现在我们要计算E（t（ki）- t（ki-1)).对于案例1：定义，N=1如果为k(≥ 1） 对于k，s.t.Pki=1Ti<s<Pk+1i=1Tik(≥ 1） s.t.Pki=1Si<t<Pk+1i=1见图14。有两种观点的案例。然后，E（t（ki）- t（ki-1） ）=λη，其中E（N）=ηE（N）=∞Xk=1“PkXi=1Ti<S<k+1Xi=1Ti+ kP公司kXi=1Si<T<k+1Xi=1Si#=∞Xk=1“nPS<k+1Xi=1Ti- PS<kXi=1Tio+knPT<k+1Xi=1Si- PT<kXi=1Sio#=∞Xk=1“nFB（1，k+1）λλ+ λ- FB（1，k）λλ+ λo+knFB（1，k+1）λλ+ λ- FB（1，k）λλ+ λo#对于情况2，推导过程类似。（c） 遵循（b）E（t（ki）部分的类似推导- t（ki-1） ）=λη，其中η是以下定义的平均值，N=1如果为k(≥ 1） 对于k，s.t.Pki=1Si<t<Pk+1i=1Sik(≥ 1） s.t.Pki=1Ti<s<Pk+1i=1TiA类似的推导将建立η=∞Xk=1“nFB（1，k+1）λλ+ λ-FB（1，k）λλ+ λo+knFB（1，k+1）λλ+ λ-FB（1，k）λλ+ λo#A、 4。